辽宁省重点高中协作校2024届数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

辽宁省重点高中协作校2024届数学高二第二学期期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．对于偶函数，“的图象关于直线对称”是“是周期为2的周期函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件2．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（）A． B．C． D．3．的外接圆的圆心为，，，则等于（）A． B． C． D．4．已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个5．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A．2 B．3C．4 D．86．已知向量，，其中，．若，则的最大值为（）A．1 B．2 C． D．7．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①-2是函数的极值点；②是函数的极值点；③在处取得极大值；④函数在区间上单调递增.则正确命题的序号是A．①③ B．②④ C．②③ D．①④8．已知集合，则集合的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．89．已知函数f(x)=lnx+ln(a-x)的图象关于直线A．0 B．1 C．lna D．10．已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（）．A． B． C． D．11．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.312．计算：（）A．﹣1 B．1 C．﹣8 D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数，满足不等式组且的最大值为，则=_____．14．已知是函数f(x)的导函数，,则________.15．已知函数的图像经过第二、三、四象限，，则的取值范围是_______．16．已知是抛物线上的一点，过点的切线方程的斜率可通过如下方式求得在两边同时求导，得：，则，所以过的切线的斜率.试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的质量(单位：毫克)，质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品。如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图。产品质量/毫克频数（1）根据乙流水线样本的频率分布直方图，求乙流水线样本质量的中位数（结果保留整数）；（2）由以上统计数据完成列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为产品包装是否合格与两条自动包装流水线的选择有关？甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计下列临界值表仅供参考：参考公式：，其中.18．（12分）（1）已知矩阵的一个特征值为，其对应的特征向量，求矩阵及它的另一个特征值.（2）在极坐标系中，设P为曲线C：上任意一点，求点P到直线l：的最小距离.19．（12分）某射击运动员每次击中目标的概率是，在某次训练中，他只有4发子弹，并向某一目标射击.（1）若4发子弹全打光，求他击中目标次数的数学期望；（2）若他击中目标或子弹打光就停止射击，求消耗的子弹数的分布列.20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A（2，1）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程．（2）求｜AP｜•｜AQ｜的值．21．（12分）在中，角所对的边分别是且.（1）求角A；（2）若为钝角三角形，且，当时，求的取值范围.22．（10分）已知函数是奇函数（）.（1）求实数的值；（2）试判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

将两个条件相互推导，根据推导的结果选出正确选项.【题目详解】依题意，函数为偶函数，即.“的图象关于直线对称”“是周期为2的周期函数”.故为充要条件，即本小题选D.【题目点拨】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题.2、A【解题分析】

由题意可得，，再利用函数在区间上是增函数可得答案.【题目详解】解：为奇函数，，又，，又，且函数在区间上是增函数，，，故选A.【题目点拨】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.3、C【解题分析】

，选C4、B【解题分析】分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：：若f（3）=3，则f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故这样的映射的个数是2×2=4个，故选：B．点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题5、D【解题分析】

利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．【题目详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．【题目点拨】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．6、D【解题分析】

已知向量，，根据，得到，即，再利用基本不等式求解.【题目详解】已知向量，，因为，所以，即，又因为，，所以，当且仅当，，即时，取等号，所以的最大值为.故选：D【题目点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7、D【解题分析】分析：由条件利用导函数的图象特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．详解：根据导函数y=f′（x）的图象可得，y=f′（x）在（﹣∞，﹣2）上大于零，在（﹣2，2）、（2，+∞）上大于零，且f′（﹣2）=0，故函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，+∞）、（2，+∞）上为增函数．故﹣2是函数y=f（x）的极小值点，故①正确；故1不是函数y=f（x）的极值点，故②不正确；根据函数-1的两侧均为单调递增函数，故-1不是极值点.根据y=f（x）=在区间（﹣2，2）上的导数大于或等于零，故f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增，故④正确，故选：D.点睛：本题主要考查命题真假的判断，利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．导函数的正负代表了原函数的单调性，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念.8、D【解题分析】分析：先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数．详解：由题意可知，集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，则B的子集个数为：23=8个，故选D．点睛：本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.9、A【解题分析】

利用对称列方程解得a，从而求出f(1)。【题目详解】由题意得x1+xf所以f(x)=lnx+【题目点拨】本题主要考查了函数对称轴的问题，即在函数上任意两点x1,x2关于直线10、D【解题分析】

首先需要根据方程特点构造函数,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数在上的零点个数，再转化成方程解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【题目详解】因为函数是偶函数，，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当时，，所以方程可以化为：，即，记，，设直线与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍弃），所以切线的斜率为，由图像可以得.选D.【题目点拨】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.11、C【解题分析】因，故由正态分布的对称性可知，应选答案C。12、D【解题分析】

根据微积分基本定理，可直接求出结果.【题目详解】.故选D【题目点拨】本题主要考查定积分，熟记微积分基本定理即可，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】作出可行域，目标函数可变为，令，作出，由平移可知直线过时取最大值，则．则．故本题应填．14、【解题分析】分析：先求导，再求，再求.详解：由题得令x=0得，所以.故答案为：ln2.点睛：(1)本题主要考查求导和导数值的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力，属于基础题.(2)解答本题的关键是求.15、【解题分析】

利用函数的图像经过第二、三、四象限可得：，整理可得：，再利用指数函数的性质即可得解.【题目详解】因为函数的图像经过第二、三、四象限，所以，解得：又又，所以，所以所以，所以的取值范围是【题目点拨】本题主要考查了指数函数的性质及计算能力、分析能力，还考查了转化能力，属于中档题．16、【解题分析】分析：结合题中的方法类比求解切线方程即可.详解：用类比的方法对两边同时求导得，，∴切线方程为，整理为一般式即：.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）210；（2）详见解析.【解题分析】

（1）先判断中位数在第四组，再根据比例关系得到计算得到答案.（2）完善列联表，计算，与临界值表作比较得到答案.【题目详解】解：（1）因为前三组的频率之和前四组的频率之和所以中位数在第四组，设为由，解得（2）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为，所以，列联表是：甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计所以的观测值故在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为产品的包装是否合格与两条自动包装流水线的选择有关．【题目点拨】本题考查了中位数的计算，独立性检验，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.18、（1）；；（2）.【解题分析】

（1）由矩阵运算，代入可求得或，即求得另一个特征值。（2）由直角坐标与极坐标互换公式，实现直角坐标与极坐标的相互转化。【题目详解】（1）由得：，，矩阵的特征多项式为，令，得，解得或所以矩阵的另一个特征值为（2）以极点为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系．因为，所以，将其化为普通方程，得将曲线：化为普通方程，得．所以圆心到直线的距离所以到直线的最小距离为【题目点拨】直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。19、（1）（2）见解析【解题分析】分析：（1）他击中目标次数可能取的值为1，1，2，3，4，由题意，随机变量服从二项分布，即~，则可求4发子弹全打光，击中目标次数的数学期望；（2）由题意随机变量可能取的值是1，2，3，4，由此可求他击中目标或子弹打光就停止射击，求消耗的子弹数的分布列详解：（1）他击中目标次数可能取的值为1，1，2，3，4由题意，随机变量服从二项分布，即~（若列出分布列表格计算期望，酌情给分）（2）由题意随机变量可能取的值是1，2，3，412341．91．191．1191．111点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．20、（1）；x2＋y2＝2y；（2）3【解题分析】

（1）由直线的倾斜角与所过定点写出直线的参数方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，求得曲线的直角坐标方程，即可得到答案．（2）将直线的参数方程代入曲线的方程，得到关于的一元二次方程，再由根与系数的关系，以及的几何意义，即可求解的值．【题目详解】(1)由题意知，倾斜角为α的直线l过点A（2，1，所以直线l的参数方程为(t为参数)，因为ρ＝2sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ，把y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，设P、Q的参数分别为t1、t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝－4cosα，t1t2＝3，且由Δ＝(4cosα)2－4×3>0，所以|AP|·|AQ|=|t1|·|t2|=3.【题目点拨】本题主要考查了直线的参数方程的求解，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，以及直线参