2024届广东汕头潮阳区数学高二第二学期期末调研试题含解析

2024届广东汕头潮阳区数学高二第二学期期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若（为虚数单位），则复数（）A． B． C． D．2．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A． B． C． D．3．下列函数一定是指数函数的是（）A． B． C． D．4．若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为（）A． B． C．3 D．15．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若，则（）A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3，2} D．{3，0，1，2}6．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象上所有的点向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为（）A． B．C． D．7．函数(为自然对数的底数)在区间上的最大值是()A． B． C． D．8．已知随机变量X的分布列表如下表，且随机变量，则Y的期望是（）X-101mA． B． C． D．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．10．设有个不同颜色的球，放入个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（）A．种 B．种C．种 D．种11．在棱长为的正方体中，如果、分别为和的中点，那么直线与所成角的大小为（）A． B． C． D．12．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知定义在上的函数在导函数为，若，且当时，，则满足不等式的实数的取值范围是__________．14．在xOy平面上，将双曲线的一支及其渐近线和直线、围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为，过作的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出体积为________15．为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:),所得数据均在区间上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有_______株树木的底部周长大于110.16．已知向量，则向量的单位向量______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，是双曲线：（、为常数，）上的两个不同点，是坐标原点，且，（1）若是等腰三角形，且它的重心是双曲线的右顶点，求双曲线的渐近线方程；（2）求面积的最小值.18．（12分）如图，在以为顶点的多面体中，平面，平面，．（1）请在图中作出平面，使得，且，并说明理由；（2）求直线和平面所成角的正弦值．19．（12分）在数列中，，，设.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.20．（12分）已知二阶矩阵A=abcd，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α121．（12分）若二面角的平面角是直角，我们称平面垂直于平面，记作.（1）如图，已知，，，且，求证：；（2）如图，在长方形中，，，将长方形沿对角线翻折，使平面平面，求此时直线与平面所成角的大小.22．（10分）已知函数（）.（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；（Ⅱ）当时，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】由可得：，故选B.2、A【解题分析】由题意可得：，由二项式系数的性质可得：奇数项的二项式系数和为.本题选择A选项.点睛：1．二项展开式的通项是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．3、D【解题分析】

根据指数函数定义，逐项分析即可.【题目详解】A：中指数是，所以不是指数函数，故错误；B：是幂函数，故错误；C：中底数前系数是，所以不是指数函数，故错误；D：属于指数函数，故正确.故选D.【题目点拨】指数函数和指数型函数：形如（且）的是指数函数，形如（且且且）的是指数型函数.4、D【解题分析】分析：由期望公式和方差公式列出的关系式，然后变形求解．详解：∵，∴随机变量的值只能为，∴，解得或，∴．故选D．点睛：本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题关键是确定随机变量只能取两个值，从而再根据其期望与方差公式列出方程组，以便求解．5、B【解题分析】分析：由求出a的值，再根据题意求出b的值，然后由并集运算直接得答案.详解：由，，即，，则.故选：B.点睛：本题考查了并集及其运算，考查了对数的运算，是基础题.6、D【解题分析】

由正弦函数的周期变换以及平移变换即可得出正确答案.【题目详解】函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到，再将所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到故选：D【题目点拨】本题主要考查了正弦函数的周期变换以及平移变换，属于中档题.7、D【解题分析】分析：先求导，再求函数在区间[-1,1]上的最大值.详解：由题得令因为.所以函数在区间[-1,1]上的最大值为e-1.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.8、A【解题分析】

由随机变量X的分布列求出m，求出，由，得，由此能求出结果．【题目详解】由随机变量X的分布列得：，解得，，，．故选：A．【题目点拨】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9、D【解题分析】由题设中提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是一个底面是边长分别为３,３,４的等腰三角形，高是４的三棱锥，如图，将其拓展成三棱柱，由于底面三角形是等腰三角形，所以顶角的余弦为，则，底面三角形的外接圆的半径，则三棱锥的外接球的半径，其表面积，应选答案D。10、D【解题分析】

要求每个盒子中至少有一个球，可将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列．【题目详解】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得选D【题目点拨】将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列．本题为选择题还可取特值：令n=1,只有一种放法，排除AB，令n=2有6中放法，选D11、B【解题分析】

作出图形，取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，计算出的三边边长，然后利用余弦定理计算出，即可得出异面直线与所成角的大小.【题目详解】如下图所示：取的中点，连接、，、分别为、的中点，则，且，在正方体中，，为的中点，且，则，所以，四边形为平行四边形，，则异面直线与所成的角为或其补角.在中，，，.由余弦定理得.因此，异面直线与所成角的大小为.故选B.【题目点拨】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用定义法或空间向量法计算，考查计算能力，属于中等题.12、C【解题分析】试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：根据条件得到函数的对称性，结合函数的单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，利用特殊值法进行求解即可.详解：由，得函数关于对称，当时，，即在上单调递减，不妨设，则不等式等价为，即，即，得，故实数的取值范围是.故答案为：.点睛：本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的对称性和单调性，利用特殊值法是解决本题的关键.14、.【解题分析】分析：由已知中过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积．详解：在xOy平面上，将双曲线的一支及其渐近线和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．则直线y=a与渐近线交于一点A（，a）点，与双曲线的一支交于B（，a）点，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，则截面面积S=，利用祖暅原理得Ω的体积相当于底面面积为9π高为4的圆柱的体积，∴Ω的体积V=9π×4=36π，故答案为36π点睛：本题考查的知识点是类比推理，其中利用祖暅原理将不规则几何体的体积转化为底面面积为9π高为4的圆柱的体积，是解答的关键．祖暅原理也可以成为中国的积分，将图形的横截面的面积在体高上积分，得到几何体的体积.15、18【解题分析】

根据频率小矩形的面积小矩形的高组距底部，求出周长大于110的频率，再根据频数样本容量频率求出对应的频数.【题目详解】由频率分布直方图知：底部周长大于110的频率为，所以底部周长大于110的频数为（株），故答案是：18.【题目点拨】该题考查的是有关频率分布直方图的应用，在解题的过程中，注意小矩形的面积表示的是对应范围内的频率，属于简单题目.16、【解题分析】

计算出，从而可得出，即可求出向量的坐标.【题目详解】，，因此，向量的单位向量.故答案为：.【题目点拨】本题考查与非零向量同向的单位向量坐标的计算，熟悉结论“与非零向量同向的单位向量为”的应用是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解题分析】

(1)根据三角形重心的性质与是等腰三角形可求得的坐标,再代入双曲线方程求解即可.

(2)将双曲线：用极坐标表达,可直接设,再利用,代入求得关于的表达式再求最值即可.【题目详解】(1)当是等腰三角形,且它的重心是双曲线的右顶点时,可知在双曲线的右支上,且.设,则由重心性质有,故在双曲线上,故,可得,即.故双曲线的渐近线方程为.(2)由双曲线:,转换为极坐标则有,化简得,设则有,故,故,当且仅当,即,即时等号成立.故面积的最小值为.【题目点拨】本题主要考查了圆锥曲线中面积的最值问题,因为题中有,故在求面积的最小值时,可以考虑用极坐标的方法做进行简化计算,属于难题.18、（1）见解析；（2）.【解题分析】试题分析：（1）取BC的中点P，连接EP，DP，证明平面ABF∥平面EDP，可得结论；（2）建立如图所示的坐标系，求出平面BCE的法向量，利用向量方法求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．试题解析：（1）如图，取中点，连接，则平面即为所求的平面.显然，以下只需证明平面；∵，∴且，∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.∵平面，平面，∴.又平面，平面，∴平面，又平面平面，∴平面平面.又平面，∴平面，即平面.（2）过点作并交于，∵平面，∴，即两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.在等腰梯形中，∵，∴，则.∵，∴，∴.设平面的法向量，由，得，取，可得平面的一个法向量.设直线和平面所成角为，又∵，∴，故直线和平面所成角的正弦值为.19、（1）见证明；（2）【解题分析】

（1）结合已知条件，运用等比数列的定义进行证明（2）先求出数列的通项公式，然后再求出数列的通项公式【题目详解】（1）证明：因为，所以，所以，因为，所以，故数列是等比数列，首项是2，公比是2.（2）解：由（1）可知，数列是等比数列，首项，公比，所以.因为，所以，则.【题目点拨】本题考查了证明数列是等比数列，求数列通项公式，结合定义即可求出结果，较为基础20、A=【解题分析】

运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A【题目详解】由特征值、特征向量定义可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩阵【题目点拨】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单21、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）在内过点作，根据题意得到，进而可得出结论；（2）过点作于点，连接，得到即是直线与平面所成角，根据题中条件，求出，，由余弦定理得到，进而可求出结果.【题目详解】（1）在内过点作，因为，，且，所以，因为，所以；（2）过点作于点，连接，因为平面平面，所以平面，所以即是直线与平面所成角；又在长方形中，，，所以，；因此，所以，又，由余弦定理可得：，所以，所以，因此直线与平面所成角的大小为.【题目点拨】本题主要考查线面垂直的证明