2024届兰州第一中学数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析

2024届兰州第一中学数学高二第二学期期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在正方体中，分别是,的中点，则四面体在平面上的正投影是A． B． C． D．2．现有甲、乙等5名同学排成一排照相，则甲、乙两名同学相邻，且甲不站两端的站法有（）A．24种 B．36种 C．40种 D．48种3．已知函数，的图象过点，且在上单调，的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，若存在两个不相等的实数，满足，则（）A． B． C． D．4．定义在上的函数的导函数在的图象如图所示，则函数在的极大值点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．不等式的解集为（）A． B．C． D．6．某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：每年体检每年未体检合计老年人7年轻人6合计50已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是()A． B． C． D．7．若，且m，n，，则（）A． B． C． D．8．已知抛物线，过点的任意一条直线与抛物线交于两点，抛物线外一点，若∠∠，则的值为()A． B． C． D．9．已知函数，若存在，使得有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．设等比数列满足，，则的最大值为A．32 B．128 C．64 D．25611．若实数x、y的取值如表，从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为y=3.5x12345y27812mA．15 B．16 C．16.2 D．1712．在平面直角坐标系中，不等式组x+y≤0x-y≤0x2+y2≤r2(rA．－1B．－5C．13D．－二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对于实数、，“若，则或”为________命题（填“真”、“假”）14．已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为_________．15．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为______．16．如图，在一个底面边长为cm的正六棱柱容器内有一个半径为cm的铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降______cm.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，使不等式成立.（1）求满足条件的实数t的集合T；（2），使不等式成立，求的最大值.18．（12分）设函数（1）若函数在上递增，在上递减，求实数的值.（2））讨论在上的单调性；（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明.19．（12分）在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)若点在曲线上,点在曲线上,求的最小值及此时点的直角坐标.20．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在“阳马”中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接.（1）证明：平面.试判断四面体是否为“鳖臑”，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若，求直线与平面所成角的正切值.21．（12分）设（Ⅰ）求的单调区间.（Ⅱ）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.22．（10分）已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）求满足不等式的实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：根据正投影的概念判断即可.详解：根据正投影的概念判断选C.选C.点睛：本题考查正投影的概念，需基础题.2、B【解题分析】

对5个位置进行编号1，2，3，4，5，则甲只能排在第2，3，4位置，再考虑乙，再考虑其它同学.【题目详解】对5个位置进行编号1，2，3，4，5，∵甲不站两端，∴甲只能排在第2，3，4位置，（1）当甲排在第2位置时，乙只能排第1或第3共2种排法，其他3位同学有A3∴共有2×A（2）当甲排在第3位置时，乙只能排第2或第4共2种排法，其他3位同学有A3∴共有2×A（3）当甲排在第4位置时，乙只能排第3或第5共2种排法，其他3位同学有A3∴共有2×A∴排法种数N=12+12+12=36种.【题目点拨】分类与分步计数原理，在确定分类标准时，一般是从特殊元素出发，同时应注意元素的顺序问题.3、A【解题分析】

由图像过点可得，由的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，可知，结合在上单调，从而得到，由此得到的解析式，结合图像，即可得到答案。【题目详解】因为的图象过点，则，又，所以.一方面，的图象向左平移单位后得到的图象与原函数图象重合，则，即，化简可知．另一方面，因为在上单调，所以，即，化简可知.综合两方面可知．则函数的解析式为，结合函数图形，因为，当时，，结合图象可知则，故选A．【题目点拨】本题主要考查正弦函数解析式的求法，以及函数图像的应用，考查学生的转化能力，属于中档题。4、B【解题分析】

由导数与极大值之间的关系求解．【题目详解】函数在极大值点左增右减，即导数在极大值点左正右负，观察导函数图象，在上有两个有两个零点满足．故选：B.【题目点拨】本题考查导数与极值的关系．属于基础题．5、D【解题分析】

利用指数函数的单调性，得到关于的一元二次不等式，解得答案.【题目详解】不等式，转化为，因为指数函数单调递增且定义域为，所以，解得.故不等式的解集为.故选：D.【题目点拨】本题考查解指数不等式，一元二次不等式，属于简单题.6、D【解题分析】分析：先根据列联表列方程组，解得a,b,c,d,e,f,再判断真假.详解：因为，所以选D.点睛：本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.7、D【解题分析】

根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：，再由二项式系数的性质，可得所要求的和.【题目详解】则故选：D【题目点拨】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.8、D【解题分析】

设出点和直线，联立方程得到关于的韦达定理，将转化为斜率相反，将根与系数关系代入得到答案.【题目详解】设，设直线AB：又恒成立即答案为D【题目点拨】本题考查了直线和抛物线的位置关系,定点问题,设直线方程时消去可以简化运算,将角度关系转化为斜率关系是解题的关键,计算量较大,属于难题.9、B【解题分析】

先将化为,再令,则问题转化为:,然后通过导数求得的最大值代入可得.【题目详解】若存在，使得有解,即存在,使得,令,则问题转化为:,因为,当时,;当时,,所以函数在上递增,在上递减,所以,所以.故选B.【题目点拨】本题考查了不等式能成立问题,属中档题.10、C【解题分析】

先求出通项公式公式，再根据指数幂的运算性质和等差数列的求和公式，可得，令，根据复合函数的单调性即可求出．【题目详解】由，，可得，解得，，，，令，当或时，有最小值，即，的最大值为，故选C．【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式等差数列的求和公式，指数幂的运算性质和复合函数的单调性，属于中档题11、D【解题分析】

计算出样本的中心点x,y，将该点的坐标代入回归直线方程可得出【题目详解】由表格中的数据可得x=1+2+3+4+55由于回归直线过点x,y，所以，3.5×3-1.3=m+295【题目点拨】本题考查回归直线的基本性质，在解回归直线相关的问题时，熟悉结论“回归直线过样本的数据中心点x,12、D【解题分析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知14πr2=π，解得r=2．因为目标函数z=x+y+1x+3=1+y-2x+3表示区域内上的点与点P(-3,2)连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y-2=k(x+3)，即二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、真【解题分析】

按反证法证明.【题目详解】假设命题的结论不正确，，那么结论的否定且正确，若且，则这与已知矛盾，原命题是真命题，即“若，则或”为真命题.故答案为：真【题目点拨】本题考查判断命题的真假，意在考查推理与证明，属于基础题型.14、【解题分析】

由，可得当时的数列的通项公式，验证时是否符合即可.【题目详解】当时，,

当时，，经验证当时，上式也适合，故此数列的通项公式为，故答案为.【题目点拨】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题.已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.15、【解题分析】

先由勾股定理求圆锥的高，再结合圆锥的体积公式运算即可得解.【题目详解】解：设圆锥的高为，由勾股定理可得，由圆锥的体积可得，故答案为：.【题目点拨】本题考查了圆锥的体积公式，重点考查了勾股定理，属基础题.16、【解题分析】

由题意可求球的体积，假设铁球刚好完全浸入水中，则水面高度为，将铁球从容器中取出，求出水面高度，即可求水面下降高度．【题目详解】解：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积，水面高度为，此时正六棱柱容器中水的体积为，若将铁球从容器中取出，则水面高度，则水面下降.故答案为:.【题目点拨】本题考查了球体积的求解，考查了棱柱体积的求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用三角不等式求出的最小值，从而得到的范围；（2）由于，使不等式成立，则的最小值小于等于的最大值，利用基本不等式求出的最小值，从而求得的最大值。【题目详解】（1）由题意知，﹐当且仅当时等号成立，所以，故集合.（2）由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立.又因为，使不等式成立，则，即,故的最大值为.【题目点拨】本题主要考查绝对值三角不等式以及基本不等式求最值的问题，属于中档题。18、（1）（2）见解析（3），见解析【解题分析】

（1）根据单调区间判断出是极值点，由此根据极值点对应的导数值为求解出的值，并注意验证是否满足；（2）先求解出，然后结合所给区间对进行分类讨论，分别求解出的单调性；（3）构造函数，分析的取值情况，由此求解出的取值范围；将证明通过条件转化为证明，由此构造新函数进行分析证明.【题目详解】（1）由于函数函数在上递增，在上递减，由单调性知是函数的极大值点，无极小值点，所以，∵，故，此时满足是极大值点，所以；（2）∵，∴，①当时，在上单调递增.②当，即或时，，∴在上单调递减.③当且时，由得.令得；令得.∴在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上递增；当或时，在上递减；当且时，在上递增，在上递减.（3）令，当时，，单调递减；当时，，单调递增；故在处取得最小值为又当，由图象知：不妨设，则有，令在上单调递增，故即，【题目点拨】本题考查函数与导数的综合运用，涉及到根据单调性求解参数、分类讨论法分析函数的单调性、双变量构造函数问题，难度较难.（1）已知是的极值点，利用求解参数值后，要注意将参数值带回验证是否满足；（2）导数中的双变量证明问题，一般的求解思路是：先通过转化统一变量，然后构造函数分析单调性和取值范围达到证明的目的.19、(Ⅰ)C1的普通方程,C2的直角坐标方程；(Ⅱ)|MN|取得最小值,此时M(,).【解题分析】

(Ⅰ)利用三种方程的转化方法，即可写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(Ⅱ)设M(cosα,sinα)，则|MN|的最小值为M到距离最小值，利用三角函数知识即可求解．【题目详解】(Ⅰ)曲线的参数方程为(为参数),普通方程为，曲线的极坐标方程为，即，直角坐标方程为，即；(Ⅱ)设M(cosα,sinα)，则|MN|的最小值为M到距离，即，当且仅当α=2kπ-(k∈Z)时,|MN|取得最小值,此时M(,).【题目点拨】本题考查参数方程化成普通方程，利用三角函数知识即可求解，属于中等题.20、（1）证明见解析，是“鳖臑”，四个直角分别为，，，；（2）【解题分析】

（1）先证明面，可得，然后结合即可证明面，然后再证明面，即可得出四面体的四个面都是直角三角形（2）如图所示建立空间直角坐标系，是面的一个法向量，然后利用算出即可.【题目详解】（1）由面，面得，又，从而面，因为面所以由得面由面，面得，又，从而面可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是“鳖臑”，四个直角分别为，，，（2）如图所示建立空间直角坐标系，，，，由面可知，是面的一个法向量，设直线与面所成角为，，，即直线与平面所成角的正切值为【题目点拨】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角常用的方法.21、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.【解题分析】

（Ⅰ）对分三种情况讨论，利用导数求的单调区间；（Ⅱ）先求出函数h(x)在上单调递减，在上单调递增，再求出，即得解.【题目详解】解：（I）时，令令故在单调递增，在上单调递减；0≤≤1时，恒成立，故在单调递增.时，令令故在单调递减，在上单调递增；综上：在单调递增，在上单调递减