2024届黑龙江省尚志中学高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届黑龙江省尚志中学高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则()A． B．C． D．2．已知集合，，则＝（）A． B． C． D．3．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项数是()A． B． C． D．4．已知，，，若,则（）A．2 B． C． D．55．已知，且.则展开式中的系数为（）A．12 B．-12 C．4 D．-46．在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A．有最小值 B．有最大值 C．为定值3 D．为定值27．定义上的函数的导函数满足，设，则下列判断正确的是（）A． B． C． D．8．若a=72-12，b=27A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b9．展开式中的所有项系数和是（）A．0 B．1 C．256 D．51210．与复数相等的复数是（）A． B． C． D．11．已知函数，若只有一个极值点，则实数的取值范围是A． B． C． D．12．下列有关结论正确的个数为（）①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；②设，则“”是“的充分不必要条件；③设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．二项式的展开式中常数项为______用数字表示．14．平面上画条直线，且满足任何条直线都相交，任何条直线不共点，则这条直线将平面分成__________个部分．15．已知函数满足条件，对于，存在唯一的，使得，当成立时，则实数__________．16．如图，矩形的四个顶点坐标依次为，记线段以及的图象围成的区域（图中阴影部分）为，若向矩形内任意投一点，则点落在区域的概率为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,直线的参数方程为,（为参数），圆的标准方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线和圆的极坐标方程；(2)若射线与直线的交点为,与圆的交点为,且点恰好为线段的中点,求的值.18．（12分）已知函数（1）当时，，求的取值范围；（2）时，证明：f(x)有且仅有两个零点。19．（12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15∽65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，其中20．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据．34562.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程．参考公式：21．（12分）为了更好的了解某校高二学生化学的学业水平学习情况，从800名高二学生中随机抽取名学生，将他们的化学模拟考试成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：后得到如图所示的频率分布直方图．据统计在内有10人．（1）求及图中实数的值；（2）试估计该校高二学生在这次模拟考试中，化学成绩合格（不低于60分）的人数；（3）试估计该校高二全体学生在这次模拟考试中的化学平均成绩．22．（10分）已知.（Ⅰ）计算的值；（Ⅱ）若，求中含项的系数；（Ⅲ）证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】，所以，故选B．2、B【解题分析】

根据交集的概念，结合题中条件，即可求出结果.【题目详解】在数轴上画出集合A和集合B，找出公共部分，如图，可知故选B【题目点拨】本题主要考查集合交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.3、C【解题分析】分析：分别计算当时，，当成立时，，观察计算即可得到答案详解：假设时成立，即当成立时，增加的项数是故选点睛：本题主要考查的是数学归纳法。考查了当和成立时左边项数的变化情况，考查了理解与应用的能力，属于中档题。4、A【解题分析】

先求出的坐标，再利用共线向量的坐标关系式可求的值.【题目详解】，因，故，故.故选A.【题目点拨】如果，那么：（1）若，则；（2）若，则；5、D【解题分析】

求定积分得到的值，可得的值，再把按照二项式定理展开式，可得中的系数．【题目详解】∵，且，则展开式，故含的系数为，故选D．【题目点拨】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6、D【解题分析】

分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【题目详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=1．故选D．【题目点拨】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．7、A【解题分析】

设，故，函数单调递减，，代入化简得到答案.【题目详解】设，故，所以在上单调递减，故，即，即，故.故选：.【题目点拨】本题考查了根据函数单调性比较函数值，构造函数是解题的关键.8、D【解题分析】

利用指数函数对数函数的单调性，利用指数对数函数的运算比较得解.【题目详解】因为27-1故选：D【题目点拨】本题主要考查指数函数对数函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9、B【解题分析】

令，可求出展开式中的所有项系数和.【题目详解】令，则，即展开式中的所有项系数和是1，故选B.【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用，考查了展开式的系数和的求法，属于基础题.10、C【解题分析】

根据复数运算，化简复数，即可求得结果.【题目详解】因为.故选：C.【题目点拨】本题考查复数的运算，属基础题.11、C【解题分析】

由，令，解得或，令，利用导数研究其单调性、极值，得出结论.【题目详解】，令，解得或，令，可得，当时，函数取得极小值，，所以当时，令，解得，此时函数只有一个极值点，当时，此时函数只有一个极值点1，满足题意，当时不满足条件，舍去.综上可得实数的取值范围是，故选C.【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.12、D【解题分析】对于①，，所以，故①正确；对于②，当，有，而由有，因为，所以是的充分不必要条件，故②正确；对于③，由已知，正态密度曲线的图象关于直线对称，且所以，故③正确．点睛：本题主要考查了条件概率，充分必要条件，正态分布等，属于难题．这几个知识点都是属于难点，容易做错．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-160【解题分析】二项式的展开式的通项为，．令，可得，即展开式中常数项为．答案：14、【解题分析】分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。详解：1条直线将平面分成2个部分，即2条直线将平面分成4个部分，即3条直线将平面分为7个部分，即4条直线将平面分为11个部分，即，所以….根据累加法得所以点睛：本题综合考查了数列的累加法、归纳推理的综合应用。在解题过程中，应用归纳推理是解决较难题目的一种思路和方法，通过分析具体项，找到一般规律，再分析解决问题，属于中档题。15、【解题分析】分析：根据条件得到在和上单调，得到的关系式，进而即可求解.详解：若对于，存在唯一的，使得，所以函数在和上单调，则且，由，得，即，解得，所以.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，以及函数的单调性的应用，其中根据题得出函数为单调函数，求得的关系式是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，属于中档试题.16、【解题分析】因空白处的面积，故阴影部分的面积为，故由几何概型的计算公式可得所求概率，应填答案．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）【解题分析】分析：（1）将直线的参数方程利用代入法消去参数，可得直线的直角坐标方程，利用，可得直线的极坐标方程，圆的标准方程转化为一般方程，两边同乘以利用利用互化公式可得圆的极坐标方程；（2）联立可得，根据韦达定理，结合中点坐标公式可得，将代入，解方程即可得结果.详解：（1）在直线的参数方程中消去可得，，将，代入以上方程中，所以，直线的极坐标方程为.同理，圆的极坐标方程为.（2）在极坐标系中，由已知可设，，.联立可得，所以.因为点恰好为的中点，所以，即.把代入，得，所以.点睛：消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.18、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）参变分离，求最值。确定的取值范围。（2）求导判断的单调性。说明零点存在。【题目详解】（1）由得令，∴在上时增函数∴∴.（2）当时，（）∴∴∴在是增函数又，∴在上有且仅有一个解，设为-0+↘最小↗∴又∴有且仅有两个零点.【题目点拨】本题考查参变分离，利用单调性讨论函数零点，属于中档题。19、（1）能（2）①②见解析【解题分析】分析：（1）由统计数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；

（2）①求抽到1人是45岁以下的概率，再求抽到1人是45岁以上的概率，

②根据题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量的分布列，计算数学期望值．详解：（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100因为的观测值，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.（2）①抽到1人是45岁以下的概率为，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为，故所求概率.②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人.所以的可能取值为0,1,2.，，.故随机变量的分布列为：012所以.点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．20、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）直接画出散点图得到答案.（2）根据数据和公式，得到计算得，，，直接计算到答案.【题目详解】（1）由题设所给数据，可得散点图如图所示．（2）由对照数据，计算得：，（吨），（吨）．已知，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：，．因此所求的线性回归方程为．【题目点拨】本题考查了散点图和线性回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.21、（1）；；（2）；（2）.【解题分析】

（1）根据在内有10人，以及频率分布直方图，即可列式求出；根据频率之和为1，即可列式求出的值；（2）根据频率分布直方图，求出成绩合格的频率，即可得出结果；（3）根据每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均值.【题目详解】（1）因为在内有10人，考试成绩在的频率为，所以；又由频率分布直方图可得：，解得：；（2）由频率分布直方图可得：化学成绩合格的频率为，因此，化学成绩合格（不低于60分）的人数为；（3）由频率分布直方图可得，该校高二全体学生在这次模拟考试中的化学平均成绩为：.【题目点拨】本题主要考