全国高中数学竞赛集合真题汇编与典型例题

全国高中数学历届（2009-2019）联赛与各省市预赛试题汇编

专题18集合真题汇编与预赛典型例题

全国联赛真题：

1.[2019年全国联赛】若实数集合{L23x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有

元素之和，则x的值为.

2.【2018年全国联赛】设集合4={1,2,3...,99},8={2x/xGA],C={x/2xJ},则BcC的

元素个数为

3.（2013年全国联赛】设集合4=[2,01,3},B=[x\-xeA.2-x:e4}.则集合B中所有元

素的和为.

（年全国联赛】设集合若中所有三元子集的三个元素之和组成的

4.2011A={a1m2,/4J.4

集合为B={-1,3,5.8）,则集合4=.

5.[2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点

之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数,，满足条件：若E至少有n

个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任

意两个二元子集的交为空集.

6.[2015年全国联赛】设%、的、%、%为四个有理数，使得

—）求（:工+；的值.

{Ojaj|1<i<j<4}={-24,-2.—7.1,3a+a3+

7.【2015年全国联赛】设$={4「人」“，4}522）,其中，八4，…，,为兀个互不相同的有

限集合，满足对任意4、均有4口为€5.若卜=出嗯|4|22（|用表示有限集合X的

元素个数），证明：存在使得x属于月工,人,.“，4中的至少/个集合.

8.【2014年全国联赛】设5="2・“,100}.求最大的整数k,使得集合S有k个互不相同的

非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中

的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.

9.【2013年全国联赛】一次考试共有m道试题，n名学生参加，其中m、”22为给定的整数.

每道题的得分规则是：若该题恰有x名学生没有答对，则每名答对该题的学生得x分，未答

对的学生得零分.每名学生的总分为其m道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为

PI>p:N…•求Pl+Pn的最大可能值.

10.【2012年全国联赛】试证明:集合4={2,2令”,2日“}满足

(1)对每个ae4及be必.，若b<2a—1,则b(b+1)一定不是2a的倍数；

(2)对每个aeE(%表示A在N+中的补集)，且a±l,必存在be4，b<2a-1,使

b(b+1)是2a的倍数.

各省预赛典型题

1.【2018年江苏】在1,2,3,4,…，1000中，能写成十一斤+l(aCN)的形式，且不能

被3整除的数有个。

2.[2018年重庆】设集合A={a-L21og冽与B={a+Llog式16b—64)}恰有一个公共元

素为a,则实数a=.

3.【2018年广西】某含有三个实数的集合既可以表示为{b,，。},也可以表示为{a,a+b,l},

贝必的29+二。"的值为.

4.【2018年湖南】已知AuB={ai，ahaJ,当4HB时，(4B)与(BM)视为不同的对，则这

样的(4B时的个数有个.

5.【2018年广东】设集合A=卜|/一区=2},B={x||x|<2),其中，[幻表示不大于x

的最大整数，则AcB=.

6.【2018年贵州】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四

人中有以下情况：①最佳选手的李生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄

相同.则这四人中最佳选手是.

7.【2018年山东】集合月、8满足4uB={L23・“.10},AdB=0,若4中的元素个数不是

A中的元素，B中的元素个数不是B中的元素，则满足条件的所有不同的集合A的个数为一

8.【2018年河北】已知集合4=+y),8={0,|x[,y}且A=B,那么炉°，+y"18=_

9.【2018年四川】设集合/={12345678],若/的非空子集人蹦足。CB=0,就称有

序集合对(4B)为/的“隔离集合对“，则集合/的“隔离集合对”的个数为.(用具体

数字作答)

10.【2018年福建】设集合M={m|mGZ,且|m|42018},M的子集S满足：对S中任意3个

元素a,b,c(不必不同)，都有a+b+cwO.求集合S的元素个数的最大值.

11.[2018年湖南】已知集合A={x|-2<x<3},B={%|m<x<7n+9}.

(1)若4uB=B,求实数m的取值范围：

(2)若求实数m的取值范围.

12.【2018年广东】已知正整数n都可以唯一表示为〃=a0+a「9+0-9二+•••+(:„,•9皿

①的形式，其中m为非负整数，a；6(0.1,,,,.8)(7=0,,m-1)»am6{1,•,,.8).

试求①中的数列a。,a「a二，…,am严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n的和.

13.【2018年山东】证明对所有的正整数n24,存在一个集合S,满足如下条件：

(1)S由都小于"7的n个正整数组成；

(2)对-S的任意两个不同的非空子集儿B,集合4中所有元素之和不等于集合B中所有元素

之和.

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编

专题18集合真题汇编与预赛典型例题答案

全国联赛真题

1.[2019年全国联赛】若实数集合{1,2,3,行的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有

元素之和，则x的值为.

【答案】-|

【解析】由题意知，x为负值，.1-3—x=1+2+3+x=x=—*

2.【2018年全国联赛】设集合A={1,2,3...,99},8={2x/xSA},C={x/2xJ},则BcC的

元素个数为

【答案】24

【解析】由条件知，BnC=[2,4,6,-,198}n{|,1,|,2,-,yj={2,4,6,-,48}.

故8CC的元素个数为24.

3.[2013年全国联赛】设集合4=[2,0,1,3},B={x|-xGA2-x2g4}.则集合B中所有元

素的和为.

【答案】-5

【解析】

易知，B£[-2,0,-1,-3).

当％=—2,—3时，2--=-2,一7C4；

当x-0,—1时，2—x2=2,1GA.

因此，集合8={-2,-3}.

从而，集合B中所有元素的和为-5.

4.[2011年全国联赛】设集合4={%,a2，a3，aj若4中所有三元子集的三个元素之和组成的

集合为B={-1,3,5,8},则集合4=.

【答案】{-3,0,2,6}

【解析】

显然，在集合4的所有三元子集中每个元素均出现了3次.于是，

-

3(ax+a2+a3+a4)=(1)+3+5+8=15

—Q]++Q3+Q4=5.

从而，集合4的四个元素分别为5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0,5-8=-3

因此，集合A={-3,0,2,6}.

故答案为:{-3,0,2,6}

5.［2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点

之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数"，满足条件：若E至少有n

个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任

意两个二元子集的交为空集.

【答案】

【解析】我们来证明一个更为一般的引理：简单连通图H有〃个顶点，m条边，则一定可

以将其边集划分为［畀个二元子集，二元子集之间不交且每个二元子集内的边有公共端点。

证明：归纳对m,n?=l,2,3,显然成立.

设结论对m<k成立，k>3,

则时，考虑所有叶子顶点4,&，・・・，&，若有两片叶子44•连在同一顶点8上，则将

A,8与48分为二元子集，对其余m-2条边由归纳假设，可分为［掾］=［同一1个二元子集

且两两不相交，结论成立，

否则设4,须…，47分别接在顶点丛,4，…,当上，若存在1WiWq,Bi度为2,设团与4，C

相连，将与8,C取下，同理由归纳假设结论成立，

否则对任意1WiWq,d(8j)>2,将，…,&去掉，得图卬，则在中没有叶子结点，H'

连通，则H'为一个环，此时设比在环上与C,。相连，在“中把与81c去掉，图依然

连通，由归纳假设同理可证，引理证毕.故原命题成立.

6.［2015年全国联赛】设的、a2,。3、为四个有理数，使得{。吗|1<?</<4}=

{-24,—2,一日,一：,1,3}.求的+a2++。4的值.

Zo

【答案】%+。2+=±：

【解析】

由条件知生巧(1<i<j<4)为六个互不相同的数，且其中没有两个为相反数.

于是内、。2、。3、的绝对值互不相等•不妨设|%|<|。2|<也|<|aj

则@眄|(1<i<j<4)中最小的、次小的两个数分别为同|。2|与|a211a

3

={Q2a3，%小}—{-2,--}.

结合由eQ,只可能％=±*

由此易知

(Qi，。3,04)=(；,-j4,—6)或(一：,：,—4,6).

4N4Z

经检验，两组解均满足条件.

从而，%+。2++。4=±*

7.【2015年全国联赛】设5=｛勺，4,…，4"。22),其中,4,4，…Mn为葭个互不相同的有

限集合，满足对任意4”AjGS,均有AU4€5.若4=min14122(|X|表示有限集合X的

JJisisn

元素个数)，证明：存在xeuk14,使得久属于4,4,•••，At中的至少之个集合.

【答案】见解析

【解析】

不妨设|4|=k.

设在4,4,…，An中与4不相交的集合有S个，重新记为/,％,…,风；

设包含4的集合有t个，重新记为C1(2,…,G.

由已知条件,得BiU&WS,即BU4€｛C/2,…,CJ.

于是，得到一个映射/:仍1,%,…,为｝一｛的,。2,…,CJ,f(Bi)=BjUAi.

显然，/为单射.从而，s<t.

设&=｛a1,a2,---,ak).

在儿4，…Mn中除去&”2,…,Bs，6，。2/“，仁后，在剩下的兀一5-1个集合中，设包含啾1<

iWk)的集合有片个，由于剩下的n-s-t个集合中，设包含%(1WiWk)的集合有/个，由

于剩下的n-s-t个集合中每个集合与4的交非空，即包含某个心，从而，

Xj+&+…+%k——S—t.①

不妨设Xi=max%；.

则由式①知X】2*,即在剩下的n-s-t个集合中，包含田的集合至少有叫三个.

又由于4£Q（i=1,2,-,t）,故G，Cz，…,Q均包含内.

因此，包含%的集合个数至少为

n-s—t几一s+（k—l）t

--------+t---------....—

k----------k

n-s+tn

8.【2014年全国联赛】设5={1,2,…,100}.求最大的整数k,使得集合S有k个互不相同的

非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中

的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.

【答案】%ax=299-1

【解析】

对有限非空实数集A,用min4与max4分别表示集合A的最小元素与最大元素.

考虑集合S的所有包含1且至少有两个元素的子集.

注意到，min（4n4）=1<max4,

^max>2"-l.

于是，这样的子集一共299-1个.

显然满足要求.

接下来证明：当kN299时，不存在满足要求的k个子集.

用数学归纳法证明：对整数n23,在集合口,2,…,n}的任意巾（巾22几-1）个不同非空子集

A1,A2,--,Am<^,存在两个子集4'4。*；）'满足4n4羊0，且min（4n4）=maxX,.

①

显然，只需对巾=2吁1的情形证明上述结论.

当n=3时，将{1,2,3}的全部七个非空子集分成三组，

第一组：⑶,{1.3},{2,3}；

第二组：{2},{1,2}；

第三组:⑴,{1,2,3）.

由抽屉原理，知任意四个非空子集必有两个在同一组中，取同组中的两个子集分别记为

4、Aj,在排在前面的记为4,则满足结论①.

假设结论在4九>3）时成立.考虑n+1时的情形.

若4，&，…,&n中至少有2"T个子集不含n+1，对其中的2〃T个子集用归纳假设，知存在

两个子集满足结论①.

若至多有2吩1-1个子集不含n+1,则至少有2'T+l个子集含n+1,将其中2“T+1个子集

均去掉n+1,得到｛1,2,…，n｝的2“T+1个子集.

由于｛1,2,…，n｝的全体子集可分为2吁1组，每组两个子集互补，故由抽屉原理，知在

上述2-1+1个子集中一定有两个属于同一组，即互为补集.

因此，相应地有两个子集4、为满足=|n+l|,这两个集合显然满足结论①.

于是，n+1时结论成立.

综上，％x=299-1.

9.【2013年全国联赛】一次考试共有rn道试题，几名学生参加，其中m、九22为给定的整数.

每道题的得分规则是：若该题恰有x名学生没有答对，则每名答对该题的学生得x分，未答

对的学生得零分.每名学生的总分为其m道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为

Pl>p2>>>Pn•求Pl+Pn的最大可能值.

【答案】m(n-l)

【解析】

对k=1,2,…,m,设第k题没有答对者有4人.则第k题答对者有4人•由得分规则，知这n-

万上个人在第k题均得益分.

设n名学生的得分之和为S.则2Mpi=S=SfcL：iXk(n-xk)=n^=1xk-221城・

因为每一个人在第k道题上至多得人分，所以，Pl<Y,k=lXk.

由P22P32…NPn，知PnW”产=念・

则Pl+PnWPl+合=三为+・

-詈次=14+=卜2k=*-2k=i琉)=22Axk一三”=1蜷

由柯西不等式得孀2产

故P1+Pn42SfcliXk-嬴片(Sfclixky

=一m;匚)[次=1Xk-m(n-I)2]+m(n-1)<m(n-1).

另一方面，若有一名学生全部答对，其他n-l名学生全部答错，则

Pi+Pn=Pi=Sfcli(n-1)=m(n-1).

综上，pi+Pn的最大值是m(n-1).

10.【2012年全国联赛】试证明：集合4={2,22,…,2",…}满足

(1)对每个a€4及beN+，若b<2a-l,贝肪(b+1)一定不是2a的倍数；

(2)对每个ael(Z表示A在N+中的补集)，且a#l,必存在beN+，b<2a-l,使

b(b+1)是2a的倍数.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)对任意a&A,设。=2k(keN+).则2a=2k+1.

若b是任意一个小于2a-1的正整数，则b.

由于b与b+1中，一个为奇数，它不含质因子2,另一个为偶数，它含质因子2的幕的次数

最多为k,因此，b(b+1)定不是2a的倍数.

(2)若a€4,且aH1,设a=2上??1,其中，ke.N,m为大于1的奇数.

则2a=2k+1m.

下面给出三种证明方法.

方法1令b=mx,b+1=2k+1y.

消去b得2”+iy—mx=1.

由(2*+i,m)=1,知方程必有整数解俨=&

mt

ty=y0+>

其中，t&z,(a,%)为方程的特解.

记最小的正整数解为(x',y').则久'<2fc+1.

故b=<2a-1,使得b(b4-1)是2a的倍数.

方法2注意到，(2"+i,m)=L由中国剩余定理，知同余方程组

[%三°(7少211)在区间(0/+1小)上有解％=从即存在b<2a-l,使得帅+1)是2a

lx=m—l(modm)

的倍数.

方法3由(2,m)=1,总存在r(reN+，rWm—1),使得2r三l(modm).

取t6N+，使得tr>k+1.则2疗=l(modm).

存在b=(2tr-1)-q(2k+1m)>0(qeN),使得0<b<2a-1.

此时，m\b,2k+1\(b+1).

从而b(b+1)是2a的倍数.

各省预赛典型题：

1.【2018年江苏】在1,2,3,4,1000中，能写成a?-标+eN)的形式，且不能

被3整除的数有个。

【答案】501.

【解析】

设S=[1,2,3,4,,1000},若n=a2—b2+1,则n#3(mod4).又4k=(2k)2—(2k—l)2+

1,4/c+1=(k+1产-(k-1产+1,4k+2=(2k4-1)2-(2fc)2+1,因此，n=a2-

b2+1当且仅当n*3(mod44).令4={aeS|a=3(mod44)},B={bES\b=0(mod3)},则

4nB={ceS|c=3(modl2)),因为⑷=250,|B|=333,14nBi=84,从而符合条件

的数的个数为1000-250-333+84=501.

故答案为:501

2.[2018年重庆】设集合4={a-l,21og26)-^F={a+l,log2(16b-64)}恰有一个公共元

素为a,则实数a=.

【答案】6

【解析】

因为a-l*a,o+l/a.所以公共元素为210g2b=log2(16b—64),解得b=8>a=210g2b=6.

故答案为：6

3.[2018年广西】某含有三个实数的集合既可以表示为{b,，。},也可以表示为{a,a+b,l),

则.2018+炉。18的值为.

【答案】2

【解析】

由题意可知a*0.由集合相等可以得到a+b=0,从而得到=-1.

a

因此a=-1,且七=1.所以。2018+02018=(-1)2018+12018=?

4.【2018年湖南】已知AUB={ai，a2，a3}，当4kB时，(A,B)与(8,4)视为不同的对，则这

样的(4,B)对的个数有个.

【答案】27

【解析】

由集合A、B都是AUB的子集，44B且4UB=(%,。2，。3).

当4=0时，B有1种取法：

当A为一元集时，B有2种取法；

当A为二元集时，B有4种取法；

当A为三元集时，B有8种取法.

故不同的（A,B）对有1+3x2+3x4+8=27（个）.

故答案为：27

5.【2018年广东】设集合4={x|M—印=2},B={x||x|<2},其中，［x］表示不大于x

的最大整数，则4nB=.

【答案】405={-1,73}

【解析】

因为|x|<2,所以，［制的值可取-2,-1,0,1.

当［x］=-2时，X2=0,无解；

当［力=-1时，x2=1=>x=-1；

当［x］=0时，X2=2,无解；

当［x］=l时，x2=3=>x=V3,

因此，x=-1或6.

6.【2018年贵州】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四

人中有以下情况：①最佳选手的学生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄

相同.则这四人中最佳选手是.

【答案】牛得亨先生的女儿

【解析】

由题意知，最佳选手和最佳选手的挛生同抱年龄相同；由②，最佳选手和最差选手的年龄相

同；由①，最佳选手的李生同胞和最差选手不是间一个人.因此，四个人中有三个人的年龄

相同.由于牛得亨先生的年龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得

亨先生的儿子、女儿和妹妹.由此，牛得亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的李生同胞.

因此，牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手，而牛得亨先生的妹妹是最差选手.由①，最佳

选手的学生同胞一定是牛得亨先生的儿子，而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿.

故答案为：牛得亨先生的女儿

7【2018年山东】集合4、B满足4UB={1,2,3,♦••」（）}，4nB=0,若4中的元素个数不是

4中的元素，B中的元素个数不是B中的元素，则满足条件的所有不同的集合4的个数为

【答案】186

【解析】

设4中元素个数为=1,2,…,9),则8中元素个数为10-k,

依题意k04,(m-：)<k<(m+J.

10-fc28,lO-k&A,此时满足题设要求的4的个数为C能.

其中，当k=5时，不满足题意，故kR5.

所以4的个数为或+段+…+或一或=28-瑞=186.

8.【2018年河北】已知集合4={%,%%%+y},8={0,且A=B,那么/。知+

y-.2018_-•

【答案】2

【解析】

由B中有三个元素知，工工0且、力0,故A中x+y=0,即有％=-y,又{x,%y}={|%l,y}

若{幻［J，则［.此时A={1,—1,0},B={0,1,-1).

若{/：>则{.；，端:二;,唠:;,不满足互异性，舍去.

故X=l,y=—1,所以/018+y2018=2.

9.【2018年四川】设集合/={1,234,5,6,7,8},若/的非空子集4、B满足。88=0,就称有

序集合对(4B)为/的“隔离集合对”，则集合/的“隔离集合对”的个数为.(用具体

数字作答)

【答案】6050

【解析】

设4为/的k(lWkW7)元子集，则B为/的补集的非空子集.所以，“隔离集合对”的个数为

C久28T_1)=A］1可28T_或=(1+2尸_(即+Cf2°)-(28-C°-

或)=38-29+1=6050.

故答案为：6050.

10.【2018年福建】设集合M={m|mGZ,且|m|42018},M的子集S满足：对S中任意3个

元素a,b,c(不必不同)，都有a+b+eO.求集合S的元素个数的最大值.

【答案】20

【解析】

集合5的元素个数的最大值为2018.

令5={s114542018,sSZ},显然集合S符合要求，且|S|=2018.

另一方面，设5是满足题设条件的集合，显然OCS(否则0+0+0=0).设5中的所有正整数

构成集合45中的所有负整数构成集合8.

若4=0,则|S|=|8|W2018：若B=0,则⑸=⑷W2018.

下面考虑A、B非空的情形.

对于集合X,匕记X+V={x+y|x€X,y€叫，-X={-x|xGX).

由题设可知I,(A+B)n(―S)=0(否则，设x()G(A+B)c(—5),则存在adA,beB,-c

G—S,使得a+b=x(),—c=x().于是，存在aWS,b^S,使得a+b+c=0).且A+8G{x|x€乙且

|x|<2017}(事实上，A中元素S2018,8中元素勺一1,于是A+B中元素42017；同理，A+B中

元素2-1027.).

设集合A中元素为。1，。2,…，ak，集合8中元素为bi，b2,bi，且。1<。2<..<以，bi<b2<...<bi.

。1+也<。2+也<。3+》1<♦..<仇+8/<仅+匕2<...<必+m.

：.A+B中至少有k+1—l个元素，即

结合力+BU{x|xeZ,^|x|<2017}CM,-SUM,且(4+B)n(-S)=0,可得(4+

B)U(-S')cM,4037=|M|>|/4+B|+|-S|=|/\+B|+|5|>|S|-l+|S|.

A|S|<2019.

若[5|=2019,则|A+8|+|-5|=4037=|M|.

(4+B)U(-S)=M.

又由一2018C4+8,2018CA+B,知2018W5,-2018ES.

对于k=l,2,3.......1009,k与2018-k中至少有一个不属于5,—/c与一2018+k中也至

少有一个不属于S.因此，|川41009,|8|41009.

，2019=|S|=141+151<1009+1009=2018,矛盾.

因此，⑸<2018.

综上可得,\S\<2018.

综上所述，集合5的兀素个数的最大值为2018.

11.(2018年湖南】已知集合4={%|-2<x<3},fi={x|m<x<m+9].

(1)若AUB=B,求实数m的取值范围：

(2)若ACB片。，求实数m的取值范围.

【答案】(1)[-6,-2]；(2)(-11,3)

【解析】

(1)、•集合A={x|—2<x<3},={x|m<x<m+9},AUB=B,

「.AGB,

.J，*—，解得-6Wm<-2,

实数m的取值范围是卜6,-2].

(2)集合4—{x|-2<x<3],F={x|m<x<m+9},

：.当AcB=。时，3<m或者m+9<-2,

解得m>3或m<-ll,

」.ACBH0时，-ll<m<3,

；.实数01的取值范围是(-11,3).

12.【2018年广东】已知正整数n都可以唯一表示为n=ao+a「9+a2・92+“・+am・9m

①的形式，其中m为非负整数，a,G[0,1,-,8)(1=0,1,…,m-l),』€{1,…,8}.试求

①中的数列劭,％,。2,…,严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n的和.

【答案】984374748

【解析】

设A和B分别表示①中数列严格单调递增和递减的所有正整数构成的集合.符号S(M)表示

数集M中所有数的和，并将满足①式的正整数记为n=即何……％的・

把集合A分成如下两个不交子集A。=(nEA\a0=0}和41={nGA\a0*0].

我们有S(4)=S(4o)=S(&).

对任意n6At,令f(n)=9n6Ao,则/是①到&的双射.

由此得S(a)=9s此J,从而S(4)=lOSOh).

又对任意a=amam-i…a。eB,令匕=g(a)=(9-am)(9-。加一。…(9-a0)e

则g是B到①的双射，其中a+b=9m+1+9m+…+9=-(9m+1-