初中数学-第01课时　实数及其运算

第1课时实数及其运算第一单元数与式有限循环不循环考点一实数的概念及分类考点聚焦2.按大小分(1)实数可分为正实数、0和负实数,0既不是正数,也不是负数.(2)正负数的意义:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并在表示这个量的前面放上“+”;把与它意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的前面放上“-”.如规定向东为“+”,则向西为“-”;涉及温度时规定零上为“+”,则零下为“-”.1.数轴:规定了原点、④

和⑤

的直线.数轴上的点与实数一一对应.

2.相反数:a的相反数是⑥

,0的相反数是0.

3.倒数:乘积是⑦

的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.

图1-1考点二实数的有关概念正方向单位长度-a1-a1.定义:把一个数写成a×10n的形式,其中,1≤|a|<10,n为整数.2.n的确定(1)对于绝对值大于10的数,n为正数,n等于原数的整数位数减1;(2)对于绝对值大于0且小于1的数,n为负数,n的绝对值等于原数左起第一个非零数前所有零的个数(包括小数点前的零).3.常考的计数单位和计量单位:1亿=⑨

,1万=⑩

;1mm=10-3m,1nm=10-9m等.

考点三科学记数法与近似数1081044.科学记数法的还原(1)绝对值大于10的数的还原:将数a的小数点向⑪

移动n位;

(2)绝对值大于0且小于1的数的还原:将数a的小数点向⑫

移动|n|位.

5.近似数:一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到哪一位.有计数单位的近似数,由近似数的数位和后面的单位共同确定.如3.618万,数字8实际上是十位上的数字,即精确到十位.右左数轴比较法

数轴上的两个点表示的数,右边的数总比左边的数⑬

性质比较法(1)正数>0>负数;(2)两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的反而⑭

;

(3)若一组数据中有正数,0,负数,求最大的数时在正数中找,求最小的数时在负数中找差值比较法

对于任意实数a,b:a-b>0⇔⑮

;a-b=0⇔⑯

;a-b<0⇔⑰

考点四实数的大小比较大小a>ba=ba<b（续表）运算律交换律a+b=⑱

,ab=⑲

结合律(a+b)+c=⑳

,

(ab)c=㉑

分配律a(b+c)=㉒

几种常见的运算乘方an=a·a·

·a(n个a相乘)零次幂

任何非零实数的零次幂都为1,即a0=㉓

(a≠0)

考点五实数的运算b+abaa+(b+c)a(bc)ab+ac在实数范围内,加、减、乘、除(除数不为零)、乘方运算都可以进行,但不一定能进行开方运算.1…（续表）-11括号内的题组一必会题对点演练[答案]D[解析]当原数的绝对值≥10时,n等于原数的整数位数减1.因为150000000的整数位数是9,所以n=8.所以150000000=1.5×108,故选D.1.[七上P53练习第1(3)题改编]地球与太阳的平均距离大约为150000000km,150000000用科学记数法表示为(

)A.1.5×106 B.15×106C.15×107 D.1.5×108[答案]CD[答案]π5.[七上P19做一做改编]如图1-2,圆片的直径为1个单位长度,把圆片上的点A放在原点,然后把圆片沿数轴滚动1周,点A到达点A'的位置,则点A'表示的数是

.

图1-2【失分点】误认为带根号的数都是无理数;数据带有单位时,将其转化为科学记数法表示时出错;对实数分类掌握不彻底;计算负整数指数幂过程中用错法则.题组二易错题C7.[2019·苏州改编]苏州是全国重点旅游城市.2018年实现旅游总收入约为26000000万元,数据“26000000万”用科学记数法可表示为 (

)A.0.26×108 B.2.6×107C.26×1010 D.2.6×1011D8.实数0是 (

)A.有理数 B.无理数C.正数 D.负数A9.已知一个数的绝对值是4,则这个数是

.

±47-π考向一实数的概念及分类B【方法点析】对无理数的判断,不能被表面形式迷惑,而应从最后结果去判断,如sin30°不是无理数.|考向精练|CBB考向二与实数有关的概念[答案]B[解析]A.a也可能是0或负数,故本选项错误;B.a的相反数是-a,故本选项正确;C.a若是0,则没有倒数,故本选项错误;D.a是非负数时,a的绝对值是a,a是负数时,a的绝对值是-a,故本选项错误.故选B.|考向精练|DD22[答案]7[解析]由数轴可知AB=3-1=2,则BC=2AB=4,又C在B的右侧,故点C表示的数是7.4.[2017·福建]已知A,B,C是数轴上的三个点,且C在B的右侧.点A,B表示的数分别是1,3,如图1-3所示.若BC=2AB,则点C表示的数是

.

图1-3考向三科学记数法与近似数例3(1)[2019·徐州]如图1-4,数轴上有O,A,B三点,O为原点,OA,OB分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离(单位:光年).下列选项中,与点B表示的数最为接近的是(

)A.5×106 B.107C.5×107 D.108图1-4[答案]C[解析]本题考查了数轴的应用以及科学记数法,由于点A表示的数为2.5×106,靠近B的整数应该是2.5×106的20倍,于是与点B表示的数最接近的数约为2.5×106×20=5×107,故选C.例3(2)[2019·扬州一模]长度单位1纳米=10-9米,目前发现一种新型病毒直径为25100纳米,用科学记数法表示该病毒直径是

米.

(3)[2019·无锡模拟]用四舍五入法对437540取近似数,精确到千位为

(用科学记数法表示).

2.51×10-54.38×105【方法点析】小心带有计数单位的数(1)一个带有计数单位的数,精确的位数由计数单位和末位数字所在的位置共同确定,一般是把数还原成不用计数单位的数,再看末位数字落在哪一位.(2)有计量单位的科学记数法,先把计量单位转化为数字表示,再用科学记数法表示.|考向精练|DC1.[2019·淮安]同步卫星在赤道上空大约36000000米处.将36000000用科学记数法表示应为(

)A.36×106 B.0.36×108C.3.6×106 D.3.6×1072.[2019·徐州三模]徐州日报社记者从市铁路运输部门获悉,2019年4月5日至7日清明节小长假期间,徐州铁路运输部门累计发送旅客17.8万人次.17.8万用科学记数法表示为 (

)A.17.8×105 B.17.8×106C.1.78×105 D.1.78×1063.[2019·镇江]氢原子的半径约为0.00000000005m,把0.00000000005用科学记数法表示为

.

4.[2019·贵港]将实数3.18×10-5用小数表示为

.

5×10-110.0000318考向四实数的大小比较例4(1)[2019·长沙]下列各数中,比-3小的数是(

)A.-5 B.-1 C.0 D.1A例4(2)[2019·自贡]实数m,n在数轴上对应点的位置如图1-5所示,则下列判断正确的是(

)A.|m|<1 B.1-m>1C.mn>0 D.m+1>0[答案]B[解析]由数轴可知,m<-1<0,n>1>0.∴|m|>1,mn<0,m+1<0,-m>0,∴1-m>1.∴选项A,C,D错误,故选B.图1-5【方法点析】(1)比较含有字母的代数式的大小,可在字母的取值范围内取特殊值,代入需比较的代数式,计算出结果再进行比较(一般在客观题中应用,主观题中可以用来验证判断结果的正确与否).(2)比较两个实数的大小,除了利用实数的性质外,还有数轴比较法、作差比较法、作商比较法、平方比较法、倒数比较法等.1.以下四个选项表示某天四个城市的平均气温,其中平均气温最低的是(

)A.-3℃ B.15℃C.-10℃ D.-1℃|考向精练|C[答案]A图1-6>[答案]

<[答案]a-b[解析]∵-1<b<0,∴-b>b,0<b2<-b,∴a-b>a+b,a-b>a+b2,又∵0<a<1,∴0<a2<a,∴a-b>a2+b,综上可得,在代数式a-b,a+b,a+b2,a2+b中,最大的是a-b.4.[2018·陕西]比较大小:3

.(填“>”“<”或“=”)5.[2018·徐州一模]已知-1<b<0,0<a<1,则代数式a-b,a+b,a+b2,a2+b中值最大的是

.

考向五实数的运算1.[2019·东海一模]计算2-(-3)×4的结果是(

)A.20 B.-10C.14 D.-20|考向精练|[答案]C[解析]原式=2-(-12)=2+12=14.故选C.3.计算12+(-18)÷(-6)-(-3)×2的结果是

.

21解:原式=1-1+4=4.考向六探索实数运算中的规律例6阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22020的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22019+22020,将等式两边同时乘2,得2S=2+22+23+24+25+…+22020+22021,将下式减去上式,得2S-S=22021-1,即S=22021-1.即1+2+22+23+24+…+22020=22021-1.请你仿照此法计算:(1)