2023-2024学年河南省商丘市夏邑县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省商丘市夏邑县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分.1.下列事件是必然事件的是(

)A.四边形内角和是360°

B.校园排球比赛，九年一班获得冠军

C.掷一枚硬币时，正面朝上

D.打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况2.点P(2,−3)关于原点对称的点P′的坐标是(

)A.(2,3) B.(−2,−3) C.(−3,2) D.(−2,3)3.已知a，b，c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况为A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根 D.无法判定4.如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为(

)

A.58 B.1350 C.13325.已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系(I=UR).下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是A. B.

C. D.6.如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y=kx(k≠0)图象上的一点，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于直N，若四边形AMON的面积为2.则k的值是(

)A.2

B.−2

C.1

D.−17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD.下列说法错误的是(

)A.直线PQ是AC的垂直平分线

B.CD=12AB

C.DE=12BC

8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点.若∠DCE=65°，则∠BOD的度数是(

)A.65°

B.115°

C.130°

D.140°9.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−2,0)，B两点，对称轴是直线x=2，下列结论中，所有正确结论的序号为(

)

①a>0；

②点B的坐标为(6,0)；

③c=3b；

④对于任意实数m，都有4a+2b≥am

A.①② B.②③ C.②③④ D.③④10.如图1，△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=20.点D从点A出发沿折线A−C−B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E.设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a−b的值为(

)

A.54 B.52 C.50 D.48二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m=______．12.如图，在平面直角坐标系中，点B坐标(8,4)，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB′，则点B′的坐标为______．

13.点A(1,y1)，B(2,y2)都在反比例函数y=2x的图象上，则y1______14.有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后(不放回)，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为______．15.如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是______．

16.如图，△ABO的顶点坐标是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的13，得到△A′B′O，则点A′的坐标为______．

三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)当k=118.(本小题10分)

小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目(A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盘丝洞)中各自随机选择一个项目游玩．

(1)小华选择C项目的概率是______；

(2)用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率．19.(本小题10分)

如图，反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)与正比例函数y=mx(m为常数，m≠0)的图象交于A(1,2)，B两点．

(1)求反比例函数和正比例函数的表达式；

(2)若y轴上有一点C(0,n)，△ABC的面积为4，求点C20.(本小题10分)

问题背景

鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星.数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现

如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．

(1)操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则∠BDE=______°，设AC=1，BC=x，那么AE=______(用含x的式子表示)；

(2)进一步探究发现：BCAC=5−12，这个比值被称为黄金比.在21.(本小题10分)

如图，在△ABC中，O是AC上(异于点A，C)的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．

(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．

(2)若AC=10，DC=8，求⊙O的半径长．22.(本小题11分)

如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分(如图②所示)，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC=9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA=3．

(1)求抛物线的表达式；

(2)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y=−x2+2bx+b−1(b>0)，当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9，求b的取值范围．23.(本小题11分)

(1)问题背景：如图1，∠ACB=∠ADE=90°，AC=BC，AD=DE，求证：△ABE∽△ACD；

(2)尝试应用：如图2，将正方形ABCD的边AB，BC绕点A逆时针旋转一定角度，得到线段AE，EF，连接AF交CD于点H，连接BE，CF，若△ABE∽△CFH，求∠BAE的度数．

答案和解析1.【答案】A

解：A、四边形内角和是360°，是必然事件，故A符合题意；

B、校园排球比赛，九年一班获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；

C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故C不符合题意；

D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；

故选：A．

根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．

本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．2.【答案】D

解：点P(2,−3)关于原点对称的点P′的坐标是(−2,3)．

故选：D．

根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．

本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．3.【答案】B

解：∵点P(a,c)在第四象限，

∴a>0，c<0，

∴ac<0，

∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2−4ac>0，

∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．

故选：B．

先利用第二象限点的坐标特征得到ac<0，则判断Δ>0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

本题考查了根的判别式：一元二次方程a4.【答案】B

解：设16个相同的小正方形的边长为a，则4个相同的大正方形的边长为1.5a，

∴点P落在阴影部分的概率为2a2+2×(1.5a)216a2+4×(1.5a)25.【答案】D

解：∵电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系(I=UR)，R、I均大于0，

∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是D选项，

故选：D．

根据题意得到电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系(I=6.【答案】A

解：由题意，设A(a,b)，

∴ab=k．

又S四边形ANOM=2=ab，

∴k=2．

故选：A．

依据题意，根据四边形面积与反比例函数的关系即可得解．7.【答案】D

解：由作图可知PQ垂直平分线段AC，故选项A正确，

∴DA=DC，AE=EC，

∴∠A=∠DCA，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠DCB+∠DCA=90°，

∴∠B=∠DCB，

∴DB=DC，

∴AD=DB，

∴CD=12AB，故选项B正确，

∵AD=DB，AE=EC，

∴DE=12BC，故选项C正确，

故选：D．8.【答案】C

解：∵∠DCE=65°，

∴∠DCB=180°−∠DCE=180°−65°=115°，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BAD+∠DCB=180°，

∴∠BAD=65°，

∴∠BOD=2∠BAD=2×65°=130°，

故选：C．

根据邻补角互补求出∠DCB的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠BOD的度数．

本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．9.【答案】C

解：∵抛物线开口向下，

∴a<0，①错误，

∵A、B关于对称轴x=2对称，

∴B点的横坐标为6，②正确，

∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，

∴−b2a=2，

∴a=−b4，

把(−2,0)代入y=ax2+bx+c，得：

4a−2b+c=0，

∴4⋅(−b4)−2b+c=0，整理得：

c=3b，③正确，

∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，

∴当x=2时，抛物线取得最大值为y=4a+2b+c，

当x=m时，y=am2+bm+c，

∴4a+2b+c≥am2+bm+c，

即4a+2b≥am2+bm，④10.【答案】B

【解析】解∵∠C=90°，AC=15，BC=20，

∴AB=AC2+BC2=152+202=25，

①当0≤x≤15时，点D在AC边上，如图所示，

此时AD=x，

∵ED⊥AB，

∴∠DEA=90°=∠C，

∵∠CAB=∠EAD，

∴△CAB∽△EAD，

∴AEAC=ADAB=DEBC，

∴AE=AC⋅ADAB=3x5，

DE=BC⋅ADAB=4x5，

BE=25−3x5，

∴y=12BE⋅DE=12×(25−3x5)×4x5=10x−6x225，

当x=10时，y=76，

∴a=76，

②当15<x≤35时，点D在BC边上，如图所示，

此时BD=35−x，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°=∠C，

∵∠DBE=∠ABC，11.【答案】5

解：把x=1代入方程x2+mx−6=0得1+m−6=0，

解得m=5．

故答案为：5．

把x=1代入原方程得到1+m−6=0，然后解一次方程即可．12.【答案】(−4,8)

解：分别过点B、B′向x轴作垂线，垂足分别为M、N．

(方法一)∵∠BOB′=90°，

∴∠BOM+∠B′ON=90°．

又∵∠BOM+∠OBM=90°，

∴∠B′ON=∠OBM．

在Rt△OMB和Rt△B′NO中，

∠OMB=∠B′NO∠OBM=∠B′ONOB=B′O，

∴Rt△OMB≌Rt△B′NO(AAS)，

∴B′N=OM=8，ON=BM=4，

∴点B′的坐标为(−4,8)．

(方法二)根据题意，得OB′=OB=OM2+BM2=82+42=45．

sin∠BOM=sin(90°−∠B′ON)=cos∠B′ON=BMOB=445=55，

cos∠BOM=cos(90°−∠B′ON)=sin∠B′ON=OMOB=845=213.【答案】>

解：∵点A(1,y1)，B(2,y2)在反比例函数y=2x的第一象限图象上，y随x的增大而减小，

∴y1>y2．

故答案为：>．

根据反比例函数y=14.【答案】16解：设等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆分别为A，B，C，D，

根据题意画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的结果有2种，

∴抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为212=16，

故答案为：16．15.【答案】1−π解：连接OA，OD，

∵AP，PD是⊙O的切线，

∴∠OAP=∠ODP=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOD=90°，

∵OA=OD，

∴四边形OAPD是正方形，

∵AD=2，

∴OA=22AD=1，

∴图中阴影部分的面积=正方形OAPD的面积−扇形AOD的面积=1×1−90⋅π×12360=1−π4，

故答案为：1−16.【答案】(23,2)解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的13，可以得到△A′B′O，点A的坐标为(2,6)，

∴点A′的坐标是(2×13,6×13)或(2×(−13),6×(−13))，即(23,2)或(−217.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数根，

∴Δ=(2k+4)2−4k(k−6)>0，且k≠0，

解得：k>−25且k≠0；

(2)当k=1时，

原方程为x2−(2×1+4)x+1−6=0，

即x2−6x−5=0，

移项得：x2−6x=5，

配方得：x2−6x+9=5+9【解析】(1)结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围；

(2)将k=1代入方程，利用配方法解方程即可．

本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，(1)中需特别注意二次项的系数不为0．18.【答案】(1)13；

(2)画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目的结果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6种，

∴小华、小玲选择不同游玩项目的概率为69解：(1)小华选择C项目的概率是13．

故答案为：13．

(2)画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目的结果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6种，

∴小华、小玲选择不同游玩项目的概率为69=23．

(1)直接利用概率公式可得答案．19.【答案】解：(1)将点A(1,2)代入y=kx，得：k=2，

∴反比例函数的解析式为：y=2x，

将点A(1,2)代入y=mx，得：m=2，

∴正比例函数的解析式为：y=2x．

(2)解方程组y=2xy=2x，得：x1=1y1=2，x2=−1y2=−2，

∴点B的坐标为(−1,−2)，

过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，

∵A(1,2)，B(−1,−2)，C(0,n)，

∴AE=BF=1，OC=|n|，

∵S△ABC=S△AOC+S△BOC【解析】(1)分别将点A(1,2)反比例函数和正比例函数的解析式即可得出答案；

(2)先求出点B的坐标，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，然后根据点A、B、C的坐标表示出AE，BF，OC，最后再根据S△ABC=S△AOC+S△BOC=4即可求出点C的坐标．

此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，难点是在解答(2)时，过点A，B向20.【答案】72

1−x

解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=36°，

∴36°+∠C+∠C=180°，

∴∠C=72°，

∴∠ABC=72°，

由折叠得BE=BC，∠EBD=∠CBD=12∠ABC=12×72°=36°，

∴∠BDE=∠BDC=∠A+∠EBD=36°+36°=72°，

∵AB=AC=1，BE=BC=x，

∴AE=AB−BE=1−x，

故答案为：72，1−x，

(2)证明：由(1)得∠ABC=∠BDC=∠C=72°，∠EBD=∠A=36°，

∴BC=BD=AD，

∵∠BDC=∠ABC，∠C=∠C，

∴△BDC∽△ABC，

∴DCBC=BCAC，

∴BC2=AC⋅DC，

∵AC=1，BC=AD=x，

∴DC=AC−AD=1−x，

∴x2=1−x，

整理得x2+x−1=0，

解得x1=5−12，x2=−5−12(不符合题意，舍去)，

∴BC=5−12，

∴BCAC=5−121=5−12．

(1)由AB=AC，得∠ABC=∠C，因为∠A=36°21.【答案】解：(1)BC与⊙O相切，理由如下：

如图，连接OB，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵AB平分∠CAD，

∴∠DAB=∠CAB，

∴∠DAB=∠OBA，

∴AD/​/OB，

∵AD⊥CB，

∴OB⊥CB，

∵OB是⊙O的半径，

∴BC与⊙O相切；

(2)∵∠D=90°，AC=10，DC=8，

∴AD=AC2−DC2=6，

∵AD/​/OB，

∴OBAD=OCAC，

∴OB【解析】(1)连接OB，证明AD/​/OB，进而可以解决问题；

(2)利用勾股定理求出AD，然后根据平行线分线段成比例定理即可求出半径．

本题考查了直线和圆的