陕西省咸阳市2023-2024学年高三上学期模拟检测（一）理科数学试题

咸阳市2024年高考模拟检测（一）数学（理科）试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则集合（）A． B． C． D．2．已知为虚数单位，，则复数在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，若，则（）A． B． C．1 D．4．已知数列的前n项和为，且等比数列满足，若，则（）A．6 B．5 C．4 D．35．著名的本福特定律：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数，也称为“第一位数定律”或者“首位数现象”．意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是的概率为．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是9的概率之比约为多少？（参考数据：，）（）A．2.9 B．3.8 C．4.5 D．6.56．直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．7．某同学寒假期间想到咸阳市的9个旅游景点乾陵、茂陵、汉阳陵、袁家村、郑国渠、昭陵、旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班中的3个景点进行旅游，其中旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班三个景点为红色旅游景点，则他所去的景点中至少包含一个红色旅游景点的概率是（）A． B． C． D．8．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为（）A． B． C． D．9．等差数列中的，是函数的极值点，则（）A． B． C．3 D．10．已知的展开式中的常数项为0，则（）A．3 B． C．2 D．11．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们一个公共点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则（）A． B． C． D．12．设，，，则（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角，为锐角，且，，则角______．14．已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为______．15．设x，y满足约束条件，设，则z的取值范围为______．16．已知函数，若，，且，则的最小值为______．三、解答题；共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值，并求当面积取得最大值时对应的周长．18．（本小题满分12分）为庆祝元旦，某商场回馈消费者，准备举办一次有奖促销活动，如果顾客一次消费达到500元，可参加抽奖活动，规则如下；抽奖盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，活动结束．否则记为失败，随即获得纪念品1份，当然，如果顾客愿意可在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽奖，如此不断继续下去，直至成功．（Ⅰ）某顾客进行该抽奖试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽奖，记其进行抽奖试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）为验证抽奖试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽奖试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下表：t12345y23298604020求y关于t的回归方程：，并预测成功的总人数（四舍五入精确到1）．附：经验回归方程系数：，．参考数据：，，（其中）．19．（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥中，，，点O、D分别是、的中点，底面．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当k取何值时，二面角的余弦值为？20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求证直线过定点．21．（本小题满分12分）已知函数，．（Ⅰ）若恒成立，求a的取值集合；（Ⅱ）证明．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若，求直线m的斜率．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（Ⅰ）画出函数的图象；（Ⅱ）设函数的最大值为m，若正实数a，b，c满足，求的最小值．咸阳市2024年高考模拟检测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B2．D3．C4．A5．D6．B7．C8．D9．A10．C11．C12．B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（或） 14． 15． 16．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．解：（Ⅰ）由，得．由余弦定理得：，．（Ⅱ）方法一：因为，，由余弦定理得，当且仅当时取等，，所以的面积：，此时的周长为：12．方法二：，，由正弦定理得，的面积，，又，，当时，面积最大值为．此时，，于是的周长为：12．18．解：（Ⅰ）X的取值可能为1，2，3，；；；所以X的分布列为：X123P所以数学期望为：．（Ⅱ）令，则，由题意可知，，所以．所以，．故所求的回归方程为所以估计时，；估计时，；估计时，；预测成功的人的总数为．19．解：（Ⅰ）证明：在中，点O、D分别是、的中点，，平面，平面，平面．（Ⅱ）O为中点，连接，，则，平面，平面，，以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．设，则，，，在中，，，，，，则，，，平面，平面，，又且，平面，是平面的一个法向量．设平面的一个法向量，则即，令，得，，设为二面角的平面角．则，解得．方法二：作，又，，平面，平面，，又，是二面角的平面角．设，由题意可知，，，即为等腰三角形．在中，作，则，且，在中，，则，在中，根据余弦定理，解得．20．解：（Ⅰ）由题可得，即，，得．①又，即，②由①②可得，，所以椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设，，，由题知，直线上一点P作椭圆C的两条切线斜率存在，设过点且与椭圆相切的直线方程为：，联立方程得，，整理得，即，在椭圆上，，即，，，即，，解得，（此处也可以尝试采用复合函数求导进而可得斜率）过点且与椭圆相切的直线方程为：，，即，整理可得以M为切点的椭圆C的切线方程为，同理，以N为切点的椭圆C的切线方程为，（上述切线方程也可以尝试采用“构造缩放法”证明二级结论：过椭圆上点切线方程为：）又两切线均过点P，故，且，整理化简得，且，点，均在直线上，直线的方程为，直线过定点．21．解：（Ⅰ）由题可知函数的定义域为，，令，得，由x，，列表如下xa0极小值，只需证明，．令，，得，由x，，列表如下x10极大值．又，，，，，故a的取值集合为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当时，，即，，（当时，“”成立），令，，则，，由累加法可知累加可得，即，令，，恒成立，在是递减的，，，，（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题