新教材数学人教A版作业3-4函数的应用（一）

第三章3.4A组·素养自测一、选择题1．随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36kPa时，y＝108g/m3，则y与x的函数关系式为(A)A．y＝3x(x≥0) B．y＝3xC．y＝eq\f(1,3)x(x≥0) D．y＝eq\f(1,3)x[解析]由题意设y＝kx，将(36，108)代入解析式，得k＝3，故y＝3x.与时考虑到实际问题的实际意义可知x≥0.2.某网络公司推出两种上网收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地上网时间t(分钟)与上网费用s(元)的函数关系如图，当上网150分钟时，这两种收费相差(A)A．10元 B．20元C．30元 D．eq\f(40,3)元[解析]设A种方式对应的函数解析式为S＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为S＝k2t，当t＝100时，100k1＋20＝100k2，所以k2－k1＝eq\f(1,5)，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1,5)－20＝10(元)．3.有一直角墙角的平面图如图所示，两边的长度足够长，在点P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12)，4m，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数S＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(C)[解析]设BC＝x，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16－x≥4，,x≥a.))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤12，,x≥a.))所以0<a≤12，a≤x≤12，花圃的面积为y＝x(16－x)＝－(x－8)2＋64，且a≤x≤12.当0<a≤8时，花圃的面积的最大值ymax＝S＝64为定值；当8<a≤12时，花圃的面积的最大值逐渐变小且S<64.观察各选项，知选C．4．某物体一天中的温度T是关于时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，当t＝0时，表示中午12∶00，其前t值取负，其后t值取正，则上午8时的温度是(A)A．8℃ B．112℃C．58℃ D．18℃[解析]求上午8时的温度，即求t＝－4时函数的值，所以T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8(℃)．故选A．5．下表表示一球自一斜面滚下七秒内所行的距离s的呎数(注：呎是一种英制长度单位)t012345s0104090160250当t＝2.5时，距离s为(B)A．45 B．62.5C．70 D．75[解析]由图表可知，距离s与时间t的关系是s＝10t2，∴当t＝2.5时，s＝10×(2.5)2＝62.5，故选B．6．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A，B产品各一件，盈亏情况为(B)A．不亏不赚 B．亏5.92元C．赚5.92元 D．赚28.96元[解析]依题意有A产品的原价为16元，B产品的原价为36元，若厂家同时出售A，B两种产品，亏5.92元．二、填空题7．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为800副．[解析]由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少为800副时才不亏本．8．一个水池每小时注入水量是全池的eq\f(1,10)，水池还没注水部分的总量y随注水时间x变化的关系是y＝1－eq\f(1,10)x(0≤x≤10)．[解析]依题意列出函数式即可，但要注意函数定义域．9．(2021·山东临沂罗庄区高一联考)某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为eq\f(1,5)(x－k＋eq\f(4500,x))L，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，则k＝100，欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为[60，100]．[解析]记每小时的油耗为y，根据题意得y＝eq\f(1,5)(x－k＋eq\f(4500,x))，则当x＝120时，y＝eq\f(1,5)(120－k＋eq\f(4500,120))＝11.5，解得k＝100，所以y＝eq\f(1,5)(x－100＋eq\f(4500,x))．y≤9，即eq\f(1,5)(x－100＋eq\f(4500,x))≤9，解得45≤x≤100.又因为60≤x≤120，所以x的取值范围为[60，100]．三、解答题10．某广告公司要为客户设计一幅周长为l(单位：m)的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？[解析]设广告牌的长为xm，则宽为eq\f(l－2x,2)m.设广告牌的面积为ym2，则y＝x·eq\f(l－2x,2)＝－x2＋eq\f(l,2)·x(0<x<eq\f(l,2))．当x＝eq\f(1,4)l时，y取最大值．此时，宽为eq\f(l－2×\f(1,4)l,2)＝eq\f(1,4)lm.∴当这个广告牌为边长为eq\f(1,4)lm的正方形时，面积最大．11．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则(1)设总成本为y1(单位：万元)，单位成本为y2(单位：万元)，销售总收入为y3(单位：万元)，总利润为y4(单位：万元)，分别求出它们关于总产量x(单位：万元)的函数解析式；(2)根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析．[解析](1)由题意，得y1＝150＋0.25x，y2＝eq\f(150,x)＋0.25，y3＝0.35x，y4＝0.35x－(150＋0.25x)＝0.1x－150.(2)画出y4＝0.1x－150的图象如图．由图象可知，当x<1500时，该公司亏损；当x＝1500时，公司不赔不赚；当x>1500时，公司赢利．B组·素养提升一、选择题1．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位：元)由函数f(m)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3.71，0<m≤4，,1.06×（0.5[m]＋1），m>4))给出，其中[m]是不小于m的最小整数，例如[2]＝2，[1.21]＝2，那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为(B)A．3.71元 B．4.24元C．4.7元 D．7.95元[解析]由[m]是不小于m的最小整数可得[5.2]＝6，所以f(5.2)＝1.06×(0.5×6＋1)＝1.06×4＝4.24，故从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为4.24元，故选B．2．如图，已知直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，用直线x＝t截这个梯形，设位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为y，则函数y＝f(t)的大致图象为(C)[解析]由题意知，y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2，0<t≤1，,2t－1，1<t≤2.))结合选项知C正确．3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x<10，x∈N*，,2x＋10，10≤x<100，x∈N*，,1.5x，x≥100，x∈N*，))其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(C)A．15 B．40C．25 D．130[解析]若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用25人．4．(多选题)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(BD)A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝eq\f(1,15)x[解析]在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝eq\f(1,15)，D正确．故选BD．二、填空题5．一件商品的成本为20元，售价为40元时每天能卖出500件，若售价每提高1元，每天的销量就减少10件，则商家定价为55元时，每天的利润最大．[解析]设每天的销售利润为y元，售价提高x元，则销量为(500－10x)件，故y＝[(40＋x)－20](500－10x)＝－10(x－15)2＋12250，当x＝15时，y取得最大值，故定价为40＋15＝55元时，每天的利润最大，故答案为55.6．已知汽车刹车距离y(米)与行驶速度的平方v2(v的单位：千米/时)成正比，当汽车行驶速度为60千米/时时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为45米．[解析]由汽车刹车距离y(米)与行驶速度的平方v2(v的单位：千米/时)成正比，可设y＝kv2(k≠0)，当汽车行驶速度为60千米/时时，刹车距离为20米，∴20＝3600k，解得k＝eq\f(1,180)，∴y＝eq\f(1,180)v2，当v＝90千米/时时，y＝eq\f(1,180)×902＝45米，故答案为45.7.如图，一个小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1m，皮球经过路线的最高点B(8，9)，则这个函数的表达式为y＝－eq\f(1,8)x2＋2x＋1，小孩将球抛出了约16.5m(精确到0.1m)．[解析]设y＝a(x－8)2＋9，将点A(0，1)代入，得a＝－eq\f(1,8).则y＝－eq\f(1,8)(x－8)2＋9＝－eq\f(1,8)x2＋2x＋1，令y＝0，得y＝－eq\f(1,8)(x－8)2＋9＝0，(x－8)2＝8×9，x＝8±6eq\r(2)，则C(8＋6eq\r(2)，0)，所以OC＝8＋6eq\r(2)≈16.5(m)．三、解答题8．(2021·山东威海高一检测)某汽车制造企业计划在2020年引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x(百辆)，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x2＋200x，0<x<40，,601x＋\f(10000,x)－4500，x≥40，))该企业确定每辆新能源汽车的售价为6万元，并且全年内生产的汽车当年能全部销售完．(1)求2020年的利润L(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式(其中利润＝销售额－成本)；(2)2020年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．[解析](1)当0<x<40时，L＝600x－10x2－200x－2500＝－10x2＋400x－2500；当x≥40时，L＝600x－601x－eq\f(10000,x)＋4500－2500＝2000－(x＋eq\f(10000,x))．∴L＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－10x2＋400x－2500，0<x