新教材人教A版高中数学必修第二册空间几何体外接球问题10种题型总结 同步讲义

34、空间几何体外接球问题10种题型总结

【题型目录】

题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，（2R^=a2+b2+c2）

题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为

外接球的直径，（2R）2="2+〃+。2）

<z,λ2

题型三：圆柱的外接球（收=U+r2,其中「为底面圆的半径，〃为圆柱的高）

（∣Λ2

题型四：直棱柱的外接球IR?=]]）+产，其中r为底面外接圆的半径，∕ι为棱柱的高）

题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（R?=（%]+/，其中/■为底面外接圆的半径，

PA为棱锥垂直于底面的棱）

题型六：圆锥的外接球

题型七：棱台圆台的外接球

题型八：正棱锥的外接球

题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）

题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）

【典型例题】

题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，（2R）2=a2+b2+C2）

【例1】若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1,则这个球的表面积是（）

A.BKB.—C.3πD.12π

24

【答案】C

【分析】先求得球的半径，进而求得球的表面积.

【详解】正方体的体对角线长为白，所以球的直径2R=√J,R=3,

2

所以球的表面积为4πR?=3几

【例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球

的体积为（）

9πI—

A.--B.3v3τcC.97tD.27π

2

【答案】A

【分析】先求得正方体的边长，然后求得球的半径，进而求得球的体积.

【详解】设正方体的边长为",4>0,则6/=18,α=√J,

正方体的对角线长为后向B=3,

3

所以球的直径2R=3,半径R=—,

2

所以球的体积为史x1-T=—.

3⑴2

【题型专练】

1.长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2,4,4,则该长方体外接球的表面积为（）

A.9冗B.18乃C.36万D.48»

【答案】C

【分析】根据长方体外接球直径2R=JY+廿+¢2,可求出半径尺再由球体表面积公式

S=4πR2,即可求出结果.

【详解】长方体外接球直径2R=√77P77=质不寿=6nH=3,所以该长方体外接

球的表面积5=4乃川=4万.32=36万

2.已知球内接正方体的表面积为S,那么球体积等于.

【答案】叵"

24

【分析】由正方体表面积求出正方体棱长，再根据球直径等于内接正方体体对角线，得球的

半径，代入球的体积公式.

【详解】因为正方体表面积为S,所以正方体棱长为〃=运,

6

又因为球的直径等于其内接正方体体对角线，所以球直径2R=√Jx运=叵,

62

球半径R=哈体积V=E=等小

题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为

外接球的直径，（ZR）?=/+/+。2）

图1墙角体图1鳖麝图3挖墙角体图4对角线相等的四面体

图1侧面（侧棱）两两垂直,

图2所有面均为直角三角形，（线面垂直+线线垂直）；

图3俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形，

图4若是长方体则为对棱相等的四面体，若是正方体则是正四面体（所有棱长均相等）

图4中（长方体）

1122

AD=BCa+b=BC=aI___________

A8=CO}</+="=/+6+¢2=+/nR产+6+/,

22g22V8

AC=BDc+a=AB~=y

匕V-BCQ=cιbc--abc×4=-abc.

63

【例1】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为6,则其外接球的表面积是

【答案】9π

【分析】根据题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，因此以三条侧棱为长、宽、高构造正方

体如图所示，该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，利用长方体的对角线长公式算出球的

直径，再根据球的表面积公式加以计算，可得答案.

【详解】解：设三棱锥A-BcD中，面ABC、面AB。、面ACC两两互相垂直，

AB=AC=A。=G

则AB、AC,两两互相垂直，以A8、AD.AC为长、宽、高，构造正方体如图所示,

可得该正方体的外接球就是三棱俳CD的外接球，

设球半径为R，可得正方体的对角线长等于球直径2R，

3

即2H=3,解得H=—,

2

3

外接球的表面积是S=4π∕?2=4π×（-）2=9π.

【例2】已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,_ABC是边长为2

的正三角形，E,F分别是A4,AB的中点，NCEF=90。,则球。的体积为（）

A.-7δπB.6πC.24πD.8>∕βπ

【答案】A

［分析］先证得PBɪ平面PAC,再求得PA=PB=PC=0,从而得P-ABC为正方体一部

分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.

【详解】设B4=PB=PC=2x,E,产分别为R4,AB中点`EF〃PB,且EF=gPB=x,

AfiC为边长为2的等边;角形，.∙.b=√L

又NCEF=90°，.∙,CE=y∣^,AE=^PA=x,

在中，由余弦定理COSZEAC='+"卜口,

2×2×x

作PQj_AC于O,,PA=PC,..。为AC中点，

..PA=PB=PC=6，

乂ΛB=BC=AC=2,PB,PC两两垂直，

即三棱锥P-ABC是以R4,PB,PC为棱的正方体的一部分；

所以球。的直径27?=12+2+2=指,解得R=。，

则球。的体积VZ=—ττR''=—π×=∙Jbπ

338

【例3】表面积为86的正四面体的外接球的表面积为()

A.4百兀B.12；TC.8;IrD.4y∕bπ

【答案】B

【分析】根据表面积求得正四面体的棱长，再结合正方体的外接球半径的求解，即可求得结

果.

【详解】设正四面体的棱长为a,则根据题意可得：立∕X4=8∕,解得〃=2式：

该正四面体的外接球与棱长为2的正方体的外接球的半径相等，

又正方体的外接球半径为C,故该正四面体外接球的表面枳S=4π×(√3)2=12万.

【例4】设A,BCD是半径为2的球面上的四个不同点，且满足AB∙AC=0,AC∙AO=0，

ADAB=O,用岳、S?、S3分别表示qABC、ACD,z∖48f＞的面积，则S∣+S2+S3的最大

值是______.

【答案】8

【分析】扩展成为长方体，根据球为长方体的外接球，利用基本不等式即可求解.

【详解】设A8=α,AC=A,AZ)=c,

因为AB,AC,A。两两垂直，扩展为长方体，

所以该长方体的体对角线为球的直径，

所以<?+层+c2=4R2=16.

SMBC+s∆ACD+SAABD=^(^+"+be),

因为/+〃N2ab,a2+c2>2ac,b2+c2>2bc,

所以L("+αc+bc)≤'(q2+h2+c2)=8,

22

当且仅当α=6=c=勺叵时取得等号，

3

【例5】我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖

膈•现有一个“鳖腌“，A4J_底面ABC,AClBC,且Λ4=3,BC=2,AC=币,则该四面

体的外接球的表面积为.

【答案】16π

【分析】根据题意将三棱锥尸-ΛBC还原到长方体中，如图所示，求出长方体的体对角线的

长，即可得外接球的直径，从而可求出其表面积.

【详解】解：将三棱锥P-ABC还原到长方体中，如图所示

则长方体的外接球的半径为

2R=PAi+AC2+BC2=√9+3+4=4

故H=2

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4成2=16π，

【例6】如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、

踢的含义，"鞠''最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球

的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠己作为非物质文化遗产经国务院批准列入

第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四

个点4,B,C,。满足AB=Co=√ilcm,BD=AC=2&m,AD=BC=5cm,则该“鞠”

的表面积为.

【答案】29万

【分析】根据给定条件，四面体ABCD可作为长方体的四个顶点，再利用长方体求出“鞠”

的直径即可计算作答.

【详解】在四面体ABCO中，因A8=C£>=√I5cm,BD=AC=2√5cm.AD=BC=5cm,

则点A,B,C,。是某长方体的四个顶点，如图，

'a2+b2=25

令此长方体的长、宽、高分别为αS,c,则有，从+，2=13,即有^+加+¢2=29,

c2+a2=20

令该长方体的外接球的半径为R,因此(2R)2=Y+/+'?=29,

该''鞠”的表面积为S=4TR2=29万.

【题型专练】

L四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB,AC,AD两两垂直,且A8=√LAC=2,

AD=3,则球。的表面积为.

【答案】16π.

【分析】根据题意将四面体补成如图所示的长方体，则长方体的体对角线的长等于四面体

ABCZ)外接球的直径的长，从而可求出球的半径，进而可求出其表面积.

【详解】根据题意将四面体ABCQ补成如图所示的长方体，则长方体的体对角线的长等于四

面体ABCD外接球的直径的长，

设外接球的半径为R，

因为AB=√J,AC=2,AD=3,

所以(ZR)?=AS?+AC?+AT)?=3+4+9=16,

所以A?=4，

所以球。的表面积为4%R2=16∕r,

故答案为：16%

2.据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳

马"，PA±J^W∖ABCD,底面A8CZ)是矩形，且Λ4=5,Afi=4,BC=3,则这个，阳马”的外

接球表面积为()

A.5πB.200πC.50πD.100π

【答案】C

【分析】把四棱锥尸-43CD补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四

棱锥P-ABC。的外接球直径，由长方体性质求得球半彳仝后可得表面积.

【详解】把四棱锥尸-ABCD补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四

棱锥P-ABCD的外接球直径，

设球半径为R,则(2R)2=PA2+AB2+BC2=50,

球表面积为S=4τtR2=50π.

3.正四面体S-ABC内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值

为（）

A.渔B.BC.述D.√3

433

【答案】C

【分析】设正四面体的楼长为24,由正四面体几何性质得出。与外接球半径R的关系式，即

可求比值

【详解】设正四面体的棱长为24,正四面体的外接球心为O,MBC的内心为则SMJ.平

面A8C,由AMU平面ABC,则SMjLAM,

由AE=√Ja,AM=∣AE=^y^,SM=√AS2-AM2=,贝IJ

4.在四面体ABC。中，已知点E,尸分别为棱AB,CZ）中点，且所J_A8,EFlCD,若

AB=CD=2,EF=2,则该四面体外接球半径为.

【答案】√2

【分析】根据四面体的对棱性质，结合长方体面对角线的性质，即可将四面体的外接球问题

转化为长方体外接球问题，即可得半径.

【详解】解：根据长方体的面对角线特点，由对棱ΛB=8=2,且对棱中点£,尸分别满足

EFYAB,EFICD,

则可构造长方体使得四面体ABCD的顶点与长方体的顶点重合，由长方体的外接球即为四面

体的外接球

如下图所示：

设长方体的长、宽、高分别为α∕,c

则⅛2÷c2=AB2=4,a=EF=2

所以外接球的半径R==3运=",即四面体ABC。的外接球半径为最.

22

5.在半径为R的球面上有A,B,C,。四点，且直线AB,AC,A。两两垂直，若

ΔABC,ΛACD,aAZM的面积之和为6,则此球体积的最小值为.

【答案】4鬲

【分析】本题相当于求三棱锥的外接球体积的最小值.先把三棱锥补形成一个长方体，可得外

接球的直径为长方体的体对角线，分析已知条件，再借助基本不等式求出半径的最小值，最

后可求出球的体积最小值.

【详解】因为线段AB,AC,AQ两两垂直，所以三棱锥可以补全为一个长方体，线段

A8,AC,AD分别为长方体的长、宽、高，则半径为R的球即为长方体的外接球.

22

令AB=X,AC=y,Az)=z,所以有(2R)2=AB2+AC2+AZ)2=λ+∕+z

又因为Z∖ABC,4ACDA4D8的面积之和为6,所以

S.=-ABAC+-ADAC+-ABAD=-xyz+-yz+-xz=6,即

ΛABoC+S.ΛACZΠ√+SΛDLfDR2222*ryJ2

xy+yz+xz=∖2.

X2+y2≥2xy

由基本不等式有，＞,2+z?≥2yz,所以(2Ry=X2÷y2÷z2≥xy+yz+xz=12,当且仅当

X2+z2≥2xz

χ=y=Z=2时等号成立，此时凡而=6,嗑”4向.

6.已知三棱锥A-BCO中，AB_L面BCDNBCD=9。,AB=BC=2,CD=近,则三

棱锥的外接球的体积为.

【答案】加兀

3

【分析】根据三棱锥的顶点是长方体的顶点即可求解.

由题可知,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点,

所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，

由图可知长方体的长宽高分别为α=2*=应,c=2,

所以体对角线长4=y]a2+b2+c2=VlO,

-f√lθY5√10

所以外接球的体积等于=弋一无.

7.四面体A-BCD中，AB=CD=5,AC=BD=4,AD=BC=而,则四面体4-BCO

外接球的表面积为.

【答案】50π

【分析】把四面体A-BCo补成一个长方体，长方体的对角线就是其外接球的直径，由此可

求得外接球半径，从而得表面积.

【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体A-BC。的四个面为全等的三角形，所以可在

其每个面补上一个以5,后,屈为三边的三角形作为底面，且分别以mb,C为长、侧棱两

两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为α,b,C的长方体，

2222

并且“2+∕72=25,a+c=34,b+c=41,

设球半径为R,则有(2R)2="2+∕+C2=50,

.∙.4R2=5O,

球的表面积为S=4π∕?2=50π.

题型三：圆柱的外接球(R2=(9)+Γ,其中r为底面圆的半径，〃为圆柱的高)

【例1】已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱

的体积为

C3兀C冗C兀

A.兀B.—C.一D.一

424

【答案】B

【详解】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：AC=1,AB=∣,

结合勾股定理，底面半径r=/_©=#,

由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是V=兀,刀=πχ（¥]Xi=；兀，故选B.

【题型专练】

L阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意

的一个数学发现就是“圆柱容球，，定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边

（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的;，并且球

的表面积也是圆柱表面积的（，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为.

【答案】逑

8

【分析】设圆柱的底面半径为。，由题意可知圆柱的高为2”,再根据圆柱的底面与外接球的

关系，可利用勾股定理即可求出圆柱外接球半径R=JL,由两几何体的体积公式求出各自

的体积，由此即可求出比值.

【详解】设圆柱的底面半径为“，则圆柱的内切球的半径为圆柱的高为20,.∙.圆柱的

体积为K="xα2χ2a=2τ/,乂圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，二圆柱的外

接球半径R=JT7/=缶，•••圆柱的外接球体积为匕=∙∣τ（j%y=华万〃，故

M二手

+r2,其中，为底面外接圆的半径，〃为棱柱的高）

【例1】设直三棱柱ABC-AgG的所有顶点都在一个表面积是40兀的球面上，且

AB=AC=AAt,ZBAC=∖20,则该直三棱柱的体积是（）

A.4√6B.亚C.2√6D.侦

33

【答案】A

【分析】先设出棱长，表示出球半径，利用球的表面积求出棱长，然后利用柱体的体积公式

可求体积.

【详解】设48=AC=Aʌ=2，〃.因为∕A4C=120,所以NAC8=30.

由正弦定理得Tr=2r（r是二ABC外接圆的半径），r=2m.

sιn30

又球心到平面ABC的距离等于侧棱长AA的一半，所以球的半径为小⑵疗+加=布,n.所以

球的表面积为4π（gπι）=40兀，解得zn=√∑.

i

因此该直三棱柱的体积是SABc∙AAi=gX4〃5∙-ɪX2m=2yf3m=4«•

【例2】在直三棱柱ABC-ABlG中，AB=2,AC=2√3,BC=2«,AAI=4,则该直三

棱柱的外接球的表面积为.

【答案】52π

【分析】求得外接球的半径，从而求得外接球的表面积.

【详解】设三角形ABC的外接圆半径为「，

设直三棱柱的外接球的半径为R,

cos/BAC=生上W=-且，则N84C为钝角，贝IJSinN84C=

2×2×2√33

ʌ_276_.

r-r-κ∣2r——正--6,r—3

所以√6，

T

所以R2=32+（gj=i3,

所以外接球的表面积是4πR2=52π.

【例3】若一个底面边长为述，侧棱长为卡的正六棱柱的所有定点都在一个球的面上，则

2

此球的体积是.

【答案】4岛

【分析】计算出正六棱柱的外接圆直径，进而可求得外接球的半径，利用球体体积公式即可

计算出正六棱柱的外接球的体积.

【详解】如下图所示：

圆柱002的底面圆直径为2厂，母线长为/?.则。O?的中点。到圆柱底面圆上每点的距离都相

等，则。为圆柱。外接球的球心，设球。的半径为&,则2R=J(2r『+《,

可作出正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F,的外接圆,

可将正六棱柱ABCDEF-AMClDlE储放在圆柱。0?中,如下图所示:

连接QAI、olB1,则NA04=60,且。0=。4,则ao∣44为等边三角形,

则圆。1的半径为r=0∣A=AlBI=,

正六棱柱ABCDEF-AB1C1D1E1/-的侧棱长为h=娓,

设正六棱柱ABSEF-A"GDE耳的外接球的半径为R,则2R=√(2r)2+A2=2√3,

所以，R=B因此，正六棱柱的外接球体积为丫=¥/?3=：昼(有)3=4岳

故答案为：4用兀.

【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方

体或长方体中去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，

找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距掰也是半径，列关系求解即可.

【题型专练】

1.如图，在直三棱柱ABC-A8∣G中，AB≈BC=AA,=2,ZABC=90°,则此直三棱柱的外

接球的体积是.

【答案】4√3Λ-

【分析】根据给定条件把直三棱柱补形成正方体，利用它们有相同的外接球，求出正方体的

体对角线长即可得解.

【详解】直二棱柱ABC-AgG共点于B的三条棱8片,BA,BC两两垂直，AB=BC=AAt=2,

则以B综BA,BC为相邻三条棱可作正方体，该正方体与直三棱柱ABC-AqG有相同的外接

球，

外接球的直径2R即为正方体体对角线长J2∖2,+2。=2小，即R=6,

44LL

此球的体积为V=]"R'=耳万-36=4&,

2.若三棱柱ABC-ABg的底面是以AB为斜边的直角三角形，AAJ平面ASC,AB=2人,

M=4,则三棱锥A-ABC的外接球的表面积为.

【答案】24π

【分析】利用勾股定理求得外接球的半径，从而求得外接球的表面积.

【详解】三棱锥A-ABC的外接球即直三棱柱ABC-ABG的外接球,

直角三角形的外心在斜边的中点,

所以外接球的半径R=√6.

所以外接球的表面积为4πR2=24π.

3.已知直三棱柱ABC-44G中，BBi=BC=2,ZBAC=^,则该三棱柱外接球的体积为

6

【答案】史垦

3

【分析】先利用正弦定理求地面的外接圆半径，然后利用勾股定理求外接球的半径，最后求

得体积.

【详解】棱柱底面ABC的外接圆直径.^∙^,所以该三棱推外接球的半径

Asin——

6

iɪ=√5.所以该三棱柱外接球的体积为V=g〃N=竺咨

R=

4.已知在直三棱柱43C-48∣C∣中，AB=AA1=1,BC=2,ABlBC,则点A到平面48©

的距离为;若三棱锥A-ABe的顶点都在同一个球面上，则该球体积为.

【答案】@√6π

2

【分析】利用等体积法=匕MMC,,结合题干数据可求解点A到平面ABC的距离，将直

三棱柱ABC-Λ,β,C,补全为以84BC,BBt为三相邻棱的长方体，可知长方体的外接球即为直

三棱柱ABC-A4G的外接球，即为三棱锥A-Afii6的外接球，求解即可.

【详解】0

由题意，点AI到平面ABC的距离可以看作三棱锥A-A&G的高，不妨记为d，

由于直三棱柱ABC-AtBlCl,故AAL平面4片&，

故以A∕⅜GSMG；创；创2=（，

22

AC1=QAM+AC；=R,AB1=√2,BlCt=2,即AC；=AB+B1C1,ZAfi1Cl=90,

故以-MG=§"x=丁*5*2*应=匕-ABIq=ɪ］，解得d=•

将直三棱柱ABC-A瓦G补全为以明，BC,5与为三相邻棱的长方体，可知长方体的外接球即

为直三棱柱ABC-AB1C1的外接球，即为三棱锥A-ABe的外接球，

故外接球的半径R=JBA2+B^咨=",体积V=9W=倔r.

223

题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（R2=（W）+/,其中r为底面外接圆的半径，

PA为棱锥垂直于底面的棱）

【例1】已知A,B,C,。在球。的表面上，ABC为等边三角形且其面积为也，AD，平

4

面ABCAD=21则球。的表面积为（）

A.兀B.2πC.4πD.8π

【答案】D

【分析】由正弦定理可得AABC外接圆的半径，作图利用勾股定理可得四面体。-A8C的外

因为.ABC为等边..角形且其面积为,α2sin60=—=处,

244

所以ASC的边长为√L设ΛBC外接圆的半径为，

由正弦定理可得2r=及一=2,r=l,取底面中心为O∣,即。A=I

sin60

•・•AD_L平面ABC,AD=2t

过O∣作«O〃A。，且取OQ=gAO,

则。即是四面体。-ABC外接球的球心，半径R=OA,

2222

在RtaOQA中，OA=O1O+QA=+1=2,则R=OA=√∑,

所以球O的表面积为4π2=8π.

【例2】已知在三棱锥P-ABC中，∕¾=4,BC=2√6,PB=PC=3,PA_L平面P8C,则三

棱锥产一ABC的外接球的表面积是（）

A.40πB.43πC.45πD.48π

【答案】B

【分析】利用空间点、线、面的位置关系，根据三棱锥的特点计算其外接球的半径.

【详解】在等腰PBC中，易知COSNPBC=亚,所以SinNPBC=@,

33

13

PBC的外接圆的半径为r=-X-------------=|技

2SinZPBC

所以三棱锥P-ABC的外接球的半径为R=

所以其表面积为4兀R2=4n［号J=43π.

【例3】三棱锥P-ABC中，PAj■平面ABC,ABC为直角三角形，ABlBC,AB=BC=I,

Z¾=2,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）

A.2πB.3πC.4πD.6兀

【答案】D

【分析】根据线段垂直关系，将三棱锥置于长方体中，根据各棱长可求得其外接球的半径,

即可求得其外接球的表面积.

【详解】由于三棱锥P-ΛBC中，24,平面ABC,ABJ.BC,AB=BC=I,PA=2

故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：

则体对角线PC即为外接球的直径，

所以2R=∣PC∣=+AB-+BC2=√22+l2+l2=√6,

故三棱锥P-ABC的外接球表面积为5=4πR2=6万.

【题型专练】

1.如图，在四棱锥P-ΛBC3中，PO_L平面ABeABDC,ADJ.AB,DC=2,AD=AB=i,

直线PA与平面45C。成45。角.设四面体PBC。外接球的圆心为0,则球的体积为

【分析】先证明出△尸C。和AP8C均为直角三角形，得到。点位置，可求得外接球的半径,

可求其体积.

【详解】在底面ABCo上，ABHDC,ADLAB,DC=2,AD=AB=I,

所以/AO8=NABO=45L',所以BD=>∕1+1=，

在△8CQ上，BD=∙J2,DC=2,ZCDB=45°,

由余弦定理可得：

BC=√Cf>2+BD2-2CD-BDcos450=0.

所以CO?=3Z)2+C82,所以/CBZ)=90°.

所以BDlCB.

又因为尸。_L平面A8CZ),所以/5D"LBC

又PDCBD=D,PDU面P8D,BDU面PBD

所以BC_1面心£),所以8C_LPB.

则4PCD和4尸BC均为直角三角形，当。点为PC中点时，OP=OD=OB=OC,

此时0为四面体PBCD的外接球的球心.

：直线∕¾与平面ABC。成45。角.尸D_L平面A8CD,

则ZPAD=45°,：.PD=AD=1,

又PC=JCD,+PD'=区,

2.在三棱锥A-8CZ）中，平面AoC,BD=2,AB=2应,AC=BC=2垃,则三棱

锥A-BCD的外接球的体积为.

【答案】4√3π

【分析】首先根据题意易证80_LAD,BDkCD,再根据勾股逆定理得到ADL8,从而

得到三棱锥A-BCD的外接球半径R=6，即可得到答案.

【详解】如图所示：

B

因为801平面A3C,A。U平面AoC,Cz）U平面AOC,

所以BD_LAO,BDYCD.

因为8D=2,Aβ=2√2,所以AD=他同二?=2,

因为80=2,BC=2y∕2,所以CD=42及Y-2?=2,

在AADC中，AD=2,CD=I,AC=2√2,

^SiAD2+CD2=AC2,即AO_L8.

因为在三棱锥A—BCD中，Q/平面ADC,ADrCD,

所以三棱锥A-BCD的外接球半径R=，2」2-t2[=6,

2

故三.棱锥A—BCD的外接球的体积为g兀（石『=4√3π.

3.已知A,B,C,。是同一球面上的四个点，其中ABC是正三角形，AD，平面ABC,

Ar）=2,AB=3,则该球的表面积为.

【答案】16π

【分析】根据外接球的性质可得&ABC的外接圆直径，AO与外接球直径构成勾股定理，进

而求得外接球直径，进而求得表面积即可.

AB=3=2^yj

【详解】由题意，ABC的外接圆直径sin60l'B,FIABC的外接圆直径，AD

~2

与外接球直径构成勾股定理，所以外接球直径。满足O?^d2+AD2=16.

故外接球表面积5=πD2=16π.

D

B

4.我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖腌•现

有一个“鳖濡”，R4，底面ABC,AeIBC,且Λ4=3,BC=2,AC=耳,则该四面体的

外接球的表面积为.

【答案】16π

【分析】根据题意将三棱锥尸-ΛBC还原到长方体中，如图所示，求出长方体的体对角线的

长，即可得外接球的直径，从而可求出其表面积.

【详解】解：将二棱锥P-ABC还原到长方体中，如图所示

则长方体的外接球的半径为

2R=>]PA1+AC2+BC2=√9+3+4=4

故R=2

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4兀4=16兀，

题型六：圆锥的外接球

【例1】一个圆锥母线长为G,侧面积3缶，则这个圆锥的外接球体积为.

【答案】4&

【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球

的半径，进而得出球的体积.

【详解】解：设圆锥的底面半径为，

因为圆锥母线长为卡,侧面积3"r,所以6r=3而，解得r=g，

所以，圆锥的高〃=√L

设球半径为R,球心为0,其过圆锥的轴截面如图所示,

由题意可得,(h-R)2+r2=R2,g∣J(√3-/?)2+3=/?2,解得R=曲,

4L

所以，v=-mV=4岳.

3

3

【例2】已知圆锥的底面半径为/?,高为3R,它的内接圆柱的底面半径为:R,该圆柱的全

4

面积为（）

983

A.ITTR2B.—τcR^C.-κR^D.—兀R-

432

【答案】B

【分析】根据几何特点，求得圆柱的高，再求全面积即可.

【详解】根据题意，作图如下：

3

AB,故可得AB=1R,

获4

(4J16164

【题型专练】

1.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为:，两个圆锥的

高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.3πB.4πC.9πD.124

【答案】B

【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥

的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.

【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点。，

设圆锥4。和圆锥3。的高之比为3:1,即Ar)=38。,

所以，BD-1,AD=3,

CDYAB,则NcAJD+ZACO=NBCD+ZACD=90，所以，/CAD=NBCD,

又因为NAQC=/BOC,所以，∕∖ACD^ΛCBD,

grADCD-------

所以，~CD=~BD,'CD=NlADBD=6r,

因此，这两个圆徘的体积之和为*xα>2∙(AO+8Q)=*x3x4=4τr.

题型七：棱台圆台的外接球

【例1】已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3万和4√J,其顶点都在同一球面上,

则该球的表面积为()

A.100πB.128πC.144πD.192π

【答案】A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径小R,再根据球心距，圆面半径,

以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径彳，4,所以24=总-,2々=也6即

sin60sin60

4=3,弓=4,设球心到上下底面的距离分别为4,球的半径为R,所以4=JR2-9,

4=JR-6,故|4-刈=1或4+4=1,即∣√Λ2-9-√Λ2-16∣=1或庐^+痛丁=ɪ,

解得代=25符合题意，所以球的表面积为S=4πX=ιoθπ.

【例2】已知一圆台高为7,下底面半径长4,此圆台外接球的表面积为Io0万，则此圆台的

体积为（）

A.84〃B.86τrC.TCD.冗

33

【答案】C

【分析】根据旋转体的特点得到圆台的外接球的球心为圆台轴截面外接圆的圆心，然后结合

题意得到AB=7,OC=5,AC=4,利用勾股定理得到BD=3,最后利用圆台的体积公式

如图为圆台及其外接球的轴截面，。为外接球球心，A,8为等腰梯形的下底和上底的中点，

所以Aβ=7,ABlAC,

因为外接球的表面积为100万，所以外接球的半径为OC=5,圆台下底面半径为4,所以AC=4,

Ao=乒不=3,则OB=4,BD=√5r≡4r=3-即圆台上底面半径为3,所以圆台的体积

为1χ7x（zrχ32+Λ∙χ42+∖∣π×32×π×42j=~~~~

【题型专练】

1.我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童已知侧棱都相等的四

棱锥P-45C3底面为矩形，且43=3,BC=币,高为2,用一个与底面平行的平面截该四

棱锥，截得一个高为1的刍童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（）.

A.16兀B.18πC.20πD.25π

【答案】C

【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积.

【详解】如图1,设棱台为ABCo-ABCQ,

如图2,该楼台外接球的球心为0,半径为R,上底面中心为0∣,卜底面中心为O?,

，Ct

图I图2

则由题意。。2=1,AO2=2,Aq=1,OA-OAx=R,

当。在QQ卜方时，设。。2=6，

则在/。。2中，有：R2=h2+4(1).

22

在，Λi00∣中，有：Λ=(∕J+1)+1(2),

联立⑴、(2)得∕ι=l,Rf,

所以刍童外接球的表面积为20π.

同理，当。在。G中间时，设。。=〃，

2

则有心=肥+1,^=(i-ft)+4,解得〃=2,不满足题意，舍去.

综上所述：当刍童外接球的表面积为20兀.

2.在正四棱台48CO-AMGR中，AlBl=2AB=4,AA=2,则该棱台外接球的半径为()

A.2拉B.3C.√10D.3√2

【答案】C

【分析】［解法Il设所求外接球球心为。，则。在上下底面中心的连线GG上，利用勾股定理

可求得GG-设OG=m,在Rt∠∖OCG和RLOaG中，利用勾股定理可构造方程组求得方，

即可得解.

［解法2J同解法1,求得直角梯形CGaG的各边，利用图形的特殊性，作出Cel的中垂线，

⅛GG1的延长线交点即为球心,由此进行计算即可.

【详解】［解法I］由题意知：四边形ABC2A/CR均为正方形，G,G∣为上下底面的中心，

设正四棱台的外接球球心为O,外接球半径为R,则OW直线GG∣；

ABl=2AB=4,.∙,4c=2√J,A1C1=442,又⑨=2,

m2+2=R2（_2/ɪ

设。G=%∈p）,近],则/厂、2.解得：「7（舍）；

L」（y∣2-mj+S=R2[∕?2=10

ιn~+2=R-_2∙×^^

设OG=m>-Ji,则｛/f-λ2