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文档简介

7.3等比数列探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业情境导入等比数列是另一种有特殊规律的数列,其通项公式、求和公式

的推导蕴含着与等差数列不同的重要的数学思想方法.等比数列的概念7.3.1情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个趣题:“今有出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色。问:各几何?”试依次把堤、木、枝、巢……的数量计算出来,这组数有什么规律?

情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业不难看出,这组数构成一个数列:9,81,729,8561…,我们也可以将其表示成9,92,93,94,….在这个数列中,从第二项起每项与它前一项的比都是9.类似的数列还有32,16,8,4,….不难看出,

从第二项开始,每一项与它前一项的比都是情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

一般地,如果一个数列

an

从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个非零常数时,就称这个数列为等比数列,这个常数称为等比数列的公比,通常用字母q来表示.如数列9,81,729,6561,…为等比数列,其公比q=9;数列32,16,8,4,…是等比数列,公比q=

情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

如果数列

an

是一个公比为q的等比数列,那么从第二项起,数列的每一项都等于它的前一项与公比的乘积,即a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2

,a4=a3q=(a1q2)q=a1q3,……因此,首项为a1、公比为q

的等比数列

an

的通项公式为an=a1qn-1(其中a1与q均不为0).情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题当一个数列既是等差数列,又是等比数列时,这个数列具有什么特征?例1在等比数列

an

中,a1=2,q=4,求an,a5.解情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题

根据等比数列通项公式an=a1

qn-1可知an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1;即an=22n-1.

因此,a5=22×5-1

=29=512.例2

将一张报纸反复对折,若不考虑其它因素,则报纸层数构成等比数列:2,4,8,….(1)求这个数列的通项公式;(2)求第5次对折后报纸的层数;(3)问第几次对折之后报纸的层数是128?解情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题(1)设这个数列为

an

,则a1=2,q=4,故该等比数列的通项公式为an=a1qn-1=2×2n-1=2n.(2)根据通项公式可知,a1=25=32,因此第5次对折之后的报纸的层数为32层.(3)设第n次对折后报纸的层数是128,即an=128,则由通项公式可知2n=128,2n=27,解得n=7.因此,第7次对折后报纸的层数是128.例3解情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题

在等比数列{an}中,a4=36,a6=144,求首项a1和公比q.根据等比数列的通项公式an=a1qn-1可得①②②式除以①式,并整理得解得q=±2.

当q=2时,a1×23=36,解得a1=

当q=-2时,a1×(-2)3=36,解得a1=所以,a1=,

q=2或

a1=,q=-2.分析情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题例4已知三个数成等比数列,其和为28,其积为512,求这三个数.对于构成等差数列的三个数,可以将它们设为a1,a1q,a1q2,也可以将它们设为

,其中q为公比.若一直这三数的积,则将它们设为更有利于计算.解情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题例4已知三个数成等比数列,其和为28,其积为512,求这三个数.设这三个数分别为,则①由②式得a³=8³,解得a=8.②

将a=8代入①式,化简得③③式两边同时乘q,整理得2q²-5q+2=0,解得

当q=2时,所求的三个数分别为4,8,16;

当q=时,所求的上数分别为16,8,4.

所以,这三个数为4,8,16或16,8,4.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

一般地,当a,G,b成等比数列时,G称为a和b的等比中项.

例如,若3,G,12三个数构成等比数列,则G²=3×12,从而

3与12的等比中项G=±6.

当G是a与b的等差中项时,有因此G²=ab或情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习2.在下列等比数列中填上所缺的项.(1)3,6,12,

,48,…;(2)

,4,-2,1,

;(3)5,5,5,

,5;

(4)1,-1,1,

,1.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习3.在等比数列{an}中,a1=3,q=-2,求a3、a4.4.求下列各组数的等比中项:(1)4与25;

(2)-3与-27.5.在等比数列{an}中,a2=8,a3=4,求公比q和首项a1.6.在等比数列{an}中,a1=1,an=256,q=2,求n.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习7.已知三个数成等比数列,它们的和为14,它们的积为64,求这三个数.8.在等比数列

中,8是第几项?9.一辆车现价为10万元,年折旧率为10%(不考虑其他因素)

,问该车第10年后的车价是多少元(保留两位小数)?等比数列前n项和公式7.3.2情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业相传古时候有一位聪明的大臣,他发明了国际象棋,并将其献给了国王,国王从此迷上了下棋.作为对这位大臣的奖勋,国王许诺满足大臣一个要求.大臣说:“就在这个棋盘上放上一些麦粒吧,第一格放1粒,第二格放2粒,第三格放4粒,然后依次是8粒,16粒,⋯⋯,一直到第六十四格.”“就要这么一点儿麦粒?”国王哈哈大笑,慷慨地答应了.大臣:“就怕您的国库里没有这么多麦粒!”为什么大臣说国库里没有这么麦粒呢?情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业可以看出,按照大臣的要求,在棋盘上六十四个格中所放的麦

粒数构成等比数列

1,2,4,8,16,32,64,…,.到底棋盘上需要放多少麦粒呢?要回答这一问题,就需要计算出等比数列

1,2,4,8,16,32,64,…,各项的和.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业设{an}是一个公比为q的等比数列,记{an}的前n项和为

Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an

.

(1)

根据等比数列的定义可知,等比数列的每一项与公比的乘积等于与它相邻的后一项.我们将(1)式的两边同时乘公比q,得到

qSn=a1q+a2q+a3q+…+aqn-1+anq,即qSn=a2+a3+a4+…+an+an+1.(2)比较(1)、(2)两式可以看出,(1)式的右边从第2项至最后一项与(2)式右边的第1项至倒数第2项分别相同.将(1)式的两边分别减去(2)式的两边就可消去相同的项,得到(1-q)Sn=a1-an+1当q≠1时,

情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

由等比数列的通项公式可得an+1=a1qn,将其代入上式即得等比数列前n项和公式

由等比数列的定义得an+1=anq,带入前式得等比数列前n项和公式为当q=1时,等比数列是一个常数列,其前n项和为Sn=na1.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

现在,我们回到本节“情境与问题”的等比数列{an}中,a1=1,q=2,n=64.因此,棋盘上六十四个格中所放的麦粒总数为

根据实际测算可知,1kg麦粒约有52000粒.因此,这些麦粒的总质量约为354745078340t,这大约相当于全世界一

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