抛物线的简单几何性质2

8．6抛物线的简单几何性质1．知识结构2．重点难点分析〔1〕根据由方程讨论曲线性质的一般方法，就可以得出抛物线的性质．抛物线的性质与椭圆、双曲线相比拟，差异较大．它的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它不是中心对称图形，因而没有中心．〔2〕抛物线不是双曲线的一支，这可以从以下三个方面来理解：①从圆锥曲线的定义来看，虽然双曲线与抛物线有其共同点，但由于比值的取值不同，从而双曲线与抛物线上的点的性质存在着差异；②曲线的延伸趋势不相同，当抛物线上的点趋于无穷远时，它在这一点切线的斜率接近于轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于与轴平行；而双曲线上的点趋近于无穷远时，它的切线的斜率接近于它的渐近线的斜率．③双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线．〔3〕抛物线的离心率是定值1，它说明所有的抛物线都相似，即所有的抛物线形状都相同．〔4〕通过抛物线的焦点垂直于对称轴的弦AB称为抛物线的通径，并且|AB|＝2p．根据顶点和通径的两个端点A，B，结合上文中提到的抛物线的延伸趋势，就可以较准确地画出抛物线的草图．由通径的定义我们还可以看出，p刻画了抛物线开口的大小，p值越大，开口越宽；p值越小，开口越窄．5〕掌握抛物线的性质，重点应抓住两点〔一个顶点、一个焦点〕、两线〔一条对称轴和一条准线〕、一率〔离心率〕、一方向〔开口方向〕．在图中，常见的关系式有：,,教法建议〔1〕四种标准方程下抛物线的几何性质，可由学生列表进行比照，并让学生区分哪些是抛物线的固有性质，哪些是与坐标系有关的性质．〔2〕由于椭圆、双曲线、抛物线的标准方程都不止一种形式，在根据条件求圆锥曲线方程时，教师要让学生注意根据条件确定标准方程的类型和判定有几解的问题．〔3〕要教会学生怎样讨论曲线的性质在中学里，除了直线这种简单的情况外，对于较为简单的曲线，讨论其几何性质一般包括以下四个方面：①确定曲线的范围．由曲线方程F(x,y)＝0分别确x与y的取值范围，从而分别判断曲线的左、右与上、下局部的“顶点”的分布情况．②判断有没有对称性，在曲线方程F(x,y)＝0中，如果把x〔或y〕换成－x〔或－y〕，方程不变，那么曲线关于y〔或x〕由对称；如果把x与y同时换成－x与－y，方程不变，那么曲线关于原点对称〔这时曲线关于x或y轴去不一定对称〕．③求出在x轴上的“截距”〔即求出曲线x轴的交点的横坐标〕和y轴上的“截距”〔即求出曲线与y轴的纵坐标．〕这可以通过解由F(x,y)＝0与x＝0〔或y＝0〕所组成的方程组求得．注意曲线与坐标轴的交点不一定是曲线的“顶点”．④判断有没有渐近线，对于椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线，还要研究它的离心率在数值上有什么特征，等等．〔4〕要和学生一起小结求直线与圆锥曲线的交点的一般方法在解析几何中一般用解方程的方法来求出直线与圆锥曲线的交点的坐标．例如为了求直线与椭圆的交点，可以解方程组：这个方程组的解同时满足两个方程，因此以方程组的解为坐标的点是两个方程所对应的两条曲线的公共点，如果方程组无实数解，那么表示直线与椭圆相离〔无交点〕；如果有且只有一个实数解，那么表示直线与椭圆相切〔有且只有一个交点〕；如果有两个不同的实数解，那么表示直线与椭圆相交〔有两个不同的交点〕．那么，怎样让学生判断上面方程组的解的个数呢？可以告诉他们先从两个方程中消去一个变量〔例如消去y〕，得到关于另一上变量〔例如x〕的一个一元二次方程，然后利用根的判别式来作判断，就是说，当时，方程组有且只有一个实数解〔不要说有两个相联系的实数解，重根只对一元n次方程有意义〕；当时，方程没有实数解．〔5〕在解决与圆锥有关的问题时，要帮助学生运用方程的思想．有些与圆锥曲线有关的问题，最终归结为某些数值确实定，我们把这些数看成未知数，把题目中给定的条件、关系转换成这些未知数所满足的方程〔组〕，通过解此方程〔组〕来确定这些数的取值，从而解决问题．这里的难点是未知数确实定、列方程〔组〕及解方程〔组〕．课题：8．6抛物线的简单几何性质〔一〕教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此根底上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：

“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的根底知识之一对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为〔或〕，那么轴〔或轴〕是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由条件求抛物线的标准方程时，首先要根据条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数本节分两课时进行教学第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3教学过程：一、复习引入：1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程：图形方程焦点准线相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为〔2〕开口方向在X轴〔或Y轴〕正向时，焦点在X轴〔或Y轴〕的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴〔或Y轴〕负向时，焦点在X轴〔或Y轴〕负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质1．范围因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．对于其它几种形式的方程，列表如下：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率轴轴轴轴注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附：抛物线不存在渐近线的证明．〔反证法〕假设抛物线y2＝2px存在渐近线y＝mx＋n，A〔x，y〕为抛物线上一点，A0〔x，y1〕为渐近线上与A横坐标相同的点如图，那么有和y1＝mx＋n．∴当m≠0时，假设x→＋∞，那么当m＝0时，，当x→＋∞，那么这与y＝mx＋n是抛物线y2＝2px的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例1抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由点坐标代入方程，求参数p．解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，所以，即因此，所求的抛物线方程为．将方程变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得x01234…y022.83.54…描点画出抛物线的一局部，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一局部点评：在此题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．例2探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一局部，光源位于抛物线的焦点处，灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是(p＞0)．由条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得，即所求的抛物线标准方程为．例3过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比拟简捷．证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，那么｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线相切．四、课堂练习：1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=〔B〕〔A〕10〔B〕8〔C〕6〔D〕42．为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，那么的最小值为〔B〕〔A〕3〔B〕4〔C〕5〔D〕63．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，假设线段、的长分别是、，那么=〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4．过抛物线焦点的直线它交于、两点，那么弦的中点的轨迹方程是______(答案：)5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标〔答案：,M到轴距离的最小值为〕五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、课后作业：1．根据以下条件，求抛物线的方程，并画出草图．〔1〕顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．〔2〕顶点在原点，焦点在y轴上，且过P〔4，2〕点．〔3〕顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P〔m，－3〕到焦点距离为5．2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，假设A、B在准线上的射