预习07讲平面向量数量积的坐标表示2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019）

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册）预习07讲平面向量数量积的坐标表示（精讲+精练）①平面向量数量积的坐标表示②坐标表示中的垂直问题③坐标表示中的模长问题④坐标表示中的夹角问题一、平面向量数量积的坐标表示在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．二、两个向量平行、垂直的坐标表示已知非零向量，（1）．（2）三、向量模的坐标表示（1）向量模的坐标表示若向量，由于，所以．其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．（2）两点间的距离公式已知原点，点，则，于是．其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．（3）向量的单位向量的坐标表示设，表示方向上的单位向量四、两向量夹角余弦的坐标表示已知非零向量，是与的夹角，则．五、数量积的坐标运算已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系(当且仅当时等号成立)题型一：题型一：平面向量数量积的坐标表示策略方法平面向量数量积的三种运算方法【题型精练】一、单选题1．已知向量，则（

）A．0 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用数量积坐标公式计算即可.【详解】.故选：D2．已知，，若，则x等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】由平面向量的坐标运算即可得出答案.【详解】由题意，，，，，解得：.故选：C.3．已知，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据向量的坐标运算求解.【详解】由题意可得：，所以.故选：A.4．已知（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面向量的坐标的加减运算及数量积公式求解结果.【详解】，，.故选：A.5．已知向量，，，则的最小值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根据数量积的坐标运算可得，结合二次函数运算求解.【详解】由题意可得：，当时，则取到最小值.故选：A.6．在矩形ABCD中，若，，且，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】根据矩形的特点，建立坐标系，由已知条件，求得AD的长度，进而利用数量积的坐标运算即可求得．【详解】建立如图所示坐标系，设，，，，，，由可得：，由，可得，解得，或舍去，则．故选：D．二、填空题7．已知向量，则.【答案】【分析】先求出，再根据数量积的坐标表示求解即可.【详解】，，，故答案为：.8．如图所示，为正三角形，，则．【答案】【分析】建立平面直角坐标系，把数量积运算转化为坐标运算.【详解】如图建立平面直角坐标系，易知：，∴∴故答案为：9．已知向量，，若，则．【答案】【分析】根据数量积公式求得，再根据二倍角的正切公式，即可求解.【详解】，得，.故答案为：10．在边长为的正方形中，是中点，则；若点在线段上运动，则的最小值是.【答案】【分析】根据题意，以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】

根据题意，以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，因为正方形的边长为，且是中点，则，则，所以；设，其中，则，则，所以，，则，，其中，，当时，有最小值为.所以的最小值是.故答案为：30；三、解答题11．已知，，，分别求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.【详解】（1）原式（2）原式（3），∴.12．已知三点，，，P为平面ABC上的一点，且，．(1)求；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，再根据数量积的坐标表示即可求出；（2）设，根据数量积的坐标表示由，求出，然后由，根据向量相等列出方程组，解出即可．【详解】（1）由，，，得，所以；（2）设，则，由，解得，所以，因为，即，所以，解得，所以题型二：题型二：坐标表示中的垂直问题策略方法1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．【题型精练】一、单选题1．已知向量．若，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】根据向量减法的坐标运算和向量垂直的数量积表示即可求值.【详解】由向量，则因为，所以，解得.故选：A2．已知向量，且，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量的坐标表示计算即可.【详解】由.因为，所以．故选:A.3．已知向量，，若实数λ满足，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】先表示出的坐标，然后根据垂直关系得到的方程，由此求解出结果.【详解】因为，且，所以，所以，故选：A.4．已知向量，，若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用坐标表示向量，根据向量垂直的坐标运算建立方程，并化简得结果.【详解】法一：用坐标表示向量由题意可知，，由得，，整理得，，所以．则A对；法二：因为向量，所以，又，所以，所以.故选：A．5．已知向量，且，则实数构成的集合是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量坐标运算，及向量垂直的坐标表示求解即得.【详解】向量，则，由，得，即，解得，所以实数构成的集合是.故选：C6．已知向量，若，则在上的投影为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】首先根据向量垂直的坐标运算求出，然后根据数量积的几何意义即可求出投影.【详解】因为向量，若，所以，即，，则在上的投影为，故选：A.二、填空题7．已知向量，，若，则.【答案】【分析】由题可得，再利用向量数量积的坐标公式即可求解.【详解】向量，，，又，则，解得.故答案为：8．已知向量，若与垂直，请写出满足条件的向量的一个坐标．【答案】（答案不唯一）【分析】先求出，再根据向量垂直条件即可得出满足条件的的一个坐标.【详解】设，则，由与垂直，得，所以，于是，取，则，于是的一个坐标可以是．故答案为：（答案不唯一）.9．已知向量，且，则．【答案】3【分析】根据向量垂直的坐标运算得出正切，再应用两角差的正切公式计算可得.【详解】由于，所以，则，所以．故答案为：3.10．已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为.【答案】【分析】首先求出，，再根据向量垂直得到，即可求出，最后根据计算可得.【详解】因为，，则，，又，所以，即，解得，所以，则向量在向量方向上的投影向量为.故答案为：三、解答题11．已知向量，满足且.(1)求的值；(2)若，求实数的值.【答案】(1)4(2)【分析】（1）由且可得坐标，后由向量数量积的坐标表示可得答案；（2）由（1）及向量垂直的坐标表示可得答案.【详解】（1）因，，则,.则；（2）由（1），又，，则.12．已知为平面向量，且.(1)若，且与垂直，求实数的值；(2)若，且，求向量的坐标.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用向量运算的坐标表示，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，求解作答.（2）利用向量共线设出的坐标，利用坐标求模，列式计算作答.【详解】（1）因为，所以，又因为与垂直，所以，即，得，所以.（2）因为得，又因为，所以，即，所以，故或.题型三：题型三：坐标表示中的模长问题策略方法求向量模的方法(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)．(2)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2)．【题型精练】一、单选题1．已知向量，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】计算，再计算模长即可.【详解】由题意知，所以，故选：D．2．已知向量，，则（

）A． B．5 C． D．4【答案】B【分析】根据平面向量坐标运算求出，再由向量模公式求解即可.【详解】因为，所以.故选：B3．已知平面向量，且，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由,结合向量数量积的坐标表示求出,然后代入向量模长公式可求.【详解】，解可得,,则.故选:B.4．已知向量，，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】B【分析】根据向量数量积的坐标运算即可.【详解】由题意，，，因此.故选：B5．已知向量，.若与垂直，则（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据向量垂直的坐标表示求出，再由向量的坐标求模即可.【详解】因为与垂直，，，所以，解得，所以，故.故选：B6．已知平面向量，，且，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．【详解】由平面向量，可得，由，可得，即，则，所以.故选：C．7．已知平面向量，，满足，，且．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的垂直和数量积的坐标表示求出，再用坐标公式求模即可.【详解】设，则，可得，所以.故选:A8．已知平面向量，满足，且，则（

）A．4 B．5 C． D．2【答案】B【分析】设，根据向量的模、向量垂直列方程，求得的坐标，进而求得.【详解】设，因为，，所以，即①．又因为，所以，即，即②．联立①②可得或，所以或，所以.故选：B9．已知平面向量，，，的夹角为60°，，则实数（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】平方后由平面向量数量积的运算律求解，【详解】因为，所以.即，解得，故选：C.二、多选题10．已知向量，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据向量的坐标表示求得，结合向量的共线坐标表示，以及数量积的运算、垂直的坐标表示和向量的模的公式，逐项判定，即可求解.【详解】由向量，，可得对于A中，因为，所以与不共线，所以A不正确；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，可得，又由，所以，所以C正确；对于D中，由，所以，所以D不正确.故选：BC.11．已知向量，若，则等于（

）A．0 B．－1 C．1 D．－2【答案】CD【分析】根据向量的坐标运算，求出，，由，求出的值，判断选项.【详解】，，，，又，，解得或.故选：CD三、填空题12．已知向量，满足，，，则等于．【答案】【分析】根据平面向量的数量积的运算律和坐标运算求解.【详解】因为向量，满足，，，所以，解得，所以，故答案为:.13．已知平面向量，且.若，则.【答案】2【分析】利用平面向量的模与数量积的运算求解.【详解】因为，所以，即,又，，所以，所以.故答案为:2.14．平面向量与的夹角为，已知，，则.【答案】【分析】首先求出，根据数量积的定义求出，再根据计算可得.【详解】因为，所以，又与的夹角为且，所以，所以.故答案为：15．已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为.【答案】【分析】首先求出，，再根据向量垂直得到，即可求出，最后根据计算可得.【详解】因为，，则，，又，所以，即，解得，所以，则向量在向量方向上的投影向量为.故答案为：四、解答题16．已知向量，，，且；(1)求与的夹角；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示及向量的坐标运算，结合向量的模公式及向量的夹角公式即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标运算，结合向量的模公式即可求解.【详解】（1）因为向量，，，且，所以，解得，所以，，得，所以，即与夹角的余弦值为．又因为，所以，即与的夹角为．（2）由（1）知，，，所以，，所以，解得．所以的值为17．已知两个非零向量与不共线.(1)若与平行，求实数的值；(2)若，，且，求.【答案】(1)(2)或【分析】根据向量平行设出，从而得到方程组，求出；（2）表达出，根据模长得到方程，求出的值.【详解】（1）因为与平行，且与不共线所以所以，解得（2）因为所以，解得或.经检验，均满足与不共线，故或18．已知向量，的夹角为，且．(1)若，求的坐标；(2)若，，求的最小值．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）设出的坐标，利用向量模的坐标表示及数量积的定义列式求解作答.（2）利用垂直关系的向量表示求出，再利用数量积的运算律建立函数关系，求出最小值作答.【详解】（1）设，由，得，即，而向量，的夹角为，则，又，即，解得，于是，即有或，所以的坐标是或.（2）由，得，即，因此，，因此，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值.题型四：题型四：坐标表示中的夹角问题策略方法求向量夹角问题的方法【题型精练】一、单选题1．已知向量，，且与的夹角余弦值为，则（

）A．或 B．或 C． D．或【答案】B【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．【详解】，，，显然，故有：，解得或．故选：B．2．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平面向量的坐标运算分别得到以及，然后由平面向量的夹角公式即可解出.【详解】∵向量，，∴，∴，，∴向量与夹角的余弦值为.故选：D．3．已知向量，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及夹角公式求解即可.【详解】因为，，，所以，，则，，故．故选：A．4．设，向量，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件，利用向量垂直的坐标运算，得出，从而可得出，再利用向量数量积公式即可求出结果.【详解】因为，，又，所以，得到，所以，得到，所以，故选：B.5．已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据与的夹角为钝角，由且与不共线求得t的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：若与的夹角为钝角，则且与不共线，所以，解得且，所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选：B.6．已知向量，，若与的夹角的余弦值为，且，则可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由与的夹角的余弦值，利用向量数量积求出的值，由，，求出的坐标特征即可.【详解】向量，，若与的夹角的余弦值为，则有，解得，则有，设，由，则有，解得，B选项符合.故选：B二、多选题7．已知，则（

）A．若，则B．若，则C．的最小值为2D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为【答案】AB【分析】利用向量平行垂直的坐标表示，向量模和夹角的坐标表示，通过计算验证各选项中的结论.【详解】已知，若，则，解得，A选项正确；若，则，解得，B选项正确；，，当时，有最小值，C选项错误；当时，，，向量与向量的夹角为，D选项错误.故选：AB8．已知向量，且，则（

）A．B．C．向量与向量的夹角是D．向量在向量上的投影向量坐标是【答案】ACD【分析】A选项，根据向量坐标线性运算与垂直关系，列出方程，求出，A正确；B选项，利用模长公式进行计算；C选项，利用向量夹角余弦公式求出夹角；D选项，利用投影向量公式求出答案.【详解】A选项，，∴，，∴，解得，故，选项A正确；B选项，由A选项可知，故，选项B错误；C选项，，向量与向量的夹角是，选项C正确；D选项，向量在向量上的投影向量，选项D正确.故选：ACD.9．已知向量，则（

）A． B．C． D．向量的夹角为【答案】BD【分析】根据题意，由可得的坐标，再由平面向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为，则，且，则，解得，则，故A错误；，故B正确；，所以，故C错误；，所以，故D正确；故选：BD10．下列说法中不正确的为（

）A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．已知向量，的夹角为，，，则在方向上的投影向量的模为D．非零向量和满足，则与的夹角为【答案】ACD【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用平面向量基底的定义可判断B选项；计算向量的投影可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项．【详解】对于A，，，且与的夹角为锐角，则，，且与不共线，即，即，所以且，故A错误；对于B，向量，，故，即、共线，故、不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于选项C，向量，的夹角为，，，则在方向上的投影向量的模为，故C错误；对于D，非零向量和满足，两边平方得，则，，故，而，故，所以，与的夹角为，故D项错误．故选：ACD．三、填空题11．，，且，则，的夹角为．【答案】0【分析】求出向量的模长，根据求出的值，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】由题意知，，且，故，则，则，故，由于，故，故答案为：012．若向量，，且，则与的夹角为.【答案】【分析】由可得，即可得，利用向量夹角的坐标表示即可求出夹角为.【详解】将两边平方可得，又，解得；所以，又，则与的夹角的余弦值为，则与的夹角为.故答案为：13．已知向量，，，若，则等于【答案】【分析】确定，再利用向量的夹角公式计算得到答案.【详解】，，，，即，即，解得.故答案为：.14．已知点，，向量，若与成锐角，则y的取值范围为．【答案】【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.【详解】因为，，与成锐角，所以，解得，当与同向时，，即，解得，此时满足，但与所成角为0，不满足题意，综上，与成锐角时，y的取值范围为.故答