2023-2024学年上海市普陀区高一年级下册期中数学模拟试题

2023-2024学年上海市普陀区高一下册期中数学模拟试题

一、填空题

Q

1.与-年π终边相同的最小正角是.

4TT4

【正确答案】~1-n

33

【分析】结合终边相同的角的知识求得正确答案.

QQ

【详解】与一守π终边相同的角为弧-学7rAeZ,

当《=2时，2航-号取得最小正角4”答寺.

ɪɛ4π

故彳

2.若点P(5,—12)是角α终边上的一点，贝IJSinC=.

【正确答案】-最12

【分析】利用三角函数的定义即可得解.

【详解】因为点P(5,T2)是角α终边上的一点，

y-1212

22213

所/√X+/A∕5+(-12)■

12

故答案为•一百

3.在半径为2的圆中，弧长为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为一

【正确答案】∣∕0.5

【分析】由圆心角定义求解.

【详解】半径为2的圆中，弧长为1的圆弧所对的圆心角。='=L

r2

故T

4.若CoSa=一且,贝IJCoS2α=.

2

【正确答案】ɪ

【分析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即可..

【详解】因为CoSa=

2

所以CoS2α=2cos2a-l=2×(--)2-1=ɪ-

22

故T

本题考查了二倍角余弦公式的应用，考查了代入思想，考查了数学运算能力.

5.函数/(x)=l-SinXCOSX的值域是.

ɪ3

【正确答案】

2,2

【分析】利用正弦二倍角公式结合三角函数性质直接求解即可

【详解】/(ɪ)=I-Sinxcosx=l-^sin2x,因为sin2x∈[-l,l]

]3

所以函数的值域为J

13

故答案为.

6.已知xw[肛且tan

X=石，则X=

4/F

【正确答案】y

【分析】根据特殊三角函数值，正切函数的周期性以及角的范围即可求出.

【详解】因为tanx=√L所以x=q+%Λ∙,%wZ,而xe(τ,3π,所以X=?

,,4乃

故彳.

7.若cos(α+夕)cosα+SinaSin(a+£)=;,夕∈(-π,0),则sin2/?=_.

【正确答案】一呼

【分析】根据余弦差角公式的逆运算得至UCOS∕=g,结合，e(-π,0),求出sin/?=-半，再利用正

弦的二倍角公式求出答案.

【详解】cos(α÷β)cosa+sinasin(α+^)=cos(α+>5-a)=cosβ=g,β∈(-π,0),

则sin∕?=一汉

所以sin2∕=2sin∕cos∕=———.

故考

8.在UABC中，设。、b、C•分别是三个内角A、B、C所对的边，b=2,c=l,面积S1,MBC=5,

则内角A的大小为一.

【正确答案】B或称

OO

【分析】由三角形面积公式进行求解即可.

【详解】IBC的面积SABC=^bcsinA=—×2×l×sinΛ=-

.*.sinA=—

2

VA∈(O,π),

9.在一ABC中，sin2A≤sin2β+sin2C-sinβ∙sinC,则A的最大值是.

Tr

【正确答案】y

【分析】利用正弦定理进行角变边可得9Yb?+'?-储，利用余弦定理和角的范围即可求解

2222221

【详解】sinA≤sinB+sinC-Sin3∙sinC结合正弦定理得/《从+c-∕7c,即bc<b+c—a，

TTTT

因为OVAV兀，所以。<A≤],则A的最大值是彳.

10.已知tan。=3,则sin2e-2cos?θ的值为.

2

【正确答案】-/0A

【分析】利用角三角函数的关系中平方公式sin?6+COS2，=1结合正弦的二倍角公式即可求解.

【详解】解：由tanθ=3得包==3,即Sine=3cos8①

又sin2θ+cos26=1②

由①②解得混〃=上

所以

sin20-2cos2θ

=2sinθcosθ-2cos2θ

=6cos2<9-2COS2θ

=4cos2θ

1

=4λ×——

10

_2

^5

故答案为∙(2

11.定义在区间［-4兀,4汨上的函数y=sin∣2x∣与y=cosx的图象的交点个数为

【正确答案】16

【分析】画出［0,4同时的图像，根据图像结合函数的奇偶性得到答案.

【详解】由于sin∣2(τ)I=sinI2x∣,故y=sin∣2x∣为偶函数,

因为y=cosx也为偶函数，故考虑［0,4π∣的情况，画出图像，如图所示:

共有8个交点，且X=O时，没有交点，故共有16个交点.

故16

12.在一ABC中，若CoSB泻,则卜aι√A-3gn2C的最小值为.

【正确答案】4夜-6

【分析】由题知〃=C=^-A,所以Han2A_3)sin2C=4-s22A+2cos2A,进而令ι+c0s2A=f,

44v'l+cos2Λ

∕∈[0,2),再根据基本不等式求解即可得答案.

【详解】解：在中，因为CoSB=也,8e(0∕),所以8=f,C=寻-A

2v744

所以卜an2A-3)sin2C=^tan2A-3)sin-2Aj=—~~ɜɪ8^l(-cos2A)

_(_2-4COS2A)(CoS2/4)-"os*2A+2cos2A

I1+cos2AA-1+cos2A

令l+cos2A=f,^∈[0,2),

原式=4r~6,+2=4r+--6≥2^-6=4√^-6,

当且仅当f=乎e[0,2)是等号成立.

故4夜-6

二、单选题

13.下列函数中，在其定义域上是偶函数的是()

A.y=sinxB.γ=∣si∏Λ∣C.y=tanxD.y=cos(x-5)

【正确答案】B

【分析】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.

【详解】对于A,V=Sinx定义域为R,sin(-X)=-SinX,y=sinx为奇函数，A错误；

对于B,y=kinx∣定义域为R,卜in(-x)I=I-SinXl=卜inx∣,;.y=卜inx∣为偶函数，B正确；

对于C,y=tanx定义域为(觊+3%wZ),即定义域关于原点对称，tan(-x)=-tanx,

.∙.y=tanx为奇函数，C错误；

对于D,y=cos(x-∕]=sinx定义域为R,sin(-X)=-Sinx,二y=cos[x-')为奇函数，D错误.

故选：B.

14.“X=?+&乃(AGZ)”是"tanx=l''成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】根据三角函数，充分必要条件的定义判断.

【详解】解：tanx=l,.'.x=kπ+^-(k≡Z)

x=Zτr+f(AWZ)则tanχ=l,

厂•根据充分必要条件定义可判断：

“X=&万+1(ZeZ)”是“tanx=l”成立的充要条件

故选：C.

15.在JIBC中，若COSA=2sin5sinC,则「,ABC一定是()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形

【正确答案】B

【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状.

,

【详解】A+B+C=πf.∙cosA=-cos(β+C)=sinSsinC-cosBcosC,

cosA=2sinβsinC,.,.cosB∞sC+sinBsinC=O,

即CoS(B-C)=0,所以8-C=]nB=]+C,或B-C=-C=8+9,

两种情况都说明.ABC一定是钝角三角形.

故选：B

16.函数y=sin(2x+W)的图象向右平移三个单位后与函数/(x)的图象重合，则下列结论中正确的是

()

①/(X)的一个周期为-2兀；②/(X)的图象关于X=-71Tr对称；

③X=F是/(X)的一个零点；④/(X)在单调递减.

6I12IZJ

A.①②③B.①②④C.①@④D.②③④

【正确答案】A

【分析】函数y=sin(2x+g]的图象向右平移g个单位后与函数/(χ)的图象重合，可求得/(χ)的解析

式，再由函数的周期为T=生的整数倍可判断①的正误，由正弦型函数的对称轴为而+5可判断②正

ω2

误，由正弦型函数的对称中心为(E,0)可判断③正误，由正弦型函数的单调区间为

--∣+2⅛^+2⅛πMeZ可判断④正误.

【详解】函数y=sin12x+1)的图象向右平移T个单位后与函数TV)的图象重合，

所以/(x)=Sin1=sin[2x-1),

所以/(x)的一个周期为-2π,故①正确；

TTTr

y=∕(x)的对称轴满足2x-§=E+],keZ,

当人=一2时，y=f(χ)的图象关于》=—二7π对称，故②正确；

由/(x)=Sin卜x-9]=。，得X=B+当&=1时，X==，

∖3√626

*7JT

所以X=T是F(X)的一个零点，故③正确；

O

当时，2χ-ye（-f'fj-此时〃x）=sin（2x-£|为单调递增,

所以F（X）在1方,意）上单调递增，故④错误.

故选：A.

三、解答题

4

17.已知COSa=并且α是第二象限的角

⑴求SinQ和tana的值：

2sin(5π-a)—3sin(--a)

(2)求-----------------2~-的值.

Tr

cos(-a-2π)-COS(a-?)

33

【正确答案】⑴丁W

【分析】（I）根据同角三角函数的基本关系求解;

（2）根据诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系求解.

4

【详解】（1）Qcosa=--,并且。是第二象限的角,

.∙.sina—Vl-cos2a--,

tana=------=——.

cosa4

2sin(5π-6r)-3sin∣ɜ--trI

、'zI2)2sma+3cosσ

(2)-----------=-------------------

/c、(兀1COSa—Sina

CoS(一2兀)-CoS[a-】I

_2tana+3

1-tana

6

7

1+z

18.已知/(x)=2sinxcosx->∕3cos2x.

⑴求函数/S）的最小正周期及单调递增区间;

⑵求函数/(X)在区间[o,鼻上的取值范围.

Jr5JT

【正确答案】(I)/5)最小正周期为兀，单调递增区间为-立+E,石+E,keZ

⑵[-石，2]

【分析】(1)先将函数/*)化为/(x)=ASin(5+协的形式，再利用其性质可解.

(2)利用正弦函数的性质，可得范围

【详解】(1)f(x)=2sinxcosx-∖∕3COS2JC

=sin2x-∖∣3cos2x

2(-sin2x--cos2x

I22

=2sin^2x-yj

故/(X)的最小正周期为T=等2τr5,

TTTTTT

令——÷2kπ<2x——≤—+2kπ,&eZ,

232

Tr5τr

得---+kjι<x<—+kπ,ZeZ,

1212

πS71

故/(X)的单调递增区间为-石+配万^+EAeZ

π

(2)X∈0,耳,

.,./(ɪ)=2sin(2x-∙∣∙J∈[一6,2],

即函数/(X)在区间0，，上的取值范围为[-6,2].

19.某轮船以丫海里〃J、时的速度航行，在A点测得海面上油井户在南偏东60度.轮船从A处向北航

行30分钟后到达8处，测得油井户在南偏东15度，且BP=IO后海里.轮船以相同的速度改为向东

北方向再航行60分钟后到达C点.

北C

(1)求轮船的速度y；

(2)求尸、C两点的距离(精确到1海里).

【正确答案】(1)40海里/小时；(2)56海里.

BP

⑴在..ABP中，利用正弦定理求解.

sinZBAP

(2)在oCBP中，Iy余弦定理PC?=7>82+3。2一2尸€1-3。<。$/「3€'求解.

ABBP

【详解】(1)在二ABP中，由正弦定理得:

sinZAPBSinZBAP

即5丫=1。指,

sin(60-15o)^sin120

2x10而sin45

解得V==40.

sin120

所以V=40海里/小时;

(2)在CBP中，由余弦定理得：PC2=PB2+BC2-2PCBC-COSZPBC,

=(10√6)：+(40)2-2×10√6×40×PC∙BC∙cos(180-15-45),

=2200+400√6,

所以PCχ56海里

本题主要考查正弦定理和余弦定理的实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20.已知函数/(x)=ASin(0犬+0(4>(),3>(),()<9<271：)的部分图象如图所示.

⑴求函数/(x)的解析式;

⑵若g(x)=∕(x+*re(O㈤)为偶函数，求f的值;

x-+b,x∈0，；，〃⑺的值域为口,叫，求实数”，匕的值.

【正确答案】(l)"x)=®sin[2x+?J；

(2)£或卫.

(1212'

a=4Q=T

(3)6=1或

⅛=10

【分析】Q)由题可得A和T,即可求出0,再利用/(蒋)=-百可求出。即可得出解析式；

(2)可得g(x)=Tisin(2x+2f+(＞令=]+eZ即可求出；

(3)令WX)=八。小-高利用三角恒等变换及三角函数的性质可得9(x)e0：,然后结合条

a<0

a>0

9

件可得,a×O+b=1或<QX—+8=1即得.

4

9

a×-+b=10QXo+b=10

4

【详解】(1)由图可得A=√L

..T=乃,

ɔJT<—

.∖ω=——=2,则/(x)=√3sin(2x÷^>),

7T

X∕[^∣]=√3sin^2×^+^=-√3,解得s=∣→2&肛AeZ,

,O<7<2p,

π

/.(P——

3

,∙.f(x)=ʌ/ɜsin^2x+-∣-j；

(2)g(x)=/(x+r)=8sin(2x+2r+?)为偶函数,

C7cTt.._..-.Ttkττ._

.*.2/H—=—I-ZSTr,R∈Z,解τι得t/=---1-----,R∈Z,

32122

∕∈(0,Λ∙),

.∙.r=±或lɪ.

n12'

(3)令)(x)="x)∙/

则研％)=GSin

=3sin(2x+j^jsinIx

=3sin2xcos—+cos2xsin—sin2x

33

ɪsin22x÷sin2xcosIX

22

=^sin4x-‰os4x÷^

444

3.π

26

八冗ππ5π

.XW0,—,.∙.4λx——∈

4666

.∙.sin(4x-∙^j∈-11

2''

o

∙∙∙e(x)∈0,-,又〃(X)的值域为[1,10],

即即(无)+/?目1[0],显然〃wθ,

。<0

a>0

9

.,.`a×0+b=l或<6Z×-+Z?=1

9αχθ+匕=10

t7×-+⅛=10

L4

解得

21.已知函数/(x)=ISinXl+1CoSXl(x∈R),函∣数g(x)=4sinxcosx+A(XWR),设b(X)=/(x)-g(x).

(I)求证：1TT是函数f(X)的一个周期；

(2)当上0时，求F(X)在区间三K上的最大值；

(3)若函数F(X)在区间(0/)内恰好有奇数个零点，求实数大的值.

【正确答案】(1)证明见解析；(2)2+√2;(3)Z=I或A=√5-2或A=√Σ+2∙

【分析】(1)根据周期函数的定义进行证明即可；

(2)利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可：

(3)根据绝对值的性质，利用分类讨论思想、换元法，结合正弦型函数的性质进行求解即可.

TTTΓ7T

【详解】(1)因为解x+万)=!Sin(X+7)∣+∣8s(x+5)∣=∣cosx∣+∣sinx∣=/(x),

所以lTT是函数/(X)的一个周期；

(2)当Λ=0时，因为王£与兀,

所以F(x)=∕(x)-^(x)=sinx-cosx-4sinXcosX,

令f=sinX-COSX=&Sin(X-马，因为冗C兀,所以&一[)£~7^~7~，

4[_2J4|_44_

因此Sin(X-^)∈ɪ,l,即，因为r=sinX-COSΛ:,

所以∕2=sin2X+cos2x-2sinXCoSx=sinXCoSx=------，

2

因此有∕ιQ)=f-4•匕L=2∕+L2,对称轴为：1=-]

24

因为/e[l,vŋ,所以当/=应时，函数〃⑺max=∕z(拒)=2+√L

即尸(x)在区间-,π上的最大值为2+√Σ;

(3)当Xe(O,£]时，

2

由∕7(x)=/(x)—g(x)=O可得：⅛=si