浙江省绍兴市东茗中学2022年高二数学理期末试题含解析

浙江省绍兴市东茗中学2022年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若椭圆上离顶点A(0，a)最远点为(0，-a)，则(

)．(A)0<a<1

(B)≤a<1(C)<a<1

(D)0<a<参考答案：B略2.在中，则一定是（

）

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形参考答案：B3.如图：的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.

已知则的长为(

)

A．

B．6

C．

D．8参考答案：A4.两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条参考答案：B【考点】圆的切线方程． 【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数． 【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2 两圆圆心距离：，说明两圆相交， 因而公切线只有两条． 故选B． 【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题． 5.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A．1﹣ B． C． D．1﹣参考答案：A【考点】几何概型．【分析】由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．【解答】解：由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣，故选：A．6.椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点．当静止的小球从点A开始出发，沿直线运动，经椭圆壁反射后再回到点A时，此时小球经过的路程可能是（）A．32或4或16﹣4 B．16+4或28或16﹣4C．28或4或 16+4

D．32或28或4参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆简单几何性质可知，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时；射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，；小球从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹到B点继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案．【解答】解：由题意可知：，可知a=8，b=2，c=6，∴当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，到达左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2×2=4；当到达右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2×（8+6）=28；小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×8=32．故答案选：D．【点评】本题主要考查了椭圆的性质的简单应用．考查椭圆的第一定义的应用，属于基础题．7.AB为圆O的直径，C为圆O上异于A、B的一点，点P为线段OC的中点，则=（

）A.2

B.4

C.5

D.10参考答案：D略8.要从已编号（1—50）的50件产品中随机抽取5件进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5件产品的编号可能是（

）A．5,10,15,20,25

B．2,4,8,16,22C．1,2,3,4,5

D．3,13,23,33,43参考答案：D9.垂直于同一条直线的两条直线一定A．平行

B．相交

C．异面

D．以上都有可能参考答案：10.函数的一个零点所在的区间是()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)参考答案：B【分析】先求出根据零点存在性定理得解.【详解】由题得，，所以所以函数的一个零点所在的区间是.故选：B【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，…循环即为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），…则2017在第n个括号内，则n=．参考答案：45【考点】归纳推理．【分析】由题意可知：数字通项为an=2n+1，于是可得2017是第1009个奇数，根据等差数列的前n'项公式，求出即可．【解答】解：由题意可知：数字通项为an=2n+1，2017是第1009个奇数，前n个括号共有奇数个数为1+2+3…+n=个，所以，即n（n+1）≥2018，因为45×46=2070，44×45=1980，所以n=45，所以在第45个括号中．故答案为：4512.设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为

.

参考答案：813.已知曲线C的参数方程为（为参数，）.则曲线C的普通方程为

。参考答案：略14.某中学为了解学生数学课程的学习情况，从高二学生的某次数学限时训练成绩中随机抽取部分学生的考试成绩进行统计分析，得到如下的样本频率分布直方图，若在样本中成绩在[80,90]的学生有20人，则样本中成绩在[60,70)内的人数为

.参考答案：2415.在△ABC中，若D为BC的中点，则有，将此结论类比到四面体中，在四面体A-BCD中，若G为△BCD的重心，则可得一个类比结论：_________.参考答案：试题分析：三角形类比三棱锥，底边中点类比底面重心，中线性质类比重心性质：考点：类比16.已知离心率为的双曲线的左焦点与抛物线的

焦点重合，则实数__________．参考答案：-317.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，则矩形ABCD的面积最大是．参考答案：【考点】扇形面积公式．【专题】应用题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．【解答】解：如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，在Rt△OAD中，=tan60°=，所以OA=DA=BC=sinα．所以AB=OB﹣OA=cosα﹣sinα．设矩形ABCD的面积为S，则S=AB?BC=（cosα﹣sinα）sinα=sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α﹣=（sin2α+cos2α）﹣=sin（2α+）﹣．由于0＜α＜，所以当2α+=，即α=时，S最大=﹣=．因此，当α=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．故答案为：．【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中中，点为动点，已知点,直线与的斜率之积为定值（1）

求动点的轨迹E的方程；（2）

若F，过点F的直线交轨迹E于M,N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上，求直线的方程参考答案：解（1）由题意=，整理得，所以所求轨迹E的方程为.(2)当直线与轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；当直线与轴垂直时，：，此时M(),N,以MN为对角线的正方形的另外两个顶点，不合题意；当直线：，M，NMN的中点Q由消得所以Q，则线段MN的中垂线m的方程为即为，则直线m与轴的交点R为(0，)注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴当且仅当时，即

即由，代入上式得综上所求直线方程为或

略19.在△ABC中，a＝8，b＝7，∠B＝60°，求c及S△ABC．参考答案：由余弦定理得82+c2－2×8×c×cos60°＝72，即c2－8c+15＝0，∴c＝3或5.当c＝3时，；当c＝5时，.20.（本小题满分10分）已知椭圆C：经过点，且离心率为．（I）求椭圆C的方程；（II）若一组斜率为2的平行线，当它们与椭圆C相交时，证明：这组平行线被椭圆C截得的线段的中点在同一条直线上．

参考答案：(Ⅰ)解：由已知可得，，又，可得，，所以椭圆C的方程为．………4分(Ⅱ)证明：设直线与椭圆的两个交点坐标分别为，，它们的中点坐标为．由两式相减可得，即，由已知，所以，………………9分故直线被椭圆C截得的线段的中点都在直线上．…………10分

21.（本小题满分10分）求下列函数的导数（1）

（2）参考答案：

略22.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式其中为常数。