2023年浙江省高中数学竞赛夏令营试题及答案解析

2023年浙江高中数学竞赛夏令营试题

测试时间7月19日8：30-10：30

集合A=

2x+J=］的展开式中x的系数为.

3.设圆F+y2=9的弦AB的中点坐标为(1,1),直线A3交x轴于点P,则

|叫阀=。

124

4.已知且cosa+cos尸=§,tan(a+A)=-y,则sina+sin£=

____O

5.已知圆。的直径AB把圆分成上下两个半圆，C,。分别在上、下半圆上(都不与

A、B重合)。若AC=2,A£>=1,则=。

6.已知正四棱柱—的底面变成为2,侧棱长为4,E为棱的中点,

F为棱A4的中点，则点。道平面EFg的距离为一，

若z为复数，且忖=1,则的最大值为

8.已知｛4｝和也｝均为等差数列,且%=32也।=43。令%=(-1)”•(4-2)，数列

｛%｝的前10项和为5,前13项和为-5,则数列也｝的前100项和为<,

9.已知ABC0为四面体，现以等概率对每条棱染红色或蓝色。试问点A可以通过四面体

上的红色棱边到达点B的概率为一。

10.已知函数/(x),g(x)是定义在H上的周期函数，且它们在区间［—1,1］上单调递增，下

列陈述：

A./(x)+g(x)为周期函数

B./(x)+g(x)-|/(x)-g(x)|在区间［-1,1］上单调递增

C.7(g(x))在区间上单调递增

D./(x)+g(x)+/(-x)+g(-x)为偶函数

正确的是。

11.己知数列%+i=34一说一1(〃=1,2,)吗=4。则下列陈述：

A.若GH1,则严格单调递减

3*

B.若。=万，则对任意〃eN,有4>1

C.若。=3,则存在正整数及0使得之」一<，

”1%—22

r3-I

D.已知数列“，用=3%-片+45=1,2,),«,=1,若丘—彳,0,则数列｛a.｝有界

正确的是。

12.已知x为实数，且满足52*T+3125=55*”,则%最小值和最大值之和为。

13.已知锐角A4BC中，NA>/B>NC,NA+NC=2ZB,AB=4,8C=5,则AABC的

面积最大内接正方形边长为。

2

14.已知椭圆C：5+y2=l的左、右焦点分别为片，鸟，设P是第一象限内椭圆C上的一

点，PF1、P6的延长线分别交椭圆于9、Q点。则耳。2、AP^Qi的面积之差的最大

值为。

15.设实数r满足/一厂一1=0,且r+起为多项式P(x)=0的根。若p(x)的首项系数为

1,p(x)为满足条件的整系数多项式中次数最低的，则p(x)=。

16.已知四面体ABCO中，面ABC和A8D的面积分别是4和7,两者之间的二面角为

60,则通过棱A8和四面体内切球的球心的截面面积为。

17.己知〃个正整数组成的集合中，任意两个元素的差要么恰好被5整除，要么恰好被25

整除，则〃的最大值为.—。

18.设相,“(小>〃)为正整数，且7()212023"-2023",则"?+〃的最小值为•

19.一个蚂蚁在单位立方体以每秒1单位的速度沿棱运动，它从任一顶点起开始运动。假设

每次蚂蚁到达顶点处后转向各方向继续运动的概率相同(允许后转折返走动)，则其第一次

重返起点所需用的时间的数学期望为

则佃

20.可导函数/:(0,g->火满足/'(x)tanx>(2sinx-l)/(x).若/

的最小值为

2023年浙江高中数学竞赛夏令营试题解析

1.集合4={n|lgn<1,ne2VJ的所有元素之和为

答案

6

解析

n<故n=1,2,3,元素之和为6

7

2.(2x+的展开式中z的系数为

答案

280

解析

4

]

C阵)3=280

y/x

3.设圆/+/=9的弦AB的中点坐标为(1,1),直线交力轴于点P,则

\PA\-\PB\=

答案

5

解析

设中点为M,则OM=MP=由垂径定理知MAMB故结果

为(V7-V2)(V7+V2)=5

124

4.已知a,。e凡且cosa+cos,tan(a+/?)=——，则sina+sin/3=

37

答案

14

4，-9

解析

.a+。a—/3

29sm2COS

sina+sin02a+0

小知至/I/珏八#HTAn=tan

cosa+cos8..a+/3a—32

2sin--c-o-s----

22

、~ta+2./a、242i34

记tan---=t,则tan(a+/?)=—=-——方=>t='-

211—43

故结果为[，一9

5.已知圆。的直径4B把圆分成上下两个半圆，C,。分别在上、下半圆上（都不与

A.5点重合）。若4c=2,4。=1,则戏•汨=

答案

3

解析

考虑法在蔡上的投影向量记

AC2AD2

设46=d>2,由射影定理易知4F=「一.AE=--

da

——>—>—>2?_12

故46・DC=AB・EF=d-----------=3

a

6.已知正四棱柱ABCD-AXBXCXDX的底面边长为2,侧棱长为4,E为梭CD

的中点，F为梭AA.的中点，则点D到平面EFB｝的距离为

答案

2\/17

17

解析

向量法易得，算就不算了

7.若z为复数，且|z|=l,则咤一£的最大值为_________

V2—z

答案

5/5+V7

解析

记z=cos0+isin

y/3i—zcos0+i(sin0—V3)/4-2V3sin0

故--------=----------------------

V2—zcos0—\/2+tsin。3-25/2cos0

*n4-2v^sine

考虑------------=t,可知

3—2v2cos0

2v/2icos0-2«sin0=3t—4

由辅助角公式可知8〃+12》(3t-4产=>产-242+440

=>(t-12)2W140=>12-2x/35WtW12+2^35

故最大值为\/12+2存=>/7+V5

8.已知｛%｝和｛6„｝均为等差数列，且a”=32.M=43。令

c„=(-1)"•(%-b”),数列｛c„｝的前10项和为5,前13项和为-5,则数列

｛b„｝的前100项和为

答案

10200

解析

设两个数列的公差分别是d,£,

注意到QkI+a*=d-t,故｛cn｝的前10项和为5可知d-t=1

前13项和为-5可知

bu—Au=-11=>—bn=11=»an-fen=9=bn=23,

43_23

故I=$——=2,故｛b,J前100项和易知为10200

21—11

9.已知ABCD为四面体，现以等概率对每条棱染红色或蓝色。试问点A可以通过

四面体上的红色梭边到达点B的概率为.

答案

_3

4

解析

(1)若为红，概率为:，直接到达。

(2)若AB为蓝，概率为在此条件下，考虑4C,力。染红的情形：

情形一：力C/D均染红，概率为二，此时只需要BC,80中有一个染色即可，

4

-113

有1——•一=一

224

情形二：均染蓝，概率为：，不可能过去

4

情形三：4c4。一蓝一红，概率为由对称性不妨设AC红，则下考虑。5

1Q5

及C-D-B两条路径中至少有一条全红的概率，反面思考可知1-5a

8

八c11/13115\3

*±tP=2+2(4-4+4-°n+2-8)=4

10.已知函数/(1),gQ)是定义在A上的周期函数，且它们在区间上单调

递增，以下陈述：

Af(x)+g(z)为周期函数

Bf(x)+ff(x)-lf(x)-g(x)i在［-1,1］上单调递增

c/((g(z))在［-1,1］上单调递增

Df(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)为偶函数

正确的是

答案

BD

解析

略

11.已知数列=3厮一W-1(九=1,2,・・・),Qi=a,则下列陈述：

A若aB1,则an严格单调递减

3

B若a=；,则对任意n€N二有M〉1

C若a=3,则存在正整数k使得------<大

Q£-22

3

D已知数列an+i=3a,,一片+k(n=1,2,…),a[=1。若A:W--,0,则数列

{%}有界

正确的是

答案

BD

解析

略，用蛛网图思考

12.已知X为实数，且满足52I+1+3125=55,/,则丁最小值和最大值之和为

答案

4

解析

构造函数：5/3/+1+5工25工+5=1

构造函数/(h)=5H23计1+5/5工+5

注意到〃4—工)=〃2),所以答案为4

13.已知锐角△ABC中，N4>>NC,/4+=2ZB,AB=4,BC=5,

则的面积最大内接正方形边长为

答案

300-1604

11

解析

/i一xxah

对于某边a,及对应高瓦有—=一解出,=——

haa+h

注意到分子恒等2s二sin604x5,故分母要小，a,h要尽量接近，选

a=4.代入即可

14.已知椭圆C:5+峭=1的左、右焦点分别为Fi,F2,设P是第一象限内椭

圆C上的一点，PF、、PF2的延长线分别交椭圆于Qi、Q2点。则

△PF1Q2、APF2Q1的面积之差的最大值为

答案

2^2

~3~

解析

爆算

15.设实数r满足N—r-1=0,且r+Q为多项式P(x)=0的根。若p(z)的

首项系数为l,p(x)为满足条件的整系数多项式中次数最低的，则p⑺=

答案

x6-8H4-2x3+13x2-10x-l

解析

先构造一个根为r+e的多项式

易知为(r-v/2)3-(r-y2)-1,为消去，5,将多项式分成整系数部分和v5部

分，乘上其共舸结构即可得到答案

16.巳知四面体ABCD中，面ABC和ABD的面积分别是4和7,两者之间的二

面角为60%则通过校AB和四面体内切球的球心的截面面积为

答案

28%/3

11

解析

化归为算以4,7为夹边，60度为夹角的角平分线长度计算

17.巳知n个正整数组成的集合中，任意两个元索的差要么恰好被5整除，要么恰

好被25整除，则n的最大值为

答案

25

解析

用5进制思考易知最后两位只能不同，否则会有125倍数，那么至多25个

18.设码n(m>n)为正