2019版高中全程练习方略配套资料：古典概型

第五节古典概型三年13考高考指数:★★★1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.1.古典概型的概率是高考考查的重点；2.利用列举法、树状图法、分类讨论的思想解决古典概型问题是重点，也是难点；3.古典概型的考查，往往结合排列、组合的知识进行考查，多以选择题、填空题形式出现.1.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概型.(1)有限性:试验中所有可能出现的结果_____________，每次试验只出现其中的一个结果.(2)等可能性:每个试验结果出现的可能性_______.只有有限个相同【即时应用】判断下列试验是否是古典概型.(请在括号中填写“是”或“否”)①投掷一颗质地不均匀的骰子，观察其朝上的点数；()②口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球；()③向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的；()④射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环.()【解析】对于①：由于质地不均匀，故每个面朝上的概率不相等；对于②：摸到白球和黑球的概率相同，均为对于③：基本事件有无限个；对于④：由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，…，命中0环的可能性不等.故只有②是古典概型.答案：①否②是③否④否2.古典概型的概率公式如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)==.

【即时应用】(1)思考:先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有人说，一共出现：“两枚正面”、“两枚反面”、“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是这种说法正确吗？提示:不正确.两枚硬币编号为1,2，则基本事件应为：(正1，正2)，(正1，反2)，(反1，正2)，(反1，反2)，故出现一正一反有(正1，反2)，(反1，正2)两种情况，故所求概率为(2)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是______.【解析】取2个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中标注的数字之差的绝对值为2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共4种，故所求的概率为答案：(3)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．【解析】基本事件的总数为6×6＝36个，记事件A＝{(m,n)|(m，n)落在圆x2＋y2＝16内}，则A所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2),共8个．∴P(A)＝答案：3.互斥事件定义：在一个随机试验中，把一次试验下______________

的两个事件A与B称作互斥事件.P(A+B)=___________

概率公式：

P(A1+A2+…+An)=____________________不能同时发生P(A)+P(B)P(A1)+P(A2)+…+P(An)4.对立事件的概率在每一次试验中，相互对立的事件A和事件不会同时发生，并且一定有一个发生，其计算公式：1-P(A)

【即时应用】(1)两个事件互斥是这两个事件对立的__________条件.(2)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列两个事件是互斥事件但不是对立事件的是__________(填序号).①至少有1个白球，都是白球②至少有1个白球，至少有1个红球③恰有1个白球，恰有2个白球④至少有1个白球，都是红球【解析】(1)互斥不一定对立，但对立一定互斥，故互斥是对立的必要不充分条件.(2)①、②中的两个事件不互斥，当然也不对立；③中的两个事件互斥，但不对立；④中的两个事件不但互斥，而且对立.所以正确答案应为③.答案：(1)必要不充分(2)③

简单古典概型的概率【方法点睛】1.求古典概型概率的步骤第一步：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；第二步：分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;第三步：利用公式P(A)=求出事件A的概率.

2.基本事件个数的确定方法(1)列举法(2)列表法(3)树状图法适合于基本事件较少的古典概型.适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法.适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求.【例1】(2011·山东高考)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.【解题指南】(1)本题考查古典概型，要将基本事件都列出，然后找出2名教师性别相同所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.(2)从报名的6名教师中任选2名，列出基本事件，然后找出2名教师来自同一学校所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.【规范解答】(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2,乙男)、(甲男1,乙女1)、(甲男1,乙女2)、(甲男2,乙女1)、(甲男2,乙女2)、(甲女,乙女1)、(甲女,乙女2)、(甲女,乙男)，共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2,乙男)、(甲女,乙女1)、(甲女,乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为(2)从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2,乙男)、(甲男1,乙女1)、(甲男1,乙女2)、(甲男2,乙女1)、(甲男2,乙女2)、(甲女,乙女1)、(甲女,乙女2)、(甲女,乙男)、(甲男1,甲男2)、(甲男1,甲女)、(甲男2,甲女)、(乙男,乙女1)、(乙男,乙女2)、(乙女1,乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1,甲男2)、(甲男1,甲女)、(甲男2,甲女)、(乙男,乙女1)、(乙男,乙女2)、(乙女1,乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为【反思·感悟】在求解本题时应注意第(1)问属于有顺序的问题，该类问题的基本事件按先甲校再乙校分步列举；第(2)问属于无顺序的问题，基本事件按所含字母利用列举法，按一定顺序分类列举.

【变式训练】用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率.【解析】所有可能的基本事件共有27个，如图所示.红红黄蓝红黄蓝红黄蓝红黄蓝黄红黄蓝红黄蓝红黄蓝红黄蓝蓝红黄蓝红黄蓝红黄蓝红黄蓝(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有3个，故(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基本事件有6个，故【变式备选】袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n2-6n+12克，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、号码的影响).(1)如果任意取出1球，求其重量大于号码数的概率.(2)如果不放回地任意取出2球，求它们重量相等的概率.【解析】(1)由题意，任意取出1球，共有6种等可能的事件.由不等式n2-6n+12＞n,得n＞4或n＜3.所以n=1,2或n=5,6，于是所求概率为(2)从6个球中任意取出2个球,共有15种等可能的方法,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),设第n号与第m号的两个球的重量相等,则有n2-6n+12=m2-6m+12,∴(n-m)(n+m-6)=0.∵n≠m,∴n+m=6,∴(n,m)=(1,5),或(n,m)=(2,4),故所求概率为互斥事件、对立事件的概率【方法点睛】求复杂的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算.(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=

即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便.【提醒】应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和.

【例2】(1)(2012·济南模拟)在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，则小明在数学考试中取得80分及以上的概率为______.(2)国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7～10环的概率如表所示：求该射击队员射击一次①射中9环或10环的概率；②至少命中8环的概率.命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12【解题指南】(1)小明的成绩在80分及以上可以看作是互斥事件“80～89分”“90分及以上”的并事件；(2)该射击队员在一次射击中，命中几环不可能同时发生，故彼此是互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率.另外，当直接求解不容易时，可先求其对立事件的概率.【规范解答】(1)分别记小明的成绩“在90分及以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“60分以下”为事件B、C、D、E、F，这五个事件彼此互斥.所以小明的成绩在80分及以上的概率是：P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.答案：0.69(2)记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥.①记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的概率加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.②设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.【互动探究】在本例(1)中条件不变，求小明在数学考试中及格的概率.【解析】方法一：由例题知小明考试及格的概率是P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.方法二：小明考试不及格的概率是0.07，记“小明考试及格”为事件A.所以小明考试及格的概率是P(A)=1-0.07=0.93.所以小明在数学考试中及格的概率是0.93.【反思·感悟】必须明白事件A、B互斥的条件，只有互斥事件才可用概率的求和公式P(A+B)=P(A)+P(B).【变式备选】一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球，求：(1)取出的1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.【解析】记事件A1={任取1球为红球}；A2={任取1球为黑球}；A3={任取1球为白球}；A4={任取1球为绿球}，则方法一：根据题意知，事件A1,A2,A3,A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得：(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)方法二：(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一球为白球或绿球，即A1+A2的对立事件为A3+A4.所以取得一球是红球或黑球的概率为：P(A1+A2)=1-P(A3+A4)=1-P(A3)-P(A4)=(2)A1+A2+A3的对立事件为A4,所以P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=构建不同的概率模型解决问题【方法点睛】建立概率模型的原则、要求及作用(1)原则：建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”，这就要求选择恰当的观察角度，把问题转化为易于解决的古典概型问题.(2)要求：每次试验有一个并且只有一个基本事件出现.(3)作用：①对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同的“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；②我们可以用一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”.

【例3】(2012·西安模拟)有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4.(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)摸球方法与(1)同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？【解题指南】把摸出的数字构成实数对(x，y)，根据实数对(x，y)的意义求解.【规范解答】(1)用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(3，1)、(3，2)、(3，3)、(3，4)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，4)，共16个；设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有：(2，1)、(3，1)、(3，2)、(4，1)、(4，2)、(4，3)，共有6个；则P(A)=(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C；事件B所包含的基本事件有：(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)，共有4个；则P(B)=∴P(C)=1-P(B)=因为P(B)≠P(C).所以这样规定不公平.答：(1)甲获胜的概率为

(2)这样规定不公平.【反思·感悟】注意研究事件的特征，灵活处理此问题，可借助于实数对、数表、树状图等直观明了的形式处理，使问题更易理解与解答.【变式训练】(2012·大连模拟)同时投掷两粒骰子，求向上的点数之和为奇数的概率.【解析】方法一：从下图可以看出基本事件与所描点一一对应，有36种，记“向上的点数和为奇数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有18个，因此P(A)=方法二：若把一次试验的所有可能结果取为：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)，则它们也组成等概率的样本空间.基本事件总数为4，事件A“点数之和为奇数”包含的基本事件个数为2，故P(A)=方法三：若把一次试验的所有可能结果取为：点数和为奇数，点数和为偶数，则它们也组成等概率的样本空间.基本事件总数为2，事件A“点数之和为奇数”包含的基本事件个数为1，故P(A)=【满分指导】古典概型主观题的规范解答【典例】(12分)(2011·天津高考)编号为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138

(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格;(2)从得分在区间［20，30)内的运动员中随机抽取2人,①用运动员的编号列出所有可能的抽取结果;②求这2人得分之和大于50的概率.区间［10,20)［20,30)［30,40］人数【解题指南】(1)分别按区间范围列举出人数；(2)用列举法、古典概型的概率公式计算概率.【规范解答】(1)4，6，6……2分(2)①得分在区间［20，30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.…………………4分从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3,A4}，{A3,A5}，{A3,A10}，{A3,A11}，{A3,A13}，{A4,A5}，{A4,A10}，{A4,A11}，{A4,A13}，{A5,A10}，{A5,A11}，{A5,A13}，{A10,A11}，{A10,A13}，{A11,A13}，共15种.…………………8分②“从得分在区间［20，30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种.…………11分所以P(