专题03 空间几何与空间向量（解答题10种考法）专练（解析版）

专题03空间几何（解答题10种考法）1．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，四棱锥中，，，，，与交于点，过点作平行于平面的平面.

(1)若平面分别交，于点，，求的周长；(2)当时，求平面与平面夹角的正弦值.【答案】(1)4(2).【解析】（1）由题意可知，四边形是直角梯形，∴与相似，又，∴，，因为过点作平行于平面的面分别交，于点，，即平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理得，，，所以与相似，相似比为，即，因为的周长为6，所以的周长为.

（2）∵平面平面，∴平面与平面的夹角与平面与平面的夹角相等，∵，，，∴，∴，又，，平面，∴平面，平面，∴平面平面，取的中点，因为为等边三角形，∴，平面平面，平面，∴平面，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，设平面的法向量，则，即，取，则，∵平面，∴是平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为.2．（2023·江西九江·统考一模）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得，为的中点．

(1)求证：平面平面；(2)为线段上一点（端点除外），若二面角的余弦值为，求线段的长．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）易知，，，平面，平面，又平面，所以由直角梯形，，，，可得，又，得；又，平面，所以平面又平面，可得平面平面（2）取的中点，连接，，

，，又平面平面，平面平面，平面，为的中点，为的中点，可得，又，故以所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，设，则设平面的一个法向量为，，，所以，令，得，，即平面的一个法向量为可得，解得或(舍)即为的中点，易知，故线段的长为.3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点．

(1)若点N为的中点，求证：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【解析】（1）证明：连接，，因为M，N分别为，的中点，所以为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中点O，连接，因为侧面为菱形，且，所以在中，，解得，所以'，即，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，过O作的垂线，交于H并延长，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，故，，，，，则，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，可得，设平面的法向量为，，即，令，则，所以，则，故平面与平面夹角的余弦值为．

4．（2023·新疆·统考三模）如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，AB为圆O的直径．

(1)在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)存在，为圆柱的母线(2)【解析】（1）存在，当为圆柱的母线时，．证明如下：连接BC，AC，，因为为圆柱的母线，所以平面ABC，又因为平面ABC，所以．因为AB为圆O的直径，所以．又，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）以为原点，OA，分别为y，z轴，垂直于y，z轴的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，因为劣弧的长为，所以，，则，．设平面的法向量，则，令，解得，，所以．因为x轴垂直平面，所以平面的一个法向量．所以，又二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．5．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.

(1)求证：平面；(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）连接，.在正六棱柱中，因为底面为正六边形，所以，因为平面，平面，所以平面.因为，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，

又，所以平面平面，因为为线段上的动点，所以平面，所以平面.（2）取的中点为Q，连接，.因为底面边长为1，所以，因为，所以，所以.易得，，，所以平面，所以，因为，所以平面，即为平面的一个法向量.连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系，则，，，，，所以，所以，，.设（），所以，则，因为，所以，所以的取值范围是.6．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在六面体中，四边形是菱形，，平面，，为的中点，平面．

(1)求；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【解析】（1）四边形是菱形，，又平面，平面，平面，同理可得：平面．，平面，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可得：，四边形是平行四边形；连接交于点，连接交于点，连接，设，，则，延长交于点，连接，平面，平面，平面平面，，又，四边形为平行四边形，则，为的中点，．，，即，解得：，.（2）由（1）知，两两垂直，故以为坐标原点，正方向分别为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，；设平面的法向量为，则，令，解得：，，，，即直线与平面所成角的正弦值为.7．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，侧面底面，侧面底面，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且.

(1)证明：垂直于底面.(2)当点E在BC边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为侧面底面，侧面底面，而底面是矩形，故,底面，故平面，而平面，故;同理侧面底面，侧面底面，而底面是矩形，故,底面，故平面，而平面，故，又底面，故垂直于底面（2）由（1）知底面，底面，故，点F是PB的中点，且，故，；又平面，,故平面，平面，故，而平面，故平面，故即为二面角的平面角，即；而,以A为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，故，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，故，由原图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.8．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）如图所示，四点共面，其中，，点在平面的同侧，且平面，平面.(1)若直线平面，求证：平面；(2)若，，平面平面，求锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）平面，平面，，平面，平面，平面；，四点共面，，平面，平面，平面；，平面，平面平面，又平面，平面.（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，四边形为平行四边形，，则，，，，，设平面的法向量，，令，解得：，，；平面轴，平面平面，平面轴，平面的一个法向量，，即锐二面角的余弦值为.9．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台中，为中点，，，.(1)求证：平面；(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）在三棱台中，为中点，则，又，，，四边形为平行四边形，，又，，，，，，平面，平面.（2），，，又，，平面，平面，连接，，，为中点，；以为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设，则，，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得：，，；又平面的一个法向量，，解得：，即，平面，平面平面，平面，.10．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知正四棱台的体积为，其中.

(1)求侧棱与底面所成的角；(2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【解析】（1）依题意，在正四棱台中，，所以上底面积，下底面积，设正四棱台的高为，则.连接，则，所以，设侧棱与底面所成的角为，则，由于线面角的取值范围是，所以.（2）连接，设正四棱台上下底面的中心分别为，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，，设线段上存在一点，满足，，，则，，若，则，即，解得，舍去，所以在线段上不存在一点，使得.

11．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，，，且.

(1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）延长，设其交点为，连接，则为平面与平面的交线，取线段CD的中点M，连接KM，直线KM即为所求．证明如下：延长，设其交点为，连接，则为平面与平面的交线，因为，所以，又，所以，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，取的中点，连接，∵分别为的中点，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．

（2）以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知可得，所以，设平面的法向量为，则得，取得，，平面的一个法向量.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.

12．（2023·河北沧州·校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.

(1)证明：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）如图，连接，因为该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，

，所以，所以，所以.因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以.因为平面，平面，所以.因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，，

则，，，设平面的一个法向量为，则即令，则，记直线与平面所成的角为，则，解得（负值舍去），即.设平面的一个法向量为，，，则即令，则.所以.因此平面与平面所成角的余弦值为.13．（2022·贵州安顺·统考模拟预测）如图，在正方体中，E是棱上的点（点E与点C，不重合）．

(1)在图中作出平面与平面ABCD的交线，并说明理由；(2)若正方体的棱长为1，平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为，求线段CE的长．【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）

如图1，分别延长，交于点，连接，则即为所求交线.因为，平面，平面，所以，平面，平面.又平面，平面，所以平面，平面，所以，平面平面.（2）

如图2，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，.则，，，，所以，，，.根据正方体的性质可知，平面，所以即为平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，所以，，即，令，则，，所以，是平面的一个法向量.由已知可得，，即，即，整理可得，，解得或（舍去），所以，，即.14．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）直三棱柱中，，为的中点，点在上，.

(1)证明：平面；(2)若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，平面，∴.又，，平面，∴平面，平面，∴，又平面，平面，∴，，平面，∴平面.（2）因为，为的中点，，所以，

∴为正三角形，如图建立空间坐标系，由（1）易知平面的一个法向量，设，∵，，设平面的法向量为，则，即，取，由，解得或（舍去），∵，点到平面距离为，∴以为顶点的四面体体积为.15．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.

(1)求证：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值；(3)若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)，.【解析】（1）证明：在梯形中，，，，，，，，平面平面，平面平面，平面，平面.（2）解：取中点，连接，，，，，，，为二面角的平面角.，，，，.

（3）由（2）知：①当与重合时，；②当与重合时，过作，且使，连接，，则平面平面，，，平面ABC，平面ABC，，平面，平面，，，；

③当与，都不重合时，令，，延长交的延长线于，连接，在平面与平面的交线上，在平面与平面的交线上，平面平面，过作交于，连接，由（1）知，，又，平面，，平面，平面，.又，平面ACH，，平面，，.在中，，从而在中，，，，.，.综上所述，，.

16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的动点..

(1)证明：；(2)求平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.【答案】(1)证明见解析(2)最小值为，点为靠近的的四等分点【解析】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，又底面，所以，，又因为，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，即两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则

，，，，，，，，设，所以，，因为，所以，即.（2）设平面的法向量为，因为，，所以，令，则，平面的一个法向量为，设平面与平面DEF所成的二面角为，则，当时，取最小值为，此时取得最大值，所以，所以平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值为，此时点为靠近的的四等分点.17．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知是平行六面体中线段上一点，且．

(1)证明：平面；(2)已知四边形是菱形，，并且为锐角，，求二面角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）如图：

记与交于点，延长交于，连接，∵四边形是平行四边形，，即是的中点，又是的中点，，又平面平面，所以平面．（2）如图：过点作于，由于四边形是菱形，，又由于是的中点，，由于菱形中平面平面，所以平面．以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设菱形的边长为2，则，，设，由于，由于，设平面的法向量为，则令，得，又平面的法向量为，．记二面角的大小，则，故二面角的正切值为．18．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，点分别是棱的中点，平面.

(1)证明：平面平面；(2)过点作的平行线交的延长线于点，，点是线段上的动点，问：点在何处时，平面与平面夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）由可知，又，故（三线合一），又平面，平面，故，又，平面，故平面，又平面，故平面平面（2）

在平面中，过作，垂足为，不妨设，由于，则，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，设，则，，，.设平面的法向量，由，即，则是其中一条法向量；设平面的法向量，由，即，则是其中一条法向量.设平面与平面夹角为，则，当时，取到最大值，此时正弦值取到最小值为.19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，四边形是圆的内接四边形，为底面圆的直径，在母线上，且，，．

(1)求证：平面平面；(2)设点为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)1【解析】（1）如图，设交于点，连接，由已知可得，又，所以四边形为菱形，所以，∵，，，∴，∴，∴，又，所以，因为为的中点，∴，．由余弦定理可得，∴，所以，即，又平面，，∴平面．又平面，∴平面平面．

（2）由已知平面，平面，所以，又，，平面，∴平面，又平面，∴．由（1）知，，平面，所以平面，∴，又点为的中点，所以．以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系

则，，，，，，设，则，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以为平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，则，构建，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，∴时，取到最大值4．此时，取到最大值1.另解：由，知，当时，，此时平面，设直线与平面所成的角为，因为，当时，取到最大值1．20．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；(2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)存在，(2)【解析】（1）取的靠近点的三等分点，连接、、，则，又因为，所以，四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以，平面，因为，所以，，因为平面，平面，所以，平面，因为，、平面，所以，平面平面，因为平面，故平面，因此，线段上是否存在点，且当时，平面.（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，由，，，所以，，所以，，所以，，过点在平面内作，垂足为点，因为，，，、平面，所以，平面，因为平面，则，又因为，，、平面，所以，平面，因为点到平面的距离为，即，且，所以，，由图可知，为锐角，所以，，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，，，设平面的法向量，则，取，则，，所以，，因为，因此，与平面所成角的正弦值为.21．（2023·湖北武汉·统考三模）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，平面平面，，．(1)证明：；(2)点Q在侧棱上，，过B，Q两点作平面，设平面与，分别交于点E，F，当直线时，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)0【解析】（1）证明：在中，设，因为，由余弦定理可知：，解得，所以，所以．又因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．由平面，所以.（2）连交于点M，连接，，设交于点H．在中，过P作的平行线交的延长线于N，由，有，则，所以点H为线段中点．在中，因为直线平面，平面平面，所以直线直线，且直线过点H，所以点E为线段中点．以点A为坐标原点，分别为轴，轴，过点A垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设．则，，,，．因为点E为线段中点，所以，设平面（平面）的法向量为，因为，，由，得，令，则．设平面（平面）的法向量为，因为，，由，得．令，则．所以，所以二面角的余弦值为0.22．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）如图，四边形是圆柱的轴截面，点是母线的中点，圆柱底面半径.(1)求证：平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】（1）证明：连接，，则，且，，连接，，由圆柱的性质可得，所以四边形是平行四边形，，所以为中点，所以易知，平面，平面，所以平面；（2）设，则，，当且仅当时取等，如图所示，建立空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，所以，令，，所以，取平面的法向量为，所以平面与平面夹角的余弦值，所以平面与平面夹角的余弦值为.23．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知在多面体中，，，，，且平面平面.

(1)设点F为线段BC的中点，试证明平面；(2)若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）取的中点，连接，，∵在中，∴.∴由平面平面，且交线为，平面，得平面.∵，分别为，的中点，∴，且.又，，∴，且.∴四边形为平行四边形.∴，∴平面.（2）∵平面，平面，所以，又因为，所以三者两两互相垂直，∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，.∵平面，∴直线与平面所成的角为.∴.∴.可取平面的法向量，设平面的法向量，，，则，取，则，.∴，∴，∴二面角的余弦值为.

24．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.(1)求四棱锥的体积的最大值；(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.【答案】(1)(2)平面和平面夹角余弦值的最小值为【解析】（1）解：取的中点，连接，因为，则，当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，此时平面，且，底面为梯形，面积为，则四棱锥的体积最大值为；（2）解：连接，因为，所以，所以为的平面角，即，过点作平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，过作于点，由题意得平面，设,,，所以，所以，所以，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，因为，则，令，可得：，设两平面夹角为，则，令，所以，则所以，所以当时，有最小值，所以平面和平面夹角余弦值的最小值为.25．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且．

(1)求证：平面；(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）如图所示：

取中点，连接，分别为的中点，且底面为矩形，所以，且，又因为平面，平面，平面，平面，所以平面，且平面，又因为，平面，平面，所以平面平面，因为平面，所以由面面平行的性质可知平面（2）如图所示：

注意到侧面为正三角形以及为的中点，所以由等边三角形三线合一得，又因为，且面，面，，所以面，又因为面，所以，又因为底面为矩形，所以，因为，面，面，所以面，因为面，所以，又，所以，又由三线合一，又，所以建立上图所示的空间直角坐标系；因为，所以，又因为为的中点，，所以，所以，，，不妨设平面与平面的法向量分别为，所以有以及，即分别有以及，分别令，并解得，不妨设平面与平面的夹角为，所以；综上所述：平面与平面的夹角的余弦值为.26．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，分别是的中点，平面经过点与棱交于点．

(1)试用所学知识确定在棱上的位置；(2)若，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)靠近的三等分点处(2)【解析】（1）过作直线与平行，延长与交于点，连接与的交点即为点．因为底面是矩形，是的中点，所以，且．又，所以，因为是的中点，可得，则，所以．故在棱的靠近的三等分点处．

（2）因为是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．取中点，连接，易知两两相互垂直，如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，．

设平面的法向量为，则即令，则，所以．．设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为．27．（2021·天津红桥·统考二模）如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）过作于点，则，，由于平面，平面，所以，以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，因为为的中点，所以，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的法向量为，因为，所以，又因为平面，所以平面（2）由（1）知，，平面的法