2023高考数学复习 20　直线与圆

板块四平面解析几何

微专题20直线与圆

高考定位考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与

圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填

空题的形式出现.

真题演练感悟高考练真题明方向

l.(2020∙全国HI卷)点(0,—1)到直线丁=左。+1)距离的最大值为()

A.lB.√2

C.√3D.2

答案B

解析记点A(0，—1)»直线/：y=A(x+l),

由/恒过定点3(—1,0),当A3，/时，点A(0,-1)到直线y=Z(x+l)的距离最

大，最大值为近.故选B.

2.(2022•北京卷)若直线2x+y-l=0是圆(La)2+尸=1的一条对称轴，则a=

()

ʌ-lβ∙^2

C.lD.-1

答案A

解析依题意可知圆心坐标为(α,0),

又直线2x+y—1=0是圆的一条对称轴，

所以24+0-1=0,所以故选A.

3.(多选)(2021•新高考I卷)已知点P在圆。-5)2+6—5)2=16上,点44,0),8(0,

2),则()

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NP84最小时，∣PB∣=3√2

D.当NPBA最大时，1PB∣=3√2

答案ACD

解析设圆。-5)2+。-5)2=16的圆心为例(5,5),半径为4,

由题意知直线AB的方程为升尹1,即

x+2γ-4=0,

则圆心M到直线AB的距离

∣5+2×5-4∣

"=小

所以直线AB与圆M相离，

所以点P到直线AB的距离的最大值为4+√=4+-⅛,

又4+⅛<5÷ΛJ^=10,故A正确;

易知点P到直线AB的距离的最小值为J-4=^=-4,

又"‘^—4=1,故B不正确;

过点8作圆M的两条切线，切点分别为N,Q,如图所示，连接MB,MN,MQ,

则当NPBA最小时，点P与N重合，

∣PB∣=√∣Λ∕B∣2-∣M∕√∣2

=√52+(5-2)2-42=3√2；

当NP84最大时，点P与Q重合，∣PB∣=3√2,故C,D都正确.综上，选ACD.

4.(2022•全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(一1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方

程为.

22

答案(X—2)+(y-3)=13或(L2)2+Q-1)2=5或(Lm)2+。一夕=号或(L

∣)2+(γ-l)2=^

解析依题意设圆的方程为x2+V+OX+Ey+F=0,其中D2+/-4F>o.

若过(0,0),(4,0),(-1,1),

fF=O,

则116+4D+F=0,

U+l-D+E+F=0,

fF=O,

解得4,满足少+序一4尸>0,

U=-6,

所以圆的方程为x2+γ2-4%-6γ=0,

即(x—2)2+。-3)2=13；

若过(0,0),(4,0),(4,2),

fF=O,

则｛16+4D+F=0,

[16+4+4D+2E+F=O,

CF=O,

解得<£>=—4,满足02十七2-4/>0,

[E=-2,

所以圆的方程为jr+y2-4χ-2y=0,

即(L2y+(y-l)2=5;

若过(0,0),(-1,1),(4,2),

CF=O,

则11+1-D+E+F=O,

[16+4+4D+2E+F=O,

"F=O,

__8

解得<°=一于满足。2十层—4/>0,

814

所以圆的方程为jr+γ2-yy=O,

若过(一1,1),(4,0),(4,2),

Cl+l-D+F+F=0,

则｛16+4Z)+F=0,

[16+4+4D+2E+F=O,

K16

F=~^

解得16满足D2+E2-4F>0,

5D=一

5，

VE=-2,

所以圆的方程为Λ2+√-yx—2γ-y=0,

2169

即(L∙∣)+(ʃ-l)=25^∙

5.(2022∙新高考I卷)写出与圆/+产=1和(尤一3)2+。-4)2=16都相切的一条直线

的方程.

答案X=-I或7χ-24y-25=0或3x+4y-5=0(答案不唯一，只需写出上述三

个方程中的一个即可)

解析如图，因为圆f+y2=1的圆心为。(0,0),半径n=1,圆(x—3)2+。-4)2

=16的圆心为A(3,4),半径冷=4,

所以IOAl=5,r1+r2=5,所以∣OA∣=r∣+9，所以两圆外切，公切线有三种情况:

①易知公切线/ɪ的方程为x=-l.

②另一条公切线/2与公切线Zi关于过两圆圆心的直线/对称.

4

易知过两圆圆心的直线/的方程为y=gχ,

X=-1,Ix=-1,

由｛4得｛4

[FL亨

由对称性可知公切线/2过点（一1，一W）

4

设公切线/2的方程为y+w=Mx+l）,

因为点。（0,0）到/2的距离为1,

λ37

所以1=/^P解得Z=为>

所以公切线/2的方程为y+∣=⅛Λ+l）,

即7χ-24y-25=0.

③还有一条公切线/3与直线/：y=*垂直，设公切线上的方程为y=—%+f,

易知t>0,因为点。（0,0）到/3的距离为1,

解得。=卷或/=一水舍去），

所以公切线Z3的方程为y=-∣x+∣,

即3x+4y-5=0.

综上，所求直线方程为X=-I或7x—24y—25=0或3x+4y-5=0.

热点聚焦分类突破研热点析考向

热点一直线的方程及应用

I核心归纳

1.已知直线∕ι*ιx+8ιy+G=0（Aι,8ι不同时为零），直线b：Az龙+历），+02=0（4,

%不同时为零）,则∕∣〃/204&—A2B1=0,且AIC2—A2C1≠O;/i_1_/204也+81助

=0.

2.两平行直线∕ι：AX+By+。=O与，2：Ax+By+C2~0间的距离d=

√A2+B2

+B2≠0).

IAVo+fiyo+C∣

3.点(xo,泗)到直线/：Ax+5y+C=0的距离d=(A2+B2≠0).

√A2+B2

例1⑴已知直线3x+2y-3=0与直线6x+my+l=0互相平行，则它们之间的距

离是()

A.4B.华

r2√B2

J13υ-26

(2)已知直线/1：mχ-iry-1=0,/2：(2"z+3)x+∕ny-1=0,"?WR,则2"

是“，山2”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案(I)B(2)A

解析(1)由直线3x+2y-3=0与6x+my+7=0互相平行，得加=4,

7

所以两直线方程分别为3x+2y-3=0与3Λ+2J÷2=0,

(-3)伍

所以它们之间的距离是一-…二半

√32+222

故选B.

(2)若∕ιJJ2,则"z(2"z+3)+,”=0,

解得m=0或m=-2,

ttw

所以“机=-2”是∕,±∕2的充分不必要条件.故选A.

易错提醒L求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；求解

两条直线平行问题时，要注意排除两条直线重合的情况.

2.求两平行直线间的距离时，需注意直线方程中X,y对应的系数相等.

a

训练1(1)已知直线/i：x+(2a—l)y+2a—3=0,/2：奴+3^+。2+4=0,贝1」lx∕∕l^

3

是“a=,'的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(2)(多选)(2022•南通模拟)已知直线/过点(3,4),点4(-2,2),8(4,—2)到/的

距离相等，则/的方程可能是()

A.x—2y+2=0B.2x—y—2=0

C.2x+3j-18=0D.2%-3y+6=0

答案(I)C(2)BC

解析(1)⅛l↑∕∕l2,则α(2α-l)=3,

且4+4Wa(2α—3),

3

解得α=子

所以充分性成立；

325

当4=]时，h：x+2y=0,/2：x+2y+d=0,

显然所以必要性成立.

故al∖∕∕h,f是"α=*’的充要条件.

—2—222

(2)A,B在直线/同侧时，kι=kAB=4+2=—ɜ,ʌ/:y=—](x—3)+4,

即2x+3y-18=0,

A,8在直线/异侧时，/过AB中点M(1,0),

0—4

∙∙∙h==5=2,.*.Z:y=2(x—3)+4,即2x—y—2=0,故选：BC.

热点二圆的方程

I核心归纳

(1)圆的标准方程：(χ-a)2+(y-by=/。〉。)，圆心为5，b),半径为匚

(2)圆的一般方程：x2+y1+Dx+Ey+F=Q(D2+E2-4F>0),圆心为(一今，-W

半径为r=≡≡.

例2(1)(多选)(2022・潍坊调研)设圆A：√+∕-2Λ-3=0,则下列说法正确的是

A.圆A的半径为2

B.圆A截y轴所得的弦长为2√3

C.圆A上的点到直线3χ-4j+12=0的最小距离为1

D.圆A与圆B：x2+γ2-8χ-8y+23=O相离

(2)(2022•全国甲卷)设点M在直线2x+y-I=O上，点(3,0)和(0,1)均在。M上，

则。M的方程为.

答案(I)ABC(2)(χ-l)2+(γ+l)2=5

解析⑴把圆A的方程x2+γ2-2χ-3=0化成标准方程为(X—l>+y2=4,

所以圆A的圆心坐标为(1,0),半径为2,A正确；

圆A截y轴所得的弦长ICDl=2XΛ∕F=2√5,B正确；

圆心(1,0)到直线3χ-4y+12=0的距离为3,

故圆A上的点到直线3χ-4γ+12=0的最小距离为3—2=1,C正确；

圆8：f+y2—8x—8y+23=0的圆心为(4,4),半径为3,根.据ʌ/(4—1)^+4?=

5可知，圆A与圆8外切，D错误.故选ABC.

(2)法一设。M的方程为(χ-a)2+(γ-b)2=d,

C2a~∖^b—1=0,

则I(3—α)2+⅛2=r2,

lα2÷(1—匕)2=r2,

PZ=1,

解得<b=T,

lr2=5,

.∙.OM的方程为(尤-1)2+3+1)2=5.

法二设C)M的方程为f+γ2+Dx+Ey+F=O(Z)2+/—4尸>0),

nE

则Λf(-∙2,—2)>

(DF

2.(一万)+(一5)-1=0,ΓD=-2,

A<9+3D+F=O,解得f=2,

Λ+E+F=0,U7=—3,

QM的方程为x2+V^-2x+2y-3=0,即(X-l)2÷(y÷1)2=5.

规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法

(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基

本量和方程.

(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

训练2(1)已知圆C与X轴的正半轴相切于点A,圆心在直线y=2x上，若点A在

直线χ-y-4=0的左上方且到该直线的距离等于√L则圆C的标准方程为()

A.(Λ-2)2+(J+4)2=4

B.(x+2)2+(γ+4)2=16

C.(χ-2)2+(γ-4)2=4

D.(Λ-2)2+(γ-4)2=16

⑵已知直线/过点A(α,0)且斜率为1,若圆f+y2=4上恰有3个点到/的距离

为1,则α的值为()

A.3√2B+3√2

C+2D.+√2

答案(I)D(2)D

解析(I)；圆C的圆心在直线y=2x上，

.∙.可设C(4,2a),

又圆。与X轴的正半轴相切于点A,

Λa>0,且圆C的半径r=2α,A(a,0).

Y点A到直线九一y—4=0的距离J=√2,

|。一0-4|

d==y[2,

Λ∕I+I

解得a=6或a=2,

.∙.A(2,0)或A(6,0),

又点A在直线χ-y-4=0的左上方，

ΛA(2,0),ΛC(2,4),r=4,

圆C的标准方程为(X—2y+(γ-4)2=16.故选D.

(2)因为直线/过点A(4,0)且斜率为1,

所以其方程为y=χ-α,

即χ-y~a=0.

因为圆x2+y2=4上恰有3个点到/的距离为1,

所以圆心到直线的距离为1,

即，，=1,解得α=⅛∖R.故选D.

热点三直线与圆、圆与圆的位置关系

I核心归纳

1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.

判断方法：

(1)点线距离法(几何法).

(2)判别式法：设圆C：(χ-α)2+(y-⅛)2=r2,直线/：Ax+δy+C=0(A2+B2≠0),

方程组W+By+。=。，

万程组［(La)2+(y-b)2=4,

消去》得到关于X的一元二次方程，其根的判别式为4,则直线与圆相离Q4

<0,直线与圆相切=4=0,直线与圆相交=ZI>0.

2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.

考向1直线与圆的位置关系

例3(1)(2022•北京石景山区二模)已知圆C：(χ-3)2+γ2=9,过点0(1,2)的直线

/与圆C交于A,B两点,则弦AB长度的最小值为()

A.lB.2

C.3D.4

(2)(2022∙新高考∏卷)设点A(—2,3),B(0,a),若直线AB关于y="对称的直线

与圆(x+3)2+(y+2)2=l有公共点，则a的取值范围是.

Γl3^∣

答案(I)B(2)日2

解析(1)根据题意圆C：(X-3)2+√=9,圆心C(3,0),半径为3,点0(1,2)

在圆C的内部.

当直线OC垂直于直线/时，即点D为AB的中点时，弦AB最短.

V∣DC∣=√(3-1)2+(0-2)2=2√2,

∙∙.HBlmin=2√A2-IDCI2=2√9τ8=2.

故选B.

(2)法一由题意知点4-2,3)关于直线y=α的对称点为4(-2,2∏-3),

3—a3—ci

所以kκB=-2—，所以直线43的方程为y=-^~x+a,即(3—α)χ-2y+2α=0.

由题意知直线48与圆0+3)2+(γ+2)2=l有公共点，

易知圆心为(-3,-2),半径为1,

匕匕J—3(3—。)+(—2)X(—2)~∖-2a∖

所以「35+J)2≤1，

13Γ13^l

整理得6∕-llα+3W0,解得产后宗所以实数。的取值范围是52•

法二易知(jc+3)2+(y+2)2=l关于y轴对称的圆的方程为(χ-3)2+(y+2)2=l,

由题意知该对称圆与直线AB有公共点.直线AB的方程为y=竺UX+α,

即(a—3)x—2y+2α=0,

又对称圆的圆心为(3,-2),半径为1,

∣3Ca—3)+(—2)×(—2)+2〃|〜

所以4覆=-2)2-Wl,

13「13一

整理得64—iia+3W0,解得亨。号，所以实数0的取值范围是存外

法三易知(九+3)2+(卜+2)2=1关于y轴对称的圆的方程为(x—3y+(γ+2)2=l,

由题意知该对称圆与直线AB有公共点.

设直线AB的方程为y-3=k(x+2),

即kx—y+3+2Z=0,

因为对称圆的圆心为(3,-2),半径为1,

所以谭言广Wl,解得一2ZT

又仁尚宜，所以一狂因及一*解得WWa竦,

「

所以实数4的取值范围是匕1，231•

考向2圆与圆的位置关系

例4(1)(2022•重庆诊断)已知圆O∣:2αc+y2+/-1=0与圆Q：Λ2+∕=4

有且仅有两条公共切线，则正数α的取值范围为()

A.(0,1)B.(0,3)

C.(l,3)D.(3,+∞)

(2)(多选)已知圆C∣:Λ2+/-IOx-IOy=O和圆C2：/+y2—6x+2y—40=0,则

()

A.两圆相交B.公共弦长为4√I5

C.两圆相离D.公共弦长为2√Iδ

答案(I)C(2)AB

解析(1)由题意知圆。与圆Q相交，圆。：％2—Ztu+y2+/—1=0的圆心色,

0),半径为1.

所以1<∖∕^<3,又”>0,解得“W(l,3),

故选C.

(2)由题意知，圆Ci的标准方程为(X-5)2+(J-5)2=50,

二圆心为C(5,5),半径为n=5啦，

圆。2的标准方程为(X—3)2+。+1)2=50,

.∙.圆心为C2(3,-1),半径为力=5啦，

两圆的圆心距d=∖j(5—3)2+[5—(-1)]2=2Λ∕TO,

.".∣n—n∖<d<r↑+n,

•••两圆相交，故选项A正确，选项C错误；

设两圆的公共弦长为"

22

则(f)+=t2{r=r∖=ri),

ΛL=4√Tθ,故选项B正确，选项D错误.故选AB.

规律方法1.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r,圆心到直线

的距离d,及半弦长构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.

2.两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径

定理求公共弦长.

训练3(多选)(2022・武汉模拟)已知直线/：kχ-y-k+l=0,圆C的方程为(无一2)2

+0+2)2=16,则下列选项正确的是()

A.直线/与圆一定相交

B.当左=0时，直线/与圆C交于两点M,N,点E是圆C上的动点，则aMNE

面积的最大值为3√7

C.当/与圆有两个交点N时，IMNl的最小值为2册

D.若圆C与坐标轴分别交于A,B,C,。四个点，则四边形ABCO的面积为48

答案AC

解析:直线/：区一y—左+1=0过定点—(1,1).

又(1-2)2+(1+2)2=10<16,

点P在圆内,

因此直线与圆一定相交，故A正确；

当Z=O时，直线y=l,代入圆的方程得(x—2)2+(1+2)2=16,

解得尤=2域，因此IMNl=2小，

Y圆心为(2,-2),圆半径为r=4,

.∙.圆心到直线/的距离为d=3,

因此E到直线/的距离的最大值为∕z=4+3=7,

.•.△MNE面积最大值为S=；X7X2巾=7小，故B错误；

当/与圆有两个交点M,N时，IMN)最小，PCLl,∣PC∣=√(1-2)2+(1+2)2

=∖[To,

因此IMNImin=2√42-(√Iθ)2=2√6,故C正确；

在圆方程(x—2)2+(y+2)2=16中分别令光=O和y=0可求得圆与坐标轴的交点坐

标为A(2-2√5,O),B(2+2√3,O),C(0,-2+2√3),D(0,-2-2√3),

Λ∣AB∣=4√3,∣CD∣=4√3,四边形ABC。的面积为S=gx4√5x4√5=24,

故D错误.故选AC.

热点四隐圆问题

I核心归纳

在解决某些解析几何问题时，题设条件看似与圆毫无关系，但通过对题目条件的

分析、转化后，会发现此问题与圆有关，进而利用圆的性质解题，一般我们称之

为隐圆问题.

例5(2022・济南模拟)已知直线kx-y+2k=0与直线x+Ay—2=0相交于点P,点

A(4,0),。为坐标原点，则tanNOAP的最大值为()

A.2—√3B.坐

C.lD.√3

答案B

解析直线kx~y+2k=0恒过定点M(-2,0),直线x+由一2=0恒过定点NQ,

0)，

又易知两直线垂直，故P点轨迹是以(0,0)为圆心，2为半径的圆，除去与X轴的

交点，

于是得Λ2+∕=4(%≠+2),

如图，观察图形可知，射线AP绕点A旋转∕OAP∈(θ,胃，

当旋转到与圆0：x2+γ2=4相切时，NOAP最大，

因为∣OA∣=4,AP为切线，点P，为切点，

π

∖OP'∖=2,ZOP'A=y

JT

则ZOAP,=-∑,

O

π

所以NoAP最大值为不

兀ʌ/ɜ

所以(tanZOAP)maκ=tanð=ɜ.

规律方法确定隐圆的几种方法：

(1)借助圆的定义；(2)借助距离的平方和为常数；(3)借助平面向量的数量积为定值;

⑷借助距离比值为常数(而=心十>0且动点P的轨迹为阿波罗尼斯圆).

训练4在平面直角坐标系Xoy中，已知圆C：(X—α)2+(y-α+2)2=l,点A(0,

2),若圆C上存在点M,满足IMAF+∣MOF=]O,则实数4的取值范围是.

答案[0,3]

解析设M(x,y),由|肱4|2+|加。|2=10可得/+。-2)2+/+9=10,

即x2÷(γ-1)2=4,

则点M在圆x1+(y-1)2=4上，

由题目条件可知点M在圆C：(χ-a)2+(γ-a+2)2=l上，

所以两圆相交或相切，

贝!]2—1≤^√(a—0)2+(a—2—1)2≤1+2,

解得0≤aW3.

高分训练对接高考重落实迎高考

一、基本技能练

1.过点41,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A.χ-y+l=0B,x+γ-3=0

C.2x~y=0或x+y~3=0D.2x~y=0或χ-y+1=O

答案D

解析当直线过原点时，满足题意，方程为y=2x,即2χ-y=0;

当直线不过原点时，设方程为：+上=1,

a-a

12

∙.∙直线过(1,2),∙∙.---=l.

Λa=-1,.∙.方程为x—y+l=O,故选D.

2.已知圆C：f+y2=d(r>0),直线/：x+√3>-2=0,则“r>3”是“直线/与圆C

相交”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

I—2|

解析由题意知圆心(0,0)到直线x+√3y-2=0的距离d=

√T+3=1,

当r>3时，直线与圆相交，

当直线与圆相交，则d=l<r,

故“r>3”是“直线/与圆C相交”的充分不必要条件.故选A.

3.(2022・厦门模拟)已知O为坐标原点，直线/：y=丘+(2—2与上存在一点P,使

得∣OP∣=√1则人的取值范围为()

A.[√3-2,√3+2]B.(-∞,2-√3]U[2+√3,+∞)

C.[2-√3,2+√3]D.(-∞,√3-2]U[√3+2,+∞)

答案C

∣2-2⅛∣

解析点0(0,0)到直线/：y=依+(2—2A)的距离d=

7产十1

由题意得坐标原点到直线/距离d^∖OP∖,

4，|2-2M

所以后TW啦r,

解得2-小WkW2+小,

故々的取值范围为［2—√5,2+√3］,故选C.

4.(2022•北京海淀区一模)已知直线/：ax+by=∖是圆x2+yi-2χ-2y=0的一条对

称轴，则必的最大值为()

11

A∙4β∙2

C.lD.√2

答案A

解析圆Λ2+y2-2x—2y=0的圆心为(1,1),

直线/：OX+/?y=1是圆x2+γ2-2龙-2y=0的一条对称轴.

可得α+b=l,

,(a+t>∖1

贝rτ!l］次?Wy-J=0

当且仅当α=∕j=g时，取等号.

所以帅的最大值为:，故选A.

5.(2022.西安模拟)过点P(5,l)作圆Cx2+y2+2χ-4y+l=0的割线/交圆C于A,

B两点，点C到直线/的距离为1,则成•丽的值是()

A.32B.33

C.6D.不确定

答案B

解析由题意，可得向量两与丽共线且方向相同，圆C的圆心为(一1,2),半径

为2,

如图所示，其中PD为切线，根据切割线定理，则永丽=|两∙∣的=|用产=|寿|2

—ICbF=6?+P—22=33.故选B.

6.(2022.广州二模)已知直线x+y+1=0与x+2y+1=0相交于点A,过点A的直

2

线/与圆M：f+y+4x=0相交于点B,C,且NjBMC=I20。，则满足条件的直

线/的条数为()

A.0B.1

C.2D.3

答案B

解析由题意得点A(—1,0),

圆M：Λ2+V+4X=0的标准方程为(x+2)2+γ2=4,圆心(-2,0),半径r=2,

由NBMC=120。，可得圆心M到直线/的距离d=l,直线/过点4(-1,0),

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为》=一1,

圆心M到直线/的距离d=l,符合题意；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=Z(x+l),即依一y+A=O∙

∣-2^-0+⅛∣∖-∣c∖.

圆心M(—2,0)到直线/的距离d=此方程无解.

"∖∕⅛2÷1=许f

故满足条件的直线/的条数为1,故选B.

7.已知两条直线∕∣:2x—3y+2=0,/2：3L2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都在

变动)与八，/2都相交，并且/”/2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,

24,则动圆圆心的轨迹方程为()

AG—1)2—/=65B,Λ2-(J-1)2=65

C.y2-(x÷1)2=65D.(x÷I)2—y2=65

答案D

解析设动圆圆心P(x,y),半径为r,

则p到/.的距离J∣=12X-⅛+21,

√13

_,,,„ʌ,∣3x—2y+3∣

P到/2的距离⅛=----∕ττ----,

y13

因为/1,b被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.

Λ2√^-^=26,2∖∣r2—豳=24,

化简后得户一片=169,r2-di=144,

相减得法一%=25,将必代入距离公式后化简可得(x+l)2-y2=65,故选D.

8.(2022・江门模拟)已知M是圆C：x2+γ2=l上一个动点，且直线∕∣:ιwc-ny-3m

+〃=0与直线/2：也+"少一3机一〃=0("z,〃eR,〃必+"/。)相交于点p,则IPM

的取值范围是()

A.[√3-l,2√3+l]B.[√2-l,3√2+l]

C.[√2-l,2√2+l]D.f√2-1,3√3+l]

答案B

解析依题意，直线/1："Z(X—3)—〃(y—1)=0恒过定点A(3,1),

直线/2：1)+机。，-3)=0恒过定点8(1,3),显然直线∕ιJ√2,

因此，直线∕∣与/2交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，

其方程为：(x—2)2+&-2)2=2,圆心N(2,2),半径r2=取,

而圆C的圆心C(0,0),半径八=1,

如图：∖NC∖=2y∣2>∏+r2,

所以两圆外离，由圆的几何性质得：

IPMImin=WCl—71一r2=啦一1,

IPMImaX=∣7vq+n+r2=3√2+l,

所以IPM的取值范围是[点-1，3啦+1].故选B.

9.(多选)已知直线∕∣:(α+l)x+αy+2=0,/2：以+(1—1=0,则()

Aj恒过点(2,-2)

B.若/1〃/2，则层=；

C.若/1^/2,则/=1

D.当OWaWl时，直线/2不经过第三象限

答案BD

解析Zi：(α+l)x+αy+2=004(x+y)+x+2=0,

fx+y=O,X=-2,

令■得V

[x+2=0,IJ=2,

即直线恒过点(一2,2),故A不正确；

若八〃，2,则有(α+1)(1—α)=/,解得/=3，经检验满足条件，故B正确；

若Ii-Lb,则有α(α+l)+α(l—a)=0,解得α=0,故C不正确；

若直线/2恒过点(1,1)且不经过第三象限，则当l-αW0时，~β7<0,解得0<α<l,

当α=l时，直线'x=l,也不过第三象限，

当α=0时，直线/2：y=∖,也不过第三象限，

综上可知，当0≤αWl时，直线/2不经过第三象限，故D正确.

10.(多选)(2022.全国名校大联考)如图，O为坐标原点，B为y轴正半轴上一点,

矩形。4BC为圆M的内接四边形，OB为直径,∣OC∣=√3∣OA∣=√3,过直线2x+

y—4=0上一点P作圆M的两条切线，切点分别为E,F,则下列结论正确的是

（）

A.圆M的方程为x2+（y-l）2=l

B.直线AB的斜率为2

C.四边形PEMF的最小面积为2

→→4

D∙∕¾∙PC的最小值为5

答案AD

解析由题意可得圆M的直径QBl=2,线段OB的中点即为圆M的圆心，

所以圆M的方程为x2+（y-1）2=1,故A正确；

Jl7C

易知NAoB=从而可得NXOC=

所以直线。。的斜率为⅛oc=tan^=√3,由A8〃0C可得直线AB的斜率为ICAB=

koc=小,故B错误；

连接尸M,可得RtAPME^RtAPMF,

2

所以四边形PEMF的面积为S=2SR^PME=∖ME∖∙∖PE∖=∖PE∖=y∣∖PM∖~∖,

当直线PM与直线2x+y—4=0垂直时，IPM最小，

pdipλ,i12×0+1-413√5

即FMmin——$，

所以Smm=手，故C错误；

因为丽•亚=（曲+而）•（丽+证）=（加+雨）•（丽一必）=丽2一疝2=丽2—

94

12g—1=亍故D正确.故选AD.

2

1L（2O22∙辽宁六校联考）已知直线Zi:y=（2a-l）x-2与直线Z2:y=7x+a平行,

则a=.

答案2

解析•••两直线平行，

f2a2-l=7,

Λ1口解得a=2.

[a≠~2,

12.过点M(0,-4)作直线与圆C：f+V+2χ-6y+6=0相切于A,8两点，则直

线AB的方程为.

答案χ-7γ+18=O

解析圆C的标准方程为(x+l)2+0—3)2=4,圆心为。(一1,3),半径为2,

由圆的切线的性质可得MAlAC,

M∣Jl^4∣=√∣MC∣2-22

=y∣(—1—0)2÷(3÷4)2-22=√46,

所以，以点M为圆心、以IMAI为半径的圆M的方程为f+(y+4)2=46,

将圆M的方程与圆C的方程作差并化简可得χ-7j+18=0.

因此直线AB的方程为χ-7j+18=0.

二'创新拓展练

2222

13.(多选)(2022•青岛质检)己知圆Cl:(%-3)+(y-l)=4,C2:Λ+(y+3)=l,

直线/：y=Mχ-l),点M,N分别在圆G,C2上.则下列结论正确的有()

A.圆C,C2没有公共点

B.∣MN∣的取值范围是口，7]

C.过N作圆G的切线，则切线长的最大值是

2

D.直线/与圆G,C2都有公共点时，Λ≥3

答案AC

解析圆析的圆心的(3,1),半径.=2,

圆C2的圆心C2(0,-3),半径∕∙2=1∙

对于选项A,圆心距

J=√(0-3)2+(-3-1)2=5>n+^,

所以圆C,C2外离，选项A正确；

对于选项B,IMNl的最小值为J—(r∣÷Γ2)=2,最大值为J÷(r∣+r2)=8,选项B

错误；

对于选项C