新教材高中数学人教A版学案8-2立体图形的直观图

8．2立体图形的直观图[目标]1.掌握斜二测画法的步骤；2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．[重点]用斜二测画法画简单的平面图形与几何体的直观图．[难点]用斜二测画法画简单的平面图形与几何体的直观图．要点整合夯基础1．画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．2．画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．3．取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．[答一答]1．斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．2．相等的角或线段在直观图中仍然相等吗？提示：不一定相等，如正方形的边长和内角分别相等，但是它的直观图是平行四边形，相邻两边边长不相等，相邻两内角也不相等．知识点二空间几何体直观图的画法[填一填]1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴．2．画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面．3．取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．4．成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．[答一答]3．画直观图时，如何区别实线和虚线？提示：直观图是一个平面图形，我们用它表示空间图形，为了增强空间感，画图要分实线和虚线，其中被面挡住的部分要画成虚线．看得见的部分要画成实线．4．空间几何体的直观图唯一吗？提示：不唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同.典例讲练破题型类型一水平放置的平面图形直观图的画法[例1]如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3[分析]以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系．只需确定四个顶点A，B，C，D在直观图中的相应点即可．[解]画法步骤：(1)如图甲所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图乙所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图甲中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝eq\f(3\r(3),2)≈2.598(cm)；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝eq\f(1,2)ED＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)＝0.75(cm)，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2cm.(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.本题中，关键在于点D′的位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E的对应点E′，再去确定D′的位置.[变式训练1]画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图．解：(1)如图①所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′轴上截取O′A′＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(\r(3),4)cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．(3)擦去x′、y′轴得直观图△A′B′C′，如图③所示．类型二画空间几何体的直观图[例2]用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图．[分析]利用画轴、画底面、画侧棱、成图进行作图．[解](1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm，分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．(1)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴．此外，坐标系的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确的确定顶点；(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以又快又准的画出．[变式训练2]一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为4cm，圆锥的高为3cm，画出此几何体的直观图．解：(1)画轴，如图1所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3cm，且OA＝OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A、B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4cm，过O′作Ox，Oy的平行线O′x′，O′y′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3cm.(4)成图．连接A′A、B′B、PA′、PB′，擦掉辅助线，将其被遮挡的线改为虚线，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．类型三由直观图还原成原图[例3]如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.求原四边形ABCD的面积．[分析]利用斜二测画法的法则得到原图和直观图的关系．[解]如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.所以面积为S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.[变式训练3]如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是(C)A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形解析：将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示，由题意知O′D′＝eq\r(2)O′C′＝2eq\r(2)cm，OD＝2O′D′＝4eq\r(2)cm，C′D′＝O′C′＝2cm，∴CD＝2cm，OC＝eq\r(CD2＋OD2)＝6cm，又OA＝O′A′＝6cm，∴OA＝OC，∴原图形为菱形.课堂达标练经典1．利用斜二测画法画边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的(C)解析：选项A是平面图，选项B中角度有误，选项D中的边长有误．2．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m、10m，四棱锥的高为8A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm解析：由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.3.水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为2.5.解析：由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AB边上的中线为2.5.4．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是AC.解析：画出原图形如图所示，△ABC为直角三角形，显然，AC边最长．5．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，在直观图中，O′D′＝eq\f(1,2)OD，梯形的高D′E′＝eq\f(\r(2),4)，于是梯形A′B′C′D′的面积为eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(3\r(2),8).——本课须掌握的两大问题1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，确定这类顶点一般过此点作与轴平行的直线，将此点转到与轴平行的线段上来．2．要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中建立平面直角坐标系，尽量利用原有线段或图形的对称轴画坐标轴，图形的对称中心作为坐标原点，让尽可能多的顶点在坐标轴上．学科素养培优精品微课堂关于直观图面积的一个结论开讲啦若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝eq\f(\r(2),4)S.由于其他多边形均可以划分为若干个三角形，故上述结论对其他多边形也成立．[典例]证明：已知某三角形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝eq\f(\r(2),4)S.[分析]利用三角形的底边和高的关系，找出两个面积的关系．[证明]如图(1)，在△ABC中，AD⊥BC，其面积S＝eq\f(1,2)AD·BC，在其直观图(如图(2))中，作A′M⊥