甘肃省武威市凉州区2024届高三第三次诊断考试数学试题（解析版）

甘肃省武威市凉州区2024届高三第三次诊断考试数学试题

第I卷(选择题)

一、单选题

1.已知集合［7={尤"|工2—尤―12V0},A={—2,—1,3},3={0,1,3,4},则B

()

A,{0,2,4}B.{0,1,4}C.{0,4}D,{1,3}

【答案】B

【解析】由炉―%—12<0解得：-3<x<4,得集合U={—3,—2,—1,0,1,2,3,4},

又・A={-2,-l,3},B={0,l,3,4},

.•.&$={-3,0,1,2,4},

从而@A)c6={0,1,4}.

故选:B.

2.复数Z满足l+?i+zi2=|l—6i|，贝Uz=()

11.11.11.

A.1+iB.—+—1C.------1D.---F—1

222222

【答案】c

【解析】由已知1+zi+zi2=|1—|,可得(i—l)z=1,z=---=------i.

i-122

故选：C.

3.ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=》cosA,则二ABC一定是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】由余弦定理有C=bx2二——,整理得52=々2+,2,故JWC一定是直角三

2bc

角形.

故选：C

4.函数/(x)=f—cosx在区间［—|,曰内的图象大致为()

【解析】•/(%)=%2一COS%,XG[-p^],则

/(-X)=(-X)2-cos(-x)=%2_cosx=/(x)

jr

故/(%)=%—cosx为偶函数，排除C、D；又％时,

2[

cos-=--->0.排除A

392

故选：B.

5.已知lgx+Igy=l,则％+y的最小值是()

A.1B.MC.2MD.10

【答案】C

【解析】lgx+lgy=l

.,.坨(孙)=1,即⑵=10且兀>0,y>0

.•.x+yN2历=2抗6，当且仅当x=y=而时取等号,

故选：C.

71|,则COS年+23等于(

6.若sin~~a

717

A.——BC.1D.-

9-439

【答案】A

/

71.兀711

【解析】因为sina=sin——+6Z

~~12

73

1

所以cos

3

((兀_271)1/

所以cos=cos2—+ay=2cos—+a-l=——

I(3))(3J9

故选：A.

3

7.点A是曲线丁=万必9—Inx上任意一点，则点A到直线y=2x—l的最小距离为(

A.且B.好C.毡D.6

1055

【答案】A

3

【解析】不妨设/(大卜]/—Inx,定义域为：(0,+“)

对/(力求导可得：f\x)=3x--

令/'("=2

解得：x=l(其中x=-二舍去)

3

当x=l时，y=|,则此时该点(i,1j到直线y=2x—I的距离为最小

2-3」

根据点到直线的距离公式可得：,2

a=----产——

A/5

解得：d^—

10

故选：A.

8.定义在R上的偶函数/(x)满足：对任意的石，/6[0,+8),都有;_；<0，

则满足了(2]—1)</。)的x的取值范围是()

A.(-1,0)B,(l,+oo)U(^o,0)

C.(-00,0)D.(0,1)

【答案】B

【解析】因为/(X)是偶函数，且/(x)在xe[0,+8)上单调递减,

所以不等式/(2x—等价于/(|2x—

即|2x-1|>1,

解得xv0或%>1,

所以满足〃2x—1)</⑴的尤的取值范围是(1,口)(7,0).

故选：B.

二、多选题

9.下列命题是真命题的是()

A.VXGR,X+—>2B.3X>0,lnx=x

x

2

C.VXGR,X+X>-1D.方程%2=2%的实根有三个

【答案】CD

【解析】对于A,当xvO时，%+—=-(-%+—),

X-X

因为一%>0,所以—％+」-22j(—x)・」-=2,

-xV-x

所以％H—=—(―XH--)V—2,故A错误；

X-X

对于B,由反函数的性质可知，

由于y=e"与y=ln九的图象关于y=x对称，

且y=ln九的图象恒在>二犬图象的下方，所以%>lnx恒成立，故B错误；

对于C,VxeR,X2+x+l=fx+—+—>0，即/+%2一1恒成立，故C正确;

I2)4

对于D,y=Y与'=？1有且仅有三个交点，故D正确.故选:CD.

10.下列等式中正确的是()

A.sinl5°cosl5°=—

4

B.2sin222.5°-l=—

2

-tan710-tan26°.

C.---------------=]

1+tan71°tan26°

D.sin26°cos340+cos26°sin34°二—

2

【答案】ABC

【解析】A选项，sin15°cos15°=-sin30°=-,A正确;

24

后

B选项，2sin222.5°-1=cos45°=—，B正确；

2

tan71°-tan26°(…门”c\"c一»

C选项,---------------=tan(71°—26°)=tan45°=l,C正确；

l+tan71°tan260----'7

sin26°cos34°+cos26°sin34°=sin(26°+34°)=sin60°=岑，D错误.

D选项，

故选：ABC.

11.若函数/(x)=xlnx—ox+1恰有两个零点，则实数。的取值可能是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】BCD

【解析】函数/(x)=xlnx—ox+1有2个零点等价于在x>0时,

直线丁=。与g(x)=lnx+，有2个交点，

s(x)=~r,显然当尤>1时，g(%)>0,当。<%<1时，g(%)<0

X

即在X=1处，g(x)取得最小值=1,图像如下：

若y=a与g(x)有2个交点，则；

故选：BCD.

12.若函数/（%）=&5由（2》+。）［4〉0,0＜。＜］］的部分图像如图所示，则下列叙述正

确的是（）

A.［一即J是函数A"）图象的一个对称中心

B.函数“X）的图象关于直线x=1对称

C.函数/（X）在区间-找上单调递增

D.函数八力的图像可由y=Asin2x的图象向左平移联个单位得到

【答案】AD

【解析】根据函数〃尤）=Asin（2x+@（A＞。，0＜夕＜巴）的部分图像，

2

S1E7L

可得A=2,结合五点法作图可得2乂一+夕=兀，.•.夕=—,

126

71

故函数/（x）=2sin（2%+—）.

6

令了=—二，求得/'（刈=。，可得（-刀，0）是函数“X）图象的一个对称中心，故A正确；

1212

TTTT

令X=§,求得/（关）=1,不是最值，可得x=§不是函数/⑺图象的一条对称轴，故B错

误；

在区间［」，曰上，2%+卜［-「言］，函数"X）没有单调性，故C错误;

33666

由y=2sin2x的图象向左平移三TT个单位，可得y=2sin（2x+T》T=/（x）的图象，故D正确,

126

故选：AD.

第II卷（非选择题）

三、填空题

13.若直线y=—2x+'|与曲线y=-初相切，则。=.

【答案】3

【解析】设直线y=—2x+g与曲线y=gd-以相切于点,

2

由丁二氐^一取得：y'=X-a,XQ-cz=-2,a=+2,

]212

X—%o-UXQ——2x0+—,.，.§¥—%。（考+2）=-2%0+§,解得：%=―]，

Q=1+2=3.

故答案为：3.

14.若tana=2,贝U——sin2>_=.

cosa—sina

4

【答案】—彳

3

【解析】因为tana=2,

sin2a2sinacosq2tana4

所以2•~2—2•~2―i-2——£,

coscif-sinacosa-sma1-tana3

4

故答案为：—

3

3（a2+b2-c2）

15.AABC内角A、5、C的对边分别为a、b、c,若△ABC的面积为二--------L,贝！JC二

4V3

【答案】=jr

3

【解析】由题意可得」absinC=3（a二,）=3（2"<^sC）,则可得

24V34V3

tanC=百，Ce（0,兀）

•c」

,3

TT

故答案为：—.

3

16.已知〃力是定义在R上的奇函数，当x>0时，靖（％）</（x）,若/⑴=0,则不

等式ZW>o的解集为.

X

【答案】(-1,O)U(O,1)

【解析】由题意，令g(句=以立，则g，(「)N叫,

XX

因为x>0时，靖(%)</(%),则g，(x)=X'(")一f(x)<0，

故g(x)在(0,+8)上单调递减，

又“X)是定义在R上的奇函数，所以/■(—£)=—/(x),

所以g(—x)=/tW=1^Gl=/H=ga),即g(x)是(f,0)5。，”)上的偶函

—X—XX

数，根据偶函数的对称性，可知g(x)在(-8,0)上单调递增，

且g(T=g(D=4^=o，

所以xe(-l,o)u(o,l)时,g(%)>0.

故答案为：(―i,o)u(o,i).

四、解答题

17.己知函数/(%)=cos尤(23sinx+cos-sin2x.

(I)求函数/(x)的单调递增区间和最小正周期；

(II)若当XC0,-时，关于X的不等式,求实数加的取值范围.

请选择①和②中的一个条件，补全问题(II),并求解.其中，①有解；②恒成立.

(I)解:因为/(x)=cosx(2氐inx+cosx)-sin2x=26sinxcosx+cos2x-sin2x

=A/3sin2x+cos2%=2sinI2x+—\.

所以函数〃尤)的最小正周期T=7l;

兀71

因为函数丁=sinx的单调增区间为—5+2E，5+2E,keZ,

'}IJIJIJIJI

所以----^2左兀《2九+—«—+2左兀，kGZ,解得----\-kn<x<—+kii,keZ,

26236

JT7t

所以函数/（%）的单调增区间为一3+加%+而，％eZ；

（II）解：若选择①

由题意可知，不等式有解，即帆W/（4）.；

因为xe0,£,所以四＜2x+巴＜办，

L2J666

故当2x+9=W，即x=9时，/⑺取得最大值，且最大值为/倍］=2,

626voj

所以加工2；

若选择②

由题意可知，不等式/（X）2机恒成立，即加血

因为xe0,g,所以巴W2x+巴44.

_2J666

故当2x+g=?,即x=g时，〃尤）取得最小值，且最小值为/信］=—1.

66212J

所以加（一1.

18.如图，在AABC中，ZA=30°,。是边AB上的点，CD=5,CB=7,DB=3

（1）求△C3D的面积;

（2）求边AC的长.

324-72-5211

解：（1）在△CB。中，由余弦定理可得cos3=3二——=—

2x3x714

则sinB=Vl-cos2B-

14

,3x7』2

Q,CBD

2144

BC_AC

(2)在工ABC中,由正弦定理得

sinAsinB

7_AC

即j_—上叵，解得AC=5』.

2IT

19.已知公差不为零的等差数列｛4｝的前”项和为s“，若Ho=110,且6,外,%成等比数

列.

(I)求数列｛4｝的通项公式；

]1

(ID设数列｛2｝满足2,，若数列也,｝前n项和(，证明数<-.

（4-1）（%+1）2

aI=aa^（q+d）~=%（卬+3d）

解：(I)由题意知:x

工0=110[10^+45^=110

解q=d=2,故数列an=2n；

,11（11）

H）由（1）可知„-^2„-i）（2n+l）~2[2n-l~2n+l）'

1

2n-l

20.己知等比数列｛4｝中，2%+4=。3，且a〉/，。3T成等差数列•

(1)求数列｛4｝的通项公式4；

(2)当数列｛4｝为正项数列时，若数列｛〃｝满足包=2〃—1+4(〃GN*),记数列｛2｝的

前〃项和为s“，试比较S"与"2+2"的大小.

解：(1)记｛4｝的公比为4，

由2q+a2=%可得2+q=/，解得〃=-1或2,

z-o…1

又由q+(%—1)=2a2,可得/+—1=2%q,即6一,

当q=-1时，可解得卬=；,此时有aRu/xGiyT

当q=2时，可解得q=1,此时有%=2"T

综上，数列｛4｝的通项公式为％,=；><(—I)""或4=2"一.

1

(2)由⑴知：an=2"-,则”=2〃—1+2"，

从而S,,=4+2+…+优=[1+3+…+(2〃—1)]+(1+2+22+…+2"T),

“1+2〃—1)1-2"2,

=—----------+--------=n-+2"-i,

21-2

由S〃—(”2+2〃)=-1<0,

故S〃<“2+2「

,«4

21.若函数/(x)=-bx+4,当x=2时，函数f(x)有极值一§.

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数的极值点并求出函数的极值.

/⑵=12a—b=01

CL——

解：(1)因为/'(x)=3ax2—8，由题意知＜4，解得<3,

/(2)=8a—2b+4=——b=4

13

所以所求的解析式为/(X)=-X3-4X+4；

(2)由(1)可得/'(x)=Y—4=(x—2)(x+2),令/'(x)=0,得x=2或1=—2,

则当尤<—2或尤>2时,/(x)>0,在(一8,—2]和[2,转)单