2024年上海市高考数学新高考新教材新增知识系列：对三角不等式的理解与应用

【学生版】微专题对三角不等式的理解与应用

1、定理（三角不等式）：如果a、6是实数,那么|〃+/0。|+|加；当且仅当"20时，等号成立。

2、推广

（D如果。、♦是实数,那么||。|+|6区|。±6凶。|+|“（由定理通过代换可以推得）；

（2）如果a、b、c是实数，那么|a—dW|a—4+M—c|,当且仅当（Q）（Q）》0时，等号成立;

一'定理的多视角证明

1、定理（三角不等式）：如果a、b是实数,那么|。+匕国。|+|回；当且仅当必20时.，等号成立。

【提示】

【证明】方法1：

【证明】方法2：（比较法+不等式性质）

【证明】方法3:（分析法）；

【证明】方法4：（利用绝对值的几何意义）;

【证明】方法5：（从向量的模与复数的模视角理解）

定理（三角不等式）：如果a、6是实数，那么|a+回ga|+M|；当且仅当出720时，等号成立。

不等式中，用向量分别替换实数。、b；

则当不共线时，由向量加法三角形法则：

—•—•—•—•1―*—•a+b

向量a,a+匕构成三角形，因此，有|a+川W|a|+|》|（a、匕同向时取等号）

定理的几何意义：完善后的定理，从形式来看具有三角形的两边之和大于第三边关系，因此有时把定理称为绝对值

三角不等式定理。

二、定理的理解与应用

例1、（1）设a、b为实数，求证：,+4+,-4之鼻汗.

【提示】

【证明】

（2）设°、6为实数,求证:\a+t\+\a-l\>^\.

【证明

【说明】本题考查了教材要求的由等式代换结合三角不等式证明不等式；

例2、已知於）=上一2x+7,且|x—刑<3,求证：y（m）|<6|/n|+15.

【提示】；

【证明】

【说明】本题考查了利用绝对值三角不等式证明不等式；两类含绝对值不等式问题的证明技巧；

一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转符号化为常见的不等式证明，或利用|团-

|Z»||<|«±Z»|<|a|+族I,通过适当的添、拆项证明.

另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利

用一元二次方程的根的分布等方法来证明；

例3、设机等于同，依和1中最大的一个，当网>机时，求证：£+¥<2.

【提示】

【证明】

【说明】本题考皆借助三角不等式证明含绝对值的不等式；

1、将文字语言”等于⑷，步1,1中最大的一个"转化为符号语言“呜川，>n>\b\.论1”是证明本题的关键.

2、运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度.

例4、对任意xCR,求使不等式|x+l|+|x+2生机恒成立的根的取值范围.

【提示】

【说明】方法1：

【说明】本题考查了运用绝对值不等式求最值与范围；

1、本题也可利用绝对值的几何意义求解；

2.对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函

数最值；

例5、不等式|sinx+tanx|V。的解集为N；不等式|sinx|+|tanx|V。的解集为M,则解集M与N的关系是（）

A.NJMB.MWN

C.M=ND.MN

例6、若不等式|2〃-对一切非零实数1恒成立，则实数。的取值范围是（）

A.[-1,2]B.[1,2]

-13"|「3一

C.-2»2D.0,2

例7、已知p,q,且pqK）,灯0,则px+彳与入%的大小关系是

例8、设小b£R,且|〃+。+1区1,|〃+2。+4区4,求同+制的最大值.

从初中的绝对值、三角形到高中的向量，在这些看似无序无关的知识中，让学生直观感受实数绝对值三角不等

式|a+@w|a|+M|的若影若现，产生对新知识学习的渴望；在一个个问题的研究中，使学生的思维层次不断提升,

由从特殊值和几何图形的直观想象延伸到精准的逻辑推理证明；从大量的实际问题中，让学生提炼出绝对值三角不

等式的模型，并充分体会它的特征，并能充分的利用这些特征解决问题，突显它的价值和意义。

绝对值不等式|。±5区团+步I,从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，

也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变

形使其符合绝对值不等式的条件.

1、知识层面

定理（三角形不等式）：如果a2是实数，则|a+A|W同+可，注意取等的条件。

2、方法层面

综合法'分析法、放缩法、作差法等。

3、思想层面

分类讨论思想、对称思想'转化化归思想、数形结合思想等。

4、素养层面

数学抽象、数学建模、逻辑推理等。

绝对值三角不等式结构优美，构思巧妙，他的发现'证明'应用能够培养学生的探索、发现、推理能力，有着

良好的培养学生能力的机会；

1、已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是（）

A.\a-\-b\>\a-b\B.|a+b|<|a—

C.|〃一例<|同一|加D.|a一例<|a|十|例

2、"|x—且|y-是"|x—y,a,巾6町的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

3、设间<1,|目<1,则|a+M+|a—臼与2的大小关系是（）

A.\a+b\+\a-b\>2B.\a+b\+\a-b\<2

C.\a+b\+\a-b\=2D.不能比较大小

4、已知实数a,b满足必<0,则下列不等式成立的是（）

A.\a+b\>\a-b\B.\a+b\<\a-b\

C.,\a-b\<\\a\-\b\\D.\a-b\<\a\+\b\

5、|x+l|+|2一M的最小值是

6、已知同理叫，”=用谭，"=骷’，则必〃之间的大小关系是

【提示】利用绝对值三角不等式定理分别判定用，〃与1的大小.

7、若关于x的不等式|x—l|+|x+m|>5的解集为R,则实数〃?的取值范围是.

8、已知函数y（x）=|x—2|,g（x）=一|x+3|+m.若函数./U）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则机的取值范围是

9、若於）=f—x+c（为常数）,且仅一。|<1,求证：［/（%）一大砌〈2（同+1）.

inZZl/hilinziM~\b\M+\b\

10、已知同判例，"2=0_加'n=\a+b\f比较相，〃之间的大小;

【教师版】微专题对三角不等式的理解与应用

1、定理(三角不等式)：如果a、b是实数，那么国。|+|6；当且仅当"20时，等号成立。

2、推广

(1)如果4、b是实数，那么||a|+|。区|。土匕国。|+|北(由定理通过代换可以推得)；

(2)如果a、b、c是实数，那么|a—c|W|a-[+|。一。|,当且仅当(Q)(Q)20时，等号成立;

一、定理的多视角证明

1、定理(三角不等式)：如果。、力是实数，那么区+当且仅当，方20时，等号成立。

【提示】不妨从实数的性质，实数的绝对值的代数与几何意义；以及向量的模、复数的模的几何意义视角进行分析

与理解；

【证明】方法1：(1)当"N0时,则回，

再由|a+Z?|=J(a+Z?)2

=sla2+2ah+b2=+2|a"=J(|a|+网>=|a|+网，

(2)当而<0时,则必=一|"|,

再由|a+Z?|=J(a+Z?)2；

=&+2ab+b。=一2|曲+网?

il2

<y/\a\+2\ab\+\b\=yl(,\a\+\b\)=\a\+\b\

综合以上(1)、(2)|a+8区|a|+|〃|成立；当且仅当"20时，等号成立。

【证明】方法2：(比较法+不等式性质)由

(|。+4)2—刎+眇2=(a+Z?)2—刎+码了=a2+b2+2ab-a2—b1=2a/?_21aq当

时，明=a力，原式=2aZ>-2a6=0,即a+4=时+网

当a〃<0时j羽=-曲原式=2r活+2a/?=4"<0,艮胆+母<同+忖

综上所述：4a+折一刎+忖)2«0,即a+4«同+%且必20时取等号)

综合以上|a+。区|。|+|加成立；当且仅当出?N0时，等号成立。

【证明】方法3：(分析法)；两边平方(可以参照证法2)

【证明】方法4：(利用绝对值的几何意义)；探究\b\,|。+。|之间的关系.

①曲>0时，如下图，容易得：|a+b|=|a|+S|.

0~aa+ba+bb0

②必<0时，如下图，容易得：|a+b|<|a|+|b|；

ba+baxd6a+bbx

③而=0时，如下图，容易得：|。+6|=|〃|+|。|；

综上|。+力区|。|+|切成立；当且仅当，出20时，等号成立。

【证明】方法5：(从向量的模与复数的模视角理解)

定理(三角不等式)：如果。、人是实数，那么|。+8区］。|+|切；当且仅当出?20时，等号成立。

不等式中，用向量a,6分别替换实数a、b；

则当a,〃不共线时，由向量加法三角形法则：______________

.________a+b

向量a,A,。+匕构成三角形，因此，有|a+"W|a|+|Z?|(。、。同向时取等号)

定理的几何意义：完善后的定理，从形式来看具有三角形的两边之和大于第三边关系，因此有时把定理称为绝对值

三角不等式定理。

二、定理的理解与应用

例1、(1)设a、b为实数，求证：,+4+,一422时.

【提示】除了利用实数性质直接证明外，也可以考虑体验定理(三角不等式)或代换法证明；

【证明】因为2a=(a+»+(a—加，由三角不等式可得，

［2«|=|(4z+^)+(a-Z>)|<|«+Z>|+|a-^|,即|a+/?|4-|tz—Z?|>2|«|.；

其中，等号当且仅当(a+b)(a-8)20时，等号成立；

(2)设a、b为实数,求证：|a+q+|a—耳

【证明】因为a=(6+a)+S—a),由三角不等式可得，

|2Z?|=|(/>++(/>-«)|<|/?+«|+|Z>-a|=|a+/?|+|a-/?|,即|a+b|+|a_司N2Z?.；

其中，等号当且仅当(a+0)(a—1之0时，等号成立；

【说明】本题考查了教材要求的由等式代换结合三角不等式证明不等式；

例2、已知y（x）=/—2x+7,且|x—〃“<3,求证：［/（X）<6|/n|+15.

【提示】注意题设“结构”与三角不等式的关联，体验等式到不等式的过渡；

【证明】[A^)~f(m)I=|(x-/n)(x+—2)|

=|x—ff/Hx+z/j—2|<3|x+/n—2|

S3(|x|+|m|+2).

又|x-m|V3,

所以—3+，〃<xV3+，〃.

所以3(|r|+|m|+2)V3(3+|»i|+|ni|+2)

=6|/n|+15.

所以|/U)一人》01<6网+15.

【说明】本题考直了利用绝对值三角不等式证明不等式；两类含绝对值不等式问题的证明技巧；

一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转符号化为常见的不等式证明，或利用阿-

|Z»||<|«±&|<|fl|+步I,通过适当的添、拆项证明.

另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利

用一元二次方程的根的分布等方法来证明；

例3、设等于⑷，步|和1中最大的一个，当|邸>加时，求证：<2.

【提示】不管⑷，\b\,1的大小，总有m>|a|,m>\b\,m>\,

然后利用绝对值不等式的性质证明；

【证明】依题意"以"I，，〃2回，ni>\,

X|x|>m,|x|>|«|,|x|>l,从而|xF>网.

因此■+能用+慢

_回JL上

一|x|十月啕十照一2,

即I匕a,+对bI<2.

【说明】本题考查借助三角不等式证明含绝对值的不等式；

1、将文字语言等于⑷,161,1中最大的一个“转化为符号语言”"以al,>n>\b\,"之1”是证明本题的关键.

2、运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度.

例4、对任意xWR,求使不等式优+1|+仅+2伫加恒成立的小的取值范围.

【提示】令f=|x+l|+仅+2|,只需，〃3min.

【说明】方法1：对XCR,|r+1|+|x+2|>|(x+l)-(x+2)|=1,

当且仅当(x+l)(x+2)W0时，

即一20日—4时取等号.

，f=|x+l|+|x+2|的最小值为1,故鹏1.

•I实数，"的取值范围是(-00,1].

—（2r+3）,x<~2,

方法2：/=|r+l|+|x+2|="1>-2<x<—1,

,2x+3,x>—1.

.1,则f=|x+l|+|x+2|的最小值为1,故mSl.

因此实数”，的取值范围是（-8,1].

【说明】本题考直了运用绝对值不等式求最值与范围；

1、本题也可利用绝对值的几何意义求解；

2、对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函

数最值；

例5、不等式|sinx+tanx|<”的解集为N；不等式|sinx|+|tanx|V”的解集为M,则解集M与N的关系是（）

A.NUMB.MGN

C.M=ND.MN

【提示】注意题设结构与三角不等式的关联；

【答案】B；

【解析】由三角不等式，Wlsinx+tanx|<|sinx|+|tanx|,则MUM当aWO时，M=N=0）：

【说明】本题考查了三角不等式与三角、集合知识的交汇；

例6、若不等式|2〃一1区k+?对一切非零实数x恒成立，则实数”的取值范围是（）

A.[-1,2]B.[1,2]

r133

^---

—-2D.O,2

2?

【提示】注意将求”与三角不等式建立联系；

【答案】C；

【解析】因为x+;=团+船2、廨j=2,当且仅当仅|==，即x=±l时，等号成立，所以|20一1£2,解得一上

人阳YRIHl//

故选C；答案：C；

【说明】本题考查了三角不等式、基本不等式与恒成立问题的交汇；

例7、已知p,q,XSR,且pqK）,在0,则px+^与2标的大小关系是.

【答案】|px+案2标

【解析】当pq=O时，）2[而显然成立；

当pg>0时，p与夕同号，则px与;也同号，

*e*Ipx+f|=网+罔N2标.

综上知|px+：1

答案：卜2A病

例8、设a,6GR,且|a+6+l|Wl,|a+2Z>+4|<4»求同+|6|的最大值.

【解析】V|a+*+l|<l,|a+2Z>+4|<4,

.,.|a+i|=|(a+Z>4-l)-l|<|a+Z»-l|+|-l|=14-l=2,

|a-b|=|3(a+5+l)-2(a+2b+4)+5|

S3|a+b+l|+2|a+2b+4|+5

=3x1+2x4+5=16.

①当a处0时,|a|+|Z>|=|a+Z>|<2；

②当a*0时，则a(一m>0,

|a|+|Z>|=|a|+1-*|=|a+(-*)|=|a-*|<16.

由①②知，|a|+|Z>|<16.

而当a=8,b=-8时，

二满足|a+6+l|=L|a+2b+4|=4,且⑷+步|=16,

|Q|+网的最大值为16.

从初中的绝对值、三角形到高中的向量，在这些看似无序无关的知识中，让学生直观感受实数绝对值三角不等

式,+耳＜同+回的若影若现，产生对新知识学习的渴望；在一个个问题的研究中，使学生的思维层次不断提升,

由从特殊值和几何图形的直观想象延伸到精准的逻辑推理证明；从大量的实际问题中，让学生提炼出绝对值三角不

等式的模型，并充分体会它的特征，并能充分的利用这些特征解决问题，突显它的价值和意义。

绝对值不等式|a士"W|a|+步|,从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，

也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变

形使其符合绝对值不等式的条件.

1、知识层面

定理（三角形不等式）：如果。方是实数，则|a+b|W|a|+W，注意取等的条件。

2、方法层面

综合法'分析法'放缩法'作差法等。

3、思想层面

分类讨论思想'对称思想、转化化归思想、数形结合思想等。

4、素养层面

数学抽象、数学建模,逻辑推理等。

绝对值三角不等式结构优美，构思巧妙，他的发现、证明'应用能够培养学生的探索、发现、推理能力，有着

良好的培养学生能力的机会;

1、已知实数小。满足灿<0,则下列不等式成立的是()

A.\a+h\>\a-b\B.\a+h\<\a-h\

C.\a-b\<\\a\~\b\\D.\a-b\<\a\+\b\

【答案】B；

【解析】,：ab<0,：.\a-b\=\a\+\b\,

又|a+〃<|a|+步I，...la+blc⑷+网=|.一你答案：B

2、"|x-a|V/n且|y—是"|x—y|V2加'(x,y,a,心二口)的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

【答案】A；

【解析】V|x-a|</n,ly—a|<m,<*.|x—d|+ly—a|<2/n.

又a)—(y—a)区|x-a|+［y—a|,y|<2ffl.但反过来不一定成立，

如取x=3,y=l,a=~2,m=2.5,|3-l|<2x2.5,但|3一(一2)|>2.5,|l-(-2)|>2.5,

J.卜一y|V2,"不一定有|x—a|<”?且小一"1<m，故"|x-a|V»i且小一a|V/n"是"|x—y,a,»iGR)的充分

非必要条件.

答案：A

3、设⑷<1,|i|<l>则|a+b|+|a—臼与2的大小关系是()

A.\a-Vb\-\-\a-b\>2B.\a-\-b\A-\a-b\<2

C.\a+b\+\a-b\^2D.不能比较大小

【答案】B；

【解析】当(a+A)(a一万后0时，|a+b|+|a一句=|(a+6)+(a—A)|=2|a|<2,

当(a+b)3—B)vO时,|a+*|+|a-fe|=|(a+*)-(a-*)|=2|*|<2；答案:B

4、已知实数a,匕满足4<0,则下列不等式成立的是()

A.\a-\-b\>\a-b\B.\a-\-b\<.\a~b\

C.,|a-6|<||a|-|Z?||D.|a-fe|<|a|+\b\

【答案】B

【解析】'：ab<Q,.,.|a-&|=|a|+|M>|a+*|=||a|-|Z>||,故应选B.

5、|x+1|+|2—x|的最小值是.

【答案】3

【解析】•.,|x+l|+|2-x|>|(x+l)+(2-x)|=3,当且仅当(x+l)(2—%巨0,

即一1W烂2时，取等号.因此仅+1|+|2.一川的最小值为3.

6、已知间冉臼，相=呼一整，"」?上，，则〃?，"之间的大小关系是________.