2024版高考数学总复习7. 2 等比数列

2024版新高考新教材版高考总复习数学7.2等比数列

考点1等比数列及其前〃项和

1.（2023全国甲理,5）已知正项等比数列｛凡｝中，4=1,5.为｛4｝前八项和，S5=5$3-4,则=

（）

A7B.9C.15D.30

【答案】C

［解析］由题知］+q+q-+q''+q4=5^1++q-）-4,即q'+g«=4<7+^q1，即

/+q2-4^-4=0,

即（q-2）（q+l）（q+2）=0,由题知q>（）,所以g=2,所以5*=1+2+4+8=15,故选:c.

2.（2023天津，6）己知｛4｝为等比数列，Sn为数列I｛4｝的前n项和，an+］=2s“+2,则%的值

为（）

A.3B.18C.54I）.152

【答案】C

【解析】由题意可得：当〃=1时，。2=2弓+2,即44=2弓+2,①

当〃=2时，q=2（4+4）+2,即qq?=2（4+44）+2,②

联立①②可得q=2,q=3,贝（Jq=a"=54.故选：C

3.（2021全国甲文,9,5分）记£为等比数列｛m｝的前〃项和.若&=4,54=6,则56=（）

A.7B.8C.9D.10

答案A解题指导:思路一:直接利用求和公式解关于首项和公比两个基本量的方程组.思路二:根据等

比数列前”项和的性质（依次每"项和仍然成等比数列且5#0）求解.

解析解法一（基本量法）:设｛«,.）的首项为g,公比为g（的），

”1-妙）=4foz=1

则解得.;，

Ii-oi

.•.S6=-!Y^--=8X（1-i）=7,故选A.

解法二（利用等比数列前"项和的性质）:

由题意知Si,S4-S1,S6-S4成等比数列，

则(S4-S2)2=S2-(S6-S4),即(6-4)2=4(56-6),

解得56=7,故选A.

4.(2021全国甲理,7,5分)等比数列｛为｝的公比为g,前n项和为S”.设甲:g>0,乙:｛£｝是递增数列,则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案B当g=l,m<0时，等比数列｛a„｝的前"项和S,=〃m<0,可知｛$｝是单调递减数列，因此甲不是乙的

充分条件；

若5”｝是递增数列，则当n>2时,a,尸S“-Sz>0,即s/>0恒成立,而只有当m>0,,/>0时,小小>0恒成立,所

以可得q>0,因此甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选B.

方法总结:研究数列5“｝的单调性只需考虑S“>Sz或S”<S,x(e2)成立,不需讨论对任意,"CN*且non,有

S"<S/n或S">S,"恒成立.

5.(2022全国乙，理8,文10,5分)已知等比数列｛m｝的前3项和为168,S-45=42,则“6=()

A.14B.12C.6D.3

答案D解法一:设｛而｝的公比为g,

则卜2-«s=«i(<7-q4)=42,①

1%+做+。3=。1(1+q+Q2)=168,②

副导酷="黑*^(1-9)44#4妙1=0,即(2%1/=0,...汤，代入①得m=96,故

同5=96x5=3,故选D.

解法二:设数列｛为｝的公比为q、前〃项和为S〃.

由6/2-6/5=42,得"1.

由题意得卜=曾=16'①

(口2一劭=%q(i-q，=42,②

岩得北:)=4即4/-4#1=0,・二(2g-1)2=0,得行去代入①得ai=96,.\d6=aiq5=96x^=3,故选D.

2

6.(2013课标I文,6,5分)设首项为1,公比为§的等比数列｛a-J的前n项和为权,则()

A.Sn=2an-iB.Sn=3atl-2

=-

C.Sn=4-3anD.Sn32an

答案D因为a,=l,公比q=|,所以a,=(|)"T,S.』*W")=3[b(|)"」=3-2(|)'”'=3-2a“古嬷I).

7.(2013课标II理,3,5分)等比数列a｝的前n项和为S”已知S产az+lOa”&=9,则a,=()

1111

A.-B.-rC.rD.二

3399

答案C由已知条件及S产a,+&+a3得as=9a„设数列｛a.｝的公比为q,则q'=9.

4

所以a5=9=ai•q=81a,,得ai],故选C.

8.(2023北京，14,5分，中)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类

似于祛码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成

项数为9的数列｛斯｝,该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且

«|=1,05=12,49=192,则a7=；数列｛“"｝所有项的和为.

答案48;384

解析数列｛〃“｝共有9项，前3项成等差数列，设公差为d(d>0),后7项成等比数列，设公

比为q(q>l),则«2=1+d,«3=1+2d,as=ayq2=(1+2d)-q2=12©,a^ay^(1+2d)-q6=192(2),

由①②解得q=2,d=l,则

a7=a3.q4=3x24=48,ai+42+...+49=1+2+3+6+12+24+48+96+192=1+2+^^=384.

1—2

9.(2023全国甲文,13)记S„为等比数列｛4｝的前八项和.若8s$=7s3，则｛%｝的公比为.

【答案】」

2

【解析】若4=1，则由8s6=7$3得8・64=7・3q,则4=0,不合题意.

所以gwl,当4Hl时，因为8s6=7$3，所以~~，

\-q\-q

即8-(l-q6)=7.0-q3),即8.(1+/)0一/)=7.(1一/),即8.(1+/)=7,解得

1

q=—.

2

3

10.(2019课标I文,14,5分)记S”为等比数列｛a„｝的前n项和.若ai=l,S=->则S尸.

34--------

致Q杀宗-8

解析本题主要考查等比数列的有关概念;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.

设公比为q(q"O),

3

则S：)=ai+aa+as=l+q+qF,

解得q=»,

11.（2017课标HI理，14,5分）设等比数歹（］5｝满足为+2尸-1田飞=-3,贝%，=.

答案-8

解析本题考查等比数列的通项.

设等比数列｛a｝的公比为q,

1,

q--2,

.,.a^aiq^-S.

12.（2015课标I文，13,5分）在数列⑸｝中,ai=2,a„,l=2a,>S。为｛a,J的前n项和.若S„=126,贝！|n=.

解析由已知得｛a,J为等比数列，公比q=2,由首项a尸2,S,.=126得牛裂126‘解得2""=128,.5=6.

1一乙

评析本题主要考查等比数列的定义及前n项和公式,属容易题,注意运算要准确哦！

13.（2015湖南理,14,5分）设S“为等比数列｛aj的前n项和.若a,=l,且3S„2s“&成等差数列，则

222

解析设等比数列｛a..l的公比为q亿片0）,依题意得a2=a>•q=q,a3=a,q=q,SFa1=l,S2=l+q,S3=l+q+q.又

3Sb2sz,&成等差数列,所以4s2=3SI+S“即4（l+q）=3+l+q+q：所以q=3（q=0舍去）.所以—e=3-'.

14.（2013辽宁理,14,5分）已知等比数列｛a,J是递增数列,S.是｛&｝的前n项和.若a„a,是方程x2-5x+4=0的

两个根，则S产.

答案63

解析a„a：.是方程x!-5x+4=0的两个根且凡｝是递增数列，故&,=4,a=1,故公比q=2,S后驾匕豆=63.

i-q

评析本题考查了等比数列的求和公式.数列｛a.）递增是解题的关键，没考虑到q>0是失分的主因.

15.（2012课标文,14,5分）等比数列的前n项和为S,„若S3+3S2=0,则公比q=.

答案-2

2

解析由SS+3S2=0得4ai+4a2+a3=0,有4+4q+q=0,解得q=-2.

评析本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果.

16.(2020课标I理，17,12分)设｛小｝是公比不为1的等比数列,m为的等差中项.

⑴求｛涧的公比;

(2)若m=l,求数列｛na„｝的前n项和.

析⑴设｛4”｝的公比为q,由题设得2at=a2+a),即2at=aic/+a\ci2.

所以(r+q-2=0,解得印=1(舍去)，染=-2.

故｛为｝的公比为-2.

⑵记S”为痴“｝的前n项和.由⑴及题设可得,a„=(-2)

|

所以S„=l+2x(-2)+...+nx(-2)"-,

-2S.=-2+2x(-2)2+...+(n-l)x(-2)»-'+nx(-2)".

可得3S„=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)"T-”x(-2)"

L±212.„X(.2)".

=3

所以

99

17.(2020新高考I,18,12分)已知公比大于1的等比数列｛0｝满足磁+。4=20,G=8.

(1)求｛a,,｝的通项公式；

⑵记bm为｛m｝在区间(0,M(m€N")中的项的个数,求数处|｛尿｝的前KX)项和Sm

解析(1)设｛«»｝的公比为g.由题设得aq+a0=20,小/=8.

解得3=3舍去)，碓=2.由题设得s=2.

所以伍,｝的通项公式为““=2".

(2)由题设及⑴知加=0,且当2n<m<2'H',时,bm=n.

所以Sioo=fci+(岳+63)+(bA+bs+bi+bi)+...+(加2+历3+...+%3)+(664+加5+...+bioo)

=0+1X2+2X22+3X23+4X24+5X25+6X(100-63)

=480.

思路分析(1)设出公比g,由题设条件求得s和3利用等比数列的通项公式得出结果.

(2)由题设及(1)推导出心,再计算数列仿,“｝的前100项和，即先给，”赋值,推导出规律,再进行运算,得到Soo

的值.

18.(2022新高考”,17,10分)已知(«„)是等差数列，仍“｝是公比为2的等比数列,且-历=友-瓯

⑴证明：。1=方;

⑵求集合仅以=”,■+•,19E500｝中元素的个数.

解析(1)证明:设等差数列｛a,J的公差为d

由〃2-b2=〃3-%3得a1+d-2hi=ai+2d-4hi,故d=2b\t①

由〃3-b3=b4-Q4得〃i+24-44=8匕卜。i-3d,故2〃i+5d=12Z?i,②

由①②得2m+10bk12"，即a\=b\.

1<_1

(2)由⑴知d=2b\=2a\i由bk=a/n+a\,l</w<500得b\x2*-=2ai+(m-1)d,即aix2=2ai+2(m-1)6/1,其中m#),

/.2^,=2w,艮2人一2二用,.・・l<2*-2<500,A0</:-2<8,

A2<^<10.

故集合｛耳尿=4m+0,IS%500｝中元素个数为9个.

18.(2018课标I文,17,12分)已知数列｛a｝满足ai=l,n备”列(n+l)&.设&二空

n

(I)求bi,bz,b3;

⑵判断数列｛bJ是不是等比数列,并说明理由；

⑶求｛a｝的通项公式.

解析⑴由条件可得a”尸迎里L

n

将n=l代入得,a2=4ab而a^l,所以a>=4.

将n=2代入得,④=3a2,所以a：1=12.

从而bi=l,b?=2,b5=4.

(2)｛bu｝是首项为1,公比为2的等比数列.

由条件可得猾=?,即b,,,,=2b,„

又b,=l,所以｛b,｝是首项为1,公比为2的等比数列.

(3)由⑵可得%=27所以a„=n«2»".

n

方法规律等比数列的判定方法：

证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,通项公式法及前n项和公式法只用于选择题、填空题中

的判定.若证明某数列不是等比数列,则只需证明存在连续三项不成等比数列即可.

19.(2014课标n理，17,12分)已知数列｛aj满足a,=l,a„.i=3a„+l.

⑴证明&“+夕是等比数列,并求E｝的通项公式；

⑵证明1上1口…U1弓3

Q1Q22

a1+=3a+

解析(1)由anH=3an+l得-^(n1)-

又为《典,所以｛“+m是首项为公比为3的等比数列.

13九3九一1

an+^--,因此｛aj的通项公式为a,-——.

17

(2)由(1)知屋=3n_[

因为当n21时,3"T22x3"所以三三W及点不

于是23,总在畤…,号a-^)4

E”111,3

所以—a_a^.一aq，

l2n2

评析本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题，放缩求和是本题的难点.

20.(2011课标文,17,12分)已知等比数列(a„)中,a公比q=1.

⑴S为⑸｝的前n项和,证明:S产空;

⑵设bn二log3a】+log3a2+...+log3an,求数列｛bn｝的通项公式.

解析⑴因为a,=xG)"T舞二呼学

所以Su=l｝：

(2)bn=log3ai+log3a2+...+log3an

=-(八l+2c+...+n、)=-九--(几--+1).

所以｛廉的通项公式为b,,=-"罗.

评析本题考查等差数列、等比数列的基础知识,对数运算性质，要求考生有较清晰的推理思路和运算目标,

但难度并不大.属中档题.

21.(2016课标m理，17,12分)已知数列5｝的前n项和S.Fl+Xa..,其中入X0.

⑴证明⑸｝是等比数列,并求其通项公式；

⑵若S5言31，求A.

解析⑴由题意得a户Si=l+入a”

故人aiWO.(2分)

由Sn=l+Aa,,Sn)=l+入①“得a““二人a,”-入a,：,即(X-l)=Aa.由aHO,入WO得a,H0,所以&二二7.

(na

n"1

因此应｝是首项为a，公比为言的等比数列，于是a产白（言）”：（6分）

⑵由⑴得SE-（含

由s碟得卜（含丫■即（£）W

解得人=-1.（12分）

思路分析⑴先由题设利用a.“=S”「S“得到a,,“与a”的关系式,要证数列是等比数列,关键是看a.与a“之比

是否为一常数,其中说明a.,^0是非常重要的.（2）利用第⑴问的结论解方程求出入

考点2等比数列的性质及应用

1.（2023课标［I,8）记S“为等比数列｛4｝的前〃项和，若S4=—5,S6=2152,则$8=（）.

A.120B.85C,-85I）.-120

【答案】C

【解析】方法一：设等比数列｛。“｝的公比为4,首项为q,

若＜7=1,则§6=6q=3x24=352,与题意不符，所以乡工1;

由S4=-5,S6=2电可得，%（1-力=一5，业dl=21x业©①，

］一q1-q］一夕

由①可得，1+/+/=21,解得：42=4,

4

所以ss=-lx----L=-----LX（1+^）=-5X（1+16）=-85.

故选：C.

方法二：设等比数列｛4｝的公比为q,

因为S4=-5,56=2电，所以六一1,否则54=0,

从而，52,54—邑，56—54,58-1成等比数列，

）5

所以有，（-5-S2y=S2（21S2+5），解得：52=一1或邑二］，

当S?=—1时，52,S4—S2,S6—S4,S8—S6,即为一1,一4,一16,S8+21,

易知，S8+21=-64,gp58=-85；

当邑=1时,邑=4+/+%+%=(4+Q2)(l+/)=(l+q2)S2>0,

与$4=-5矛盾，舍去.故选：c.

2.(2018浙江10,4分)已知ai,a2,a3,a成等比数列,且ai+az+as+a产In(ai+a2+a3),若aDl,则()

A.aKa3,a2B.ai>3s,a2〈ai

C.ai<a3,a2>aiD.ai>aj,a2M

答案B本题考查等比数列的概念和性质，利用导数求函数的单调性和最值，不等式的性质和分类讨论思

想.

设f(x)=lnx-x(x〉0),则f'(x)=L=^A

XX

令f’(x)>0,得0<x<l,令f'(x)<0,得x>l,

・•・f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+8)上为减函数，

」.f(x)Wf(1)=T,即有InxWxT.

+

从而ai+a2a3+a.l=ln(ai+a2+a3)Wai+az+aaT,

・・a<0,又a>l,.•.公比q<0.

若q=-l,则ai+a2+a3+at=0,In(ai+a2+a3)=lnai>0,矛盾.

+1232

若q<-l,则ai+a2+a3a4=ai(l+q+q+q)=at(1+q)(1+q)<0,而a2+a3=a2(1+q)=aiq(1+q)>0,/.ln(aj+a2+a3)>lnai>0,

也矛盾.「「KqVO.

从而恐"q幻，.「a】>0,「.aOa：,.

«1

同理,=q、l,a2<0,」a>a2.选B.

思路分析(1)由题中的选项可知要判断还是q2>l.

(2)由条件可知要利用不等式Inx^x-1(x>0),得aXO,进而得q<0.

⑶直接求q的取值范围较难,转化为判断q=-l和q<-l时,等式a.+a^+aFln(a.+a^)^.右两边的正负,

进而得出矛盾,从而得l〈q〈0.

⑷注意山>0,而a2<0,利用-1<q<0得结论.

3.(2015课标n文,9,5分)已知等比数列｛a』满足ag,a3a5=4(a「l)，则a2=()

4

11

A.2B.1C.-D."

28

答案C设｛aj的公比为q,由等比数列的性质可知aa二或/.aH(a-l),即(a「2)三0,得a尸2,

贝!1q必4=8,得q=2,

11

贝！Ja产a1q=]x2=5,故选C.

4.(2014大纲全国文,8,5分)设等比数列｛"｝的前n项和为S„.若S2=3,S,=15,则S6=()

A.31B.32C.63D.64

2

答案C由等比数列的性质得⑸S)\•(S「S),即12=3X(S6-15),解得&=63.故选C.

5.(2012课标理,5,5分)已知｛aj为等比数列,a(+a；=2,asa6=-8,则ai+ai<!=()

A.7B.5C.-5D.-7

3

答案D由asa6=aia7,得a,a；=-8,又a<+a]=2,J.a,=4,a；=~2或a(=-2,ar=4,或q=-2.

当心-g时,ai+a*=与+a,q'=fi+4x(-=-7,当q"=-2时,ai+a«产与+a"q"=71+(-2)•(-2)'=-7,故选D.

q-2q

评析本题考查了等比数列的基本运算,运用等比数列的性质可简化计算.

6.(2023全国乙理，15)已知｛4｝为等比数列，a2a4a5=43a6，4Mo=-8,则a7=

【答案】-2

【解析】设｛%｝的公比为4(qw0)，则a2a4a5=%4二生。,%"，显然

22

则a4=q,即ad=q,则qq=1，因为/。“)=-8,则•ad=-g，

则g”=(g5)3=-8=(_2)3,则/=一2,则％==如=一2,

7.(2014江苏理,7,5分)在各项均为正数的等比数列｛a..i中，若a2=l,a8=a6+2a.„则&的值是.

答案4

解析由a式&+2a«,两边都除以a.i,得q-q2+2,即q'-qTRo(q--2)(q2+l)=0,/.q2=2.

•「22=1,.'."6=a?q'=1x2-4.

8.(2014广东文,13,5分)等比数列｛a,.)的各项均为正数,且两比=4,则

1og2aj+1og2a2+1og2a计1og2a..+log疝=.

答案5

解析由等比数列的性质知七出二a2a尸*=4=&尸2,所以

1og2a)+1og2a2+1og2a3+1og2a.i+log2as=1og2(a©2a3&.禽)=1og2f4=51og22=5.

7.2等比数列

五年高考

考点1等比数列及其前n项和

1.（2023全国甲理,5,5分，中）设等比数列｛an｝的各项均为正数，前n项和为Sn,若ai=l,Ss=5S3-4,贝US4=（）

A.导B.翳C.I5D.40

答案C

2.（2023天津,6,5分，中）已知｛a0｝为等比数歹iJ,S”为数列｛a0｝的前n项和,a“+i=2Sn+2,则a4的值为（）

A.3B.18C.54D.152

答案C

3.（2020课标II文,6,5分，中）记S,,为等比数列｛an｝的前n项和.若a5-a3=12,a6-a『24,则号=（）

an

A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.2,n-1

答案B

4.（2020课标I文,10,5分，中）设｛an｝是等比数列，且ai+a2+aj=I,a2+a?+a4=2,WJa6+a7+as=（）

A.12B.24C.30D.32

答案D

5.（2022全国乙，文10,理8,5分，中）已知等比数列｛a„｝的前3项和为168M处=42,则a6=（）

A.14B.12C.6D.3

答案D

6.（2020课标II理,6,5分，中）数列｛an｝中,ai=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+...+ak-io=215-25,Ji!iJk=（）

A.2B.3C.4D.5

答案C

7.（2019课标HI理,5,5分，中）已知各项均为正数的等比数列｛a„｝的前4项和为15,且as=3a3+4ai,则as=（）

A.16B.8C.4D.2

答案C

8.（2023全国甲文,13,5分，易）记Sn为等比数列｛a“｝的前n项和.若8s6=7S3,则｛a„｝的公比为.

答案4

9.（2019课标I理,14,5分，中）记Sn为等比数列｛an｝的前n项和.若ai=^,aj=a6,则Ss=.

答案苧

10.（2020课标III文,17,12分，中）设等比数列｛an｝满足ai+a2=4,a3-ai=8.

（1）求｛an｝的通项公式；

（2）记Sn为数列｛10g3a«｝的前n项和.若Sm+Sn壮尸S.3,求m.

n1

解析⑴设⑶｝的公比为q,则an=aiq'.

由己知得｛：][，解得ai=l,q=3.

所以｛an｝的通项公式为a„=3n-1.

(2)由(1)知log3ali=n-l.故ST(罗.

由Sm+Sm+i=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),

即m2-5m-6=0解得m=-1(舍去)或m=6.

11.(2022新高考H,17,10分，中)已知⑶｝是等差数列,｛bn｝是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4.

(1)证明:a尸bi；

(2)求集合｛k|bk=am+ablWmW500｝中元素的个数.

解析(1)证明:设等差数列⑶｝的公差为d.

由az-b2=a3-b3得ai+d-2bl=ai+2d-4bi,故d=2bi,①

由33-b3=b4-a4ai+2d-4bi=8bi-ai-3d,

故2ai+5d=12bi,②

由①②得2ai+10bi=12bi,BPai=bi.

(2)由(1)知d=2bi=2ai,由bk=am+ai,l<m<500Wbix2k*,=2ai+(m-l)d,BPa〔x2k/=2ai+2(m・l)ai,其中ai和,，2k」=2m,

BP2k-2=m，•二l<2k-2<500,.\0<k-2<8,

.,.2<k<10.

故集合｛k|bk=am+ai,l<m<500｝中元素的个数为9.

12.(2020新高考I,H』8,12分，中)已知公比大于1的等比数列｛an｝满足a2+a4=20,a3=8.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)(新高考I)记人为小｝在区间(0,m](m£N*)中的项的个数，求数列｛bm｝的前100项和S.oo.

(新高考II)求aiaz-a2a3+…+(-1产anan+i.

解析⑴已知数列｛a„｝是公比大于1的等比数列，设公比为q(q>D,依题意有=2°，解得ai=2,q=2

或S1含舄(舍)(注意:不要忽略公比大于1这一条件)，

所以ay2%所以数列｛a„｝的通项公式为an=2".(5分)

(2)(新高考I)由于25,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,2』28,所以bi对应的区间为(0,1],则bi=0;

b2,b3对应的区间分别为(0,2],(0,3],则b2Hb3=1,

即有2个1;

2

b4,b5,b6,b7对应的区间分别为(0,4],(0,5),(0,6],(0,7],则b4=bs=b6=b7=2,即有2个2;

bs,b9，…,55对应的区间分别为(0,8],(0,9],...,(0,15],则bs=12..=bi5=3,即有23个3;

b!6,bi7，…,b3i对应的区间分别为(0,16],(0,17],…,(0,31],则b方bi产…=bji=4,即有24个4:

b32,b33,…,b63对应的区间分别为(0,32],(0,33],…,(0,63],则卜2+3=...=1>63=5,即有25个5;

b64,b65,...,bioo对应的区间分别为(0,64],(0,65],...,(0,100],则b64=b6s=...=bioo=6,即有37个6.

所以Sioo=lx2+2x22+3x23+4x2i,+5x25+6x37=48O.(12分)

高II)aia?-a2a?+…+(-l)""anan*i

=233+27-29+...+(-1严-22n口士2?1

Ay2n+3

分)

考点2等比数列的性质及应用

1.(2023新课标II,8,5分冲)记S„为等比数列｛a,,｝的前n项和，若S4=-5,S6=21Sz,则Ss=()

A.120B.85C.-85D.-120

答案C

2.(2021全国甲文,9,5分，中)记S”为等比数列｛an｝的前n项和.若Sz=4,S4=6,则Ss=()

A.7B.8C.9D.I0

答案A

3.(2021全国甲理,7,5分，中)等比数列⑶｝的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:｛S1｝是递增数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案B

4.(2023全国乙理,15,5分，中)已知｛a.｝为等比数列,a234as=a3a6,a9aio=-8,则a?=.

答案-2

三年模拟

一、单项选择题

1.（2022广东汕头一模,4,易）已知各项均为正数的等比数列｛ad的前4项和为15,4ai,2a3,as成等差数歹I,则

ai=（）

A.5V2-5B.5V2+SC.5V2D.5

答案A

2.新角度（2023湖北四调,4,中）已知数列｛an｝是等差数歹iJ,数列｛b“｝是等比数列，若a2+a4+a«=57thb4b『3遍,则

13n士+工。7=（,、）

A.V3B.—V3C里。,-苧

答案A

3.（2022河北廊坊省级示范性高中联合体第一次联考,4,中）已知S”为等比数列⑶｝的前n项和,且公比q>l,则

“as>ai"是"4>0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

4.数学文化（2023湖北十堰二模,7,中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列

数:1,1,2,3,5,8,13,21,.…该数列的特点为前两个数都是1,从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，即

an+an+尸刖+2,人们把这样的一列数组成的数列｛刖｝称为“斐波那契数列”，则（aia3-谜）侬皿■送）（a3a5-砧）…⑶

022a2024-谖023）=（）

A.-2024B.2024C.-lD.I

答案C

二、多项选择题

5.（2023福建厦门、福州等市质检一,9,中）记正项等比数列｛an｝的前n项和为Sn,则下列数列为等比数列的有

（）

A.｛an+i+an｝B.｛an+ian｝

C.晓｝D.｛SnSn+l）

答案AB

6.（2021山东济南一模,11,中）1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线，如图，取一个边长为1的正三角形，在每

个边上以中间的/为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的/擦掉,得到第2个图形，重复上面

的步骤，得到第3个图形.这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线.云层的边缘，山脉的轮廓，海

岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”.下列说法正确的

是（）

A.第4个图形的边长为焉

B.记第n个图形的边数为an,则an+1=4a„

C.记第n个图形的周长为bn,则b„=3（5）nl

D.记第n个图形的面积为Sn,则对任意的nWN*,存在正实数M,使得S„<M

答案BCD

三、填空题

7.（2023广东二模,13,易）已知公比大于1的等比数列｛an｝满足22+23=12,34=16,则出｝的公比q=.

答案2

8.（2022上海虹口二模,9,易）已知等比数列⑶｝的前n项和为Sn,公比q>l,且az+l为ai与as的等差中项,S3=14.

若数列｛bn｝满足bn=log2an,其前n项和为Tn,则Tn=.

答案矶法1）

四、解答题

9.新设问（2023江苏南通等七市三模,18,中）已知数列｛an｝满足ai=l,a2=5,an+2=5an/6an.

⑴证明:｛an+i-2a”是等比数列；

（2）证明:存在两个等比数列｛bn｝,｛Cn｝,使得an=bn+Cn成立.

证明(1)*/an+2=5ann-6an,

••an+2-23n+l=53n+l-6an-2an+l,

••an+2-2an-i=3an+i_6an=3(an+i-2an),

显然an+i-2an=0与ai=l,a2=5矛盾,；・an+i-2an/),

：・窖貌〜.•数列„｝是首项为皿内2=3,公比为3的等比数列.

(2)♦3n+2=5an+l-63n,••3n+2-3an+l=5an+l_6an-33n+l,

••an+2-3an+i=2an+i-6an=2(an+i-3an),

显然an+i-3an=0与ai=l,a2=5矛盾,

...赞聋丹2,...数列｛aa-3an｝是首项为a2-3ai=5-3=2,公比为2的等比数列,.■田-3@产211,①

an+1-5an

又由(1),知ae-2an=3n,②

②-①得,an=3L2n,

存在两个等比数列｛bn｝,｛Cn｝,使得a„=b„+Cn成立.

10.(2023山东青岛一模,18,中)已知等差数列｛a„｝的前n项和为S”,公差d^0,S2,S4,Ss+4成等差数列,