二次函数课件北师大版数学九年级下册

2.1二次函数第二章二次函数1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x

是自变量)(4)y=kx

+

1；

(5)y2

=x；(6)y=2x+1.不是，是反比例函数.不是，x最高次数是二次.不一定是，缺少

k

≠0

的条件.不是，函数是每个唯一的

x都有唯一对应的

y值.y=kx+b(k≠0)；问题1：某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？二次函数的定义1(2)假设果园增种

x

棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为

y个，那么请你写出

y与

x之间的关系式.果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子.

y=(100+

x)(600

-

5x)=-5x²+

100x+

60000.对于

x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即

y是

x

的函数.这个关系式是函数关系式吗？做一做银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.一年后本息年利率

x

100(1+x)100(1+x)2再过一年后本息年利率

x

存款额是

100分析：两年后答：y

=

100x2+200x+100.

y

是

x

的函数想一想(1)两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗?y=x(20-

x)=-x2+20x(2)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2

吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?S=x(20-

x)=-x2+20x当

S=100时，-x2+20x

=100.设矩形的其中一边长为

x，面积为

S.解得x

=10.当

S=75时，-x2+20x

=75.解得x1

=5，x2=15.同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结.问题1~3中函数关系式有什么共同点?温馨提示：类比一次函数

y=kx+b(k≠0)的特征.合作探究y=-5x²+

100x+

60000y

=

100x2+200x+100y=-x2+20x二次函数的定义：a为二次项系数，ax2

叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项.一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称

y是x的二次函数.知识要点同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？例1

下列函数中哪些是二次函数?为什么?(x

是自变量)①y

=

(x

+

3)²

−

x²；②

y=

3

−

2x²；

③

y

=

x2

；④；⑤

y=x²+x³+25；

⑥y

=

ax2

+

bx

+

c.不一定是，缺少

a≠0

的条件.不是，等式右边是分式.不是，x

的最高次数是

3.典例精析y

=

6x

+

9方法归纳(1)将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式；(2)a，b，c

为常数，且

a≠0；(3)等号左边是因变量

y，右边是关于自变量

x

的整式；(4)等式的右边自变量的最高次数为

2.判断一个函数是否为二次函数的步骤：归纳总结

y

=

x2

y

=

-5x²+

100x+

60000

y

=

ax²

+

bx

+

c

(a≠0)

y=

3

−

2x²

y

=

ax²

+

c

(a≠0)

y

=

ax²

(a≠0)

y

=

ax²

+

bx

(a≠0)y

=

x(20-

x)

b

=0

c

=0

b

=0，c

=0二次函数的一般形式：特殊形式成立条件函数解析式合作探究链接中考1.(西湖区月考)已知(m

为常数)，根据下列条件求

m的值：(1)y

是

x的一次函数；

(2)y

是

x的二次函数；∴m=1.(2)y

是

x的二次函数，只须

m2-

m≠0.∴m≠1且

m≠0.解：(1)由题意得问题：上述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？①

y=-5x²+100x+60000②

y

=

100x2+200x+100

①∵600-5x＞0，x≥0，∴0≤x＜120，且

x为整数.②

x＞0.③∵20-x＞0，∴0＜x＜20.③y=-x2+20x2二次函数的自变量取值范围二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.例3一个正方形的边长是

12

cm，若从中挖去一个长为

2x

cm，宽为

(x

+1)

cm的小长方形．剩余部分的面积为

y

cm2.

写出

y

与

x

之间的函数关系式，并指出

y

是

x

的什么函数？解：由题意得y＝122－2x(x+1)，又∵x+1<2x≤12，∴1<x≤6，即

y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)，∴

y

是

x

的二次函数.分析：本题中的数量关系是：剩余面积=正方形面积-长方形面积.列二次函数关系式3二次函数定义y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常数)一般形式右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a≠0.特殊形式y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a≠0，a,b,c是常数).2.已知函数y=3x2m-1－5①当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；②当m=＿＿时，y是关于x的二次函数.11.(武汉)下列函数中，是二次函数的是()A.y

=8x2

+1B.y

=8x

+1D.A3.矩形的周长为16cm，