江西省赣州市2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

江西省赣州市2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷（解析

版）

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.（3分）2023年9月23日晚，杭州第19届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行.在会

徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届亚运会会徽图

2.（3分）己知点P（3,-1）关于y轴的对称点。的坐标是（）

A.(-3,-1)B.(3,1)C.(-3,1)D.(-1,3)

3.（3分）一定能确定△ABC丝的条件是（）

A.AB=DE,NB=NEB.NA=NE,AB=EF,NB=ND

C.AB=DE,BC=EF,ZA=ZDD.ZA=ZD,NB=NE,NC=NF

4.(3分)在下列条件：①NA：ZB：ZC=5：3：2；②/A=90°-ZB；③/A=N8=

工/C中.能确定aABC是直角三角形的条件有（）

2

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.（3分）如图，RtZXABC中，ZC=90°,利用尺规在8C,上分别截取BE,BD,使

BE=BD；分别以。，E为圆心、以大于」的长为半径作弧，两弧在/CBA内交于点

2

尸;作射线B尸交AC于点G.若AC=3,BC=4,AB=5,P为AB上一动点，则GP的

最小值为（）

C

G

APD1B

A.2B.AC.§D.$

2334

6.（3分）近年来，亲近自然的露营正成为越来越多的年轻人的出游选择，而倡导精致露营

的帐篷酒店也是备受追捧.如图1是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图2所示，若AB

//CD,BE//FG,ED//HI,Z1=Z2=Z3=Z4=Z5=Z6,则NE■的度数为（）

即

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.（3分）如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理

8.（3分）如图，是△ABC的中线，OE是△ABO的中线，如果%4灰?=24°加2,plljSAADE

cm2.

ADLBD,垂足分别是C、D,若要用“HL”得到RtA/lBC^

Rt^BAD,则你添加的条件是.（写一种即可）

D

10.（3分）如图，在△ABC中，BC^Wcrn,AB的垂直平分线交BC于交A3于E,AC

的垂直平分线交BC于N,交AC于F,则的周长为cm.

11.（3分）如图，已知/MON=30°，点41,A2,加，…在射线ON上，点Bi,Bi,&,…

在射线OM上，/XA\B\Ai,^AIB2A3,ZVI383A4,…均为等边三角形，若04=2,则4

12.（3分）当三角形中一个内角a是另一个内角0的2倍时，则称此三角形为“倍角三角

形”，其中角a称为“倍角若“倍角三角形”中有一个内角为30°,则这个“倍角三

角形”的“倍角”的度数可以是.

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.（6分）如图，AB=AE,BC=DE,求证：AC=AD.

14.（6分）某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表:

规格/加123456

价格/（元/根）101520253035

学校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经购买两根长度分别为2巾和5m的钢管，还需

要购买一根.

（1）有哪几种规格的钢管可供选择？

（2）若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成三角形支架一共需要花多少钱购买

钢管？

15.（6分）如图，点A,D,C,F在同一条直线上，AB=DE,BC=EF.有下列三个条件：

①AC=£>F,©ZABC^ZDEF,③NACB=NDFE.

（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC丝△OEF.

你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△A8C

丝△OEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“A4S”）；

（2）利用（1）的结论△ABC丝求证：AB//DE.

16.（6分）如图，△ABC中，AQ平分NBAC,P为延长线上一点，PELBC于E,已

知/ACB=80。，NB=24°,求/P的度数.

17.（6分）如图是正六边形ABCDEF,请你分别用两种不同的方法画出它的一条对称轴（画

图仅限用无刻度的直尺，保留作图痕迹）.

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.（8分）如图，4、B两点分别在射线OM,ON上，点C在NMON的内部，且AC=BC,

CDLOM,CELON,垂足分别为Q,E,且AO=BE.

(1)求证：0c平分/MCW；

(2)若AO=3,B0=4,求40的长.

19.（8分）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53《数学活动》中有这样一段描述：

如图1,四边形ABC。中，AD=CD,AB=CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形

叫做“筝形

（1）试猜想筝形A8C。的对角线4c与8。有什么位置关系？并证明你的猜想；

（2）你知道筝形A8C。还有哪些性质吗？请写出两条正确的结论；

（3）如图2,过点。作交5c于点E,若8c=10,C£=4,求DE的长.

图1图2

20.（8分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是I的正方形）中完成下列各题：（用直

尺画图）

（1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△4B1C1；

（2）求出△4BC的面积；

（3）在上画出点P,使△PBC的周长最小；

（4）在。E上找一点M,使值最大.

E

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21.（9分）我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接

点，如图1,。就是拼接点.我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为360°

（注：若不能等于360°,则不能镶嵌）.

（1）如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌

的是.（填序号）

①正三角形

②正方形

③正五边形

④正六边形

（2）为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，

如图2,正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有3个正三角形和2个正方

形.

①如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正

三角形和几个正六边形；

②我们也可以用边长相同的正五边形和正边形进行镶嵌.

22.（9分）如图，在△A8C中，A8=AC=2,NB=40°,点。在线段8c上运动（点。

不与点8、C重合），连接AD,作NADE=40°,DE交线段AC于点E.

（1）当/BZM=115°时，NEDC=°,ZAED=°；

（2）线段QC的长度为何值时，△ABO四△OCE,请说明理由；

（3）在点。的运动过程中，△AOE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求/8D4的

度数；若不可以，请说明理由.

六、解答题（本大题共12分）

23.（12分）（1）如图1,将△4BC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形48OE内点C的位

置.

①若/1=20°,N2=50°,则/C=；

②探索NC、/I与/2之间的数量关系，并说明理由.

（2）如图2,将△ABC纸片沿OE折叠，使点C落在△ABC边AC上方点。的位置，探

索NC、N1与/2之间的数量关系，并说明理由.

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.（3分）2023年9月23日晚，杭州第19届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行.在会

徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届亚运会会徽图

案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形的概念解答即可.

【解答】解：A,B,。选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直

线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，所以是轴对称图形.

故选：C.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

2.（3分）已知点P（3,-1）关于y轴的对称点。的坐标是（）

A.（-3,-1）B.（3,1）C.（-3,1）D.（-1,3）

【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案.

【解答】解：•••点P（3,-1）与点Q关于y轴对称，

.•.点。的坐标为（-3,-1）.

故选：A.

【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律.

3.（3分）一定能确定△ABC之△QEF的条件是（)

A.ZA=Z£>,AB=DE,NB=NEB.ZA=ZE,AB=EF,NB=ND

C.AB=DE,BC=EF,=D.ZA^ZD,NB=NE,NC=NF

【分析】全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,看看每个选项是否符合定理

即可.

A、根据ASA即可推出△ABC丝△£>£旧故本选项正确；

B、根据乙4=NE,NB=/D,才能推出△ABC四△OEF,故本选项错误；

C、根据BC=EF,NB=N£'才能推出故本选项错误；

D、根据AA4不能推出△A8C丝△OEF,故本选项错误；

故选：A.

【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有

SAS,ASA,AAS,SSS.

4.（3分）在下列条件：①NA：NB：ZC=5：3：2；②NA=90°-ZB；®ZA=ZB=

工/C中.能确定△ABC是直角三角形的条件有（）

2

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案.

【解答】解：①因为NA：NB：ZC=5：3：2,设乙4=5x,ZB=3x,ZC=2x,则5x+3x+2x

=180,x=18°,ZA=18°X5=90°,所以△ABC是直角三角形；

②因为/A=90°-N8,所以NA+/B=90°,则/C=180°-90°=90°,所以△4股7

是直角三角形；

③因为NA=NB=』NC,所以NA+/B+/C=2NC+2/C+NC=180°,则NC=

222

90°,所以△ABC是直角三角形.

所以能确定AABC是直角三角形的有①②③共3个，

故选：D.

【点评】本题主要考查直角三角形的判定，解答此题要用到三角形的内角和为180。，若

有一个内角为90°,则△ABC是直角三角形.

5.（3分）如图，RtZXABC中，ZC=90°,利用尺规在8C,84上分别截取BE,BD,使

BE=BD；分别以Q,E为圆心、以大于工。E的长为半径作弧，两弧在/CBA内交于点

2

F;作射线BF交AC于点G.若AC=3,BC=4,AB=5,P为AB上一动点，则GP的

最小值为（）

【分析】过点G作GHLAB于点H.证明GH=GC,利用面积法求出GH即可.

【解答】解：如图，过点G作GHLA8于点H.

VZACfi=90°,AC=3,BC=4,AB=5,

由作图过程可知：BG平分NABC,GCLBC,GHLAB,

：.GH=GC,

设GH=GC=x,则有■1X5・X+JLX4・X=JLX4X3,

222

•,一4

3

3

为AB上一动点，

则GP的最小值为刍，

3

故选：B.

【点评】本题考查了作图-基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了角平分线的

性质.

6.（3分）近年来，亲近自然的露营正成为越来越多的年轻人的出游选择，而倡导精致露营

的帐篷酒店也是备受追捧.如图1是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图2所示，若

//CD,BE//FG,ED//HI,Nl=/2=N3=N4=/5=/6,则NE的度数为（）

E

【分析】在BA的延长线上取一点P,过点尸作PKLBA于P,PK交DC的延长线于K,

分别延长FG,/H交于点M则NP=/K=90°,由八边形以FGH/CK的内角和得：6

N1+NP+NK=(8-2)X180°,由此可求出Nl=150°,则N3=/4=150°,然后

利用平角的定义得NNGH=30°,NHHG=30°,进而由三角形的内角和定理得NN=

120°,最后再根据平行线的性质得NE=NM由此可得出答案.

【解答】解：在BA的延长线上取一点P,过点尸作PK1_54于尸，PK交。C的延长线

于K,分别延长尸G,交于点N,如图:

.•.NP=NK=90°,

多边形PAFGH1CK为八边形，且/1=/2=/3=N4=N5=N6,

由多边形的内角和定理得：6/l+NP+/K=(8-2)X180°,

A6Z1+900+90°=1080°,

解得：Zl=150°,

.•./3=/4=150°,

...NNGH=180°-/3=30°,/HHG=180°-/4=30°,

，NN=180°-(NNGHMHHG)=180°-(30°+30°)=120°,

■:BE//FG,ED//HI,

.•.NE=/N=120°.

故选：A.

【点评】此题主要考查了多边形的内角和定理，三角形的内角和定理，平行线的性质，

解决问题的关键是熟练掌握多边形的内角和定理，理解如果一个角的两边分别平行于另

一个角的两边，那么这两个角相等或互补.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.（3分）如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是二

【解答】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形具有稳定性，

故答案为：三角形具有稳定性.

【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的内容.

8.（3分）如图，AO是△ABC的中线，OE是的中线，如果SAABC=24C〃P,piijSAADE

=6cm1.

【分析】根据AO是△ABC的中线可先求到SMBD的值，再根据。E是△48。的中线即

可求到S/、A£>E的值.

2

【解答】解：是△ABC的中线，SAABC=24C/M,

12

SMBD=—SMBC=\2cm,

2

是△AB。的中线，

12

/.S^ADE=—SMBD—6cm.

2

故答案为：6.

【点评】本题考查的是中线的相关知识，中线将三角形的面积分为相等的两部分.

9.（3分）如图，ACVBC,ADYBD,垂足分别是C、D,若要用“应”得至URtZ\A8C安

Rt^BAD,则你添加的条件是4c=8〃.（写一种即可）

【分析】根据“HL”添加AC=B。或8C=AZ）均可.

【解答】解：可添加AC=BD,

"：AC.LBC,AD1BD,

：.ZC=ZD=90°,

在RtAABC和Rt/\BAD中，

"IAC=BD'

.".RtAABC^RtABAD（HD,

故答案为：AC—BD.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关

键.

10.（3分）如图，在△ABC中，BC=IOCTM,A8的垂直平分线交BC于M,交4B于E,AC

的垂直平分线交BC于•N,交AC于F,则的周长为10cm.

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到NA=NC,根据三角形的周长公式计

算，得到答案.

【解答】解：TAB的垂直平分线交BC于M,

：.MA=MB,

同理可得：NA=NC,

则△斗〃'的周长=M4+MN+NA=何B+MN+NC=BC=10c"?,

故答案为：10.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两

个端点的距离相等.

11.（3分）如图，已知NMON=30°，点4,A2,A3,…在射线ON上，点81,B2,胡，…

在射线上，△48IA2,△A2B2A3,383A4,…均为等边三角形，若。41=2,则4

【分析】依次求出△4BIA2,△A2B2A3,383A4的边长，根据发现的规律即可解决问

题.

【解答】解：因为△48M2是等边三角形，

所以NBMI42=60°,

又因为/MON=30°,

所以/O2iAi=60°-30°=30°.

所以NMON=/OBiAi,

所以A1B1=04.

又因为OAi=2,

所以AiBi=2.

故△A181A2的边长为2.

同理可得，

2

A2B2=0A2=4=2>

故△A282A3的边长为22.

3>

A3B3=0A3=8=2

故383A4的边长为23.

所以△4BnA”+i的边长为2”.

当”=2023时，

△A202382023A2024的边长为22023.

故答案为：22023.

【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现等边三角形的边长依次乘以2

是解题的关键.

12.（3分）当三角形中一个内角a是另一个内角0的2倍时，则称此三角形为''倍角三角

形”，其中角a称为“倍角若"倍角三角形”中有一个内角为30°,则这个“倍角三

角形”的“倍角”的度数可以是30°、100°、60°♦

【分析】根据三角形内角和为180。，题目给的“倍角”的定义来求所有的可能取值.

【解答】解：①“倍角”可以是30。；

②其中一角为30°倍角”为它的二倍，即“倍角”是60°；

（3）a+p=180-30=150°时，“倍角”就是150x2=100°.

3

综上所述“倍角”的度数可以是30°、100°、60°.

故答案为：30°、100°、60°.

【点评】本题考查了角的计算和三角形内角和定理，做题的关键是掌握角的计算和三角

形内角和定理.

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.（6分）如图，AB=AE,BC=DE,求证：AC=AD.

【分析】由A8=AE,得NB=NE,而AB=AE,BC=ED,即可根据全等三角形的判定

定理“SAS”证明aABC丝△&£t/）,则AC=AD

【解答】证明：

：.ZB=ZE,

在△A8C和中，

，AB=AE

（NB=/E，

BC=ED

A/\ABC^/\AED（SAS）,

：.AC=AD.

【点评】此题重点考查“等边对等角“、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABC丝

是解题的关键.

14.（6分）某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表：

规格/“123456

价格/（元/根）101520253035

学校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经购买两根长度分别为2机和5m的钢管，还需

要购买一根.

（1）有哪几种规格的钢管可供选择？

（2）若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成三角形支架一共需要花多少钱购买

钢管？

【分析】（1）根据三角形的三边关系求出第三边的范围，进而确定可供选择的钢管的规

格；

（2）根据题意求出第三边长，计算即可.

【解答】解：（1）设第三根钢管的长度为XCV73

则5-2cx<5+2,即3cx<7,

•••长度为4cro、5cm.6cm的钢管可供选择；

（2）•.•三角形支架的周长为偶数，

三边长分别为2cm、5cm、5cm,

则花的钱数为：15X1+30X2=75（元），

答：做成三角形支架一共需要花75元购买钢管.

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的

两边差小于第三边是解题的关键.

15.（6分）如图，点A,D,C,尸在同一条直线上，AB=DE,BC=EF.有下列三个条件：

®AC=DF,②NABC=NDEF,®ZACB=ZDFE.

（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC之△£>£'/.

你选取的条件为（填写序号）①（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC

彩的依据是SSS（填“SSS"或"SAS”或“ASA”或“AAS”）；

（2）利用（1）的结论△ABC名ZiOEF.求证：AB//DE.

【分析】（1）根据SSS即可证明△A8C丝即可解决问题；

（2）根据全等三角形的性质可得NA=NEZ）F,再根据平行线的判定即可解决问题.

【解答】（1）解：在△ABC和△OEF中，

\C=DF

•AB=DE>

BC=EF

：.AABC^/\DEF（SSS）,

在上述三个条件中选取一个条件，使得

选取的条件为①，判定△ABC丝△£>£：/的依据是SSS.

故答案为：①，SSS；（答案不唯一）.

（2）证明：,:△AB8XDEF.

：.ZA=ZEDF,

J.AB//DE.

【点评】本题考查了平行线的判定和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定

定理是解此题的关键.

16.（6分）如图，△A8C中，A。平分NBAC,P为A。延长线上一点，PE_LBC于E,已

知/AC8=80°,/8=24°,求NP的度数.

4

【分析】在△A8C中，利用三角形内角和定理可求出NBAC的度数，结合角平分线的定

义可得出NC4。的度数，在△AC。中，利用三角形内角和定理可求出NAOC的度数，结

合对顶角相等可得出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出/P的

度数.

【解答】解：在△ABC中，NACB=80°,NB=24°,

AZBAC=1800-NACB-NB=76：

平分/BAC,

AZCAD=1ZBAC=3S°.

2

在△ACQ中，ZACD=80°,ZCAD=3S°,

.•.NA£>C=180°-ZACD-ZCA£>=62°,

...NPOE=NAOC=62°.

；PEJ_BC于E,

:.NPED=90°,

.,.NP=180°-ZPDE-ZPED=2S°.

【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角

和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键.

17.（6分）如图是正六边形ABCDEF,请你分别用两种不同的方法画出它的一条对称轴（画

图仅限用无刻度的直尺，保留作图痕迹）.

【分析】利用轴对称的性质进行画图即可.

【解答】解：如图所示：直线/即为所求.

【点评】此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是掌握对称轴是对称点所连线段的

垂直平分线.

四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18.(8分)如图，A、8两点分别在射线OM,ON上,点C在/MCW的内部，且AC=BC,

CD1.0M,CELON,垂足分别为力，E,且AO=8E.

(1)求证：0C平分/MON；

(2)若AO=3,B0=4,求A。的长.

【分析】(1)根据全等三角形的判定定理推出RtAADC^RtABEC,根据全等三角形的

性质得出CD=CE,再得出答案即可；

(2)根据全等三角形的性质得出AO=BE=3,根据全等三角形的判定定理推出RtAODC

^RtAOEC,根据全等三角形的性质得出0。=。8,再求出答案即可.

【解答】(1)证明：'：CD±OM,CELON,

.•.NA£>C=NCEB=90°,

在RtAADC和RtABEC中，

<fAC=BC>

lAD=BE，

ARt/\ADC^Rt/\BEC(HL),

:.CD=CE,

'：CD±OM,CELON,

，0C平分NMON；

(2)解：VRtA^DC^RtABEC,AO=3,

：.BE=AD=3,

：B0=4,

OE=OB+BE=4+3=7,

VCD10M,CELON,

:.NCDO=NCEO=90°,

在RtADOC和RtAEOC中，

[OC=OC,

(CD=CE，

.".RtADOC^RtAEOC(.HL),

：*OD=OE=J

'：AD=3,

：.OA=OD+AD=7+3=10.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等知识点，能熟记到角

两边距离相等的点在角的平分线上是解此题的关键.

19.(8分)如图所示，人教版八年级上册数学教材尸53《数学活动》中有这样一段描述：

如图1,四边形ABCO中，AD=CD,AB=CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形

叫做“筝形

(1)试猜想筝形ABCD的对角线AC与80有什么位置关系？并证明你的猜想；

(2)你知道筝形A8CD还有哪些性质吗？请写出两条正确的结论；

(3)如图2,过点。作交8c于点E,若BC=10,CE=4,求OE的长.

图1图2

【分析】(1)根据线段垂直平分线的逆定理可得AC_L8》

(2)根据对称和全等三角形的性质可得结论;

(3)先根据SSS证明也△CB。，则/ABD=NC8。，再由平行线的性质和等量代

换可得NCBD=NEDB,由等角对等边及边的和差可解答.

【解答】解：（1）BDLAC,理由如下：

：A£>=C£>,AB=CB,

8。是AC的垂直平分线，

：.BD±AC；

（2）答案不唯一（符号语言、文字语言表达均可）：

如：①一组对角相等：/DAB=NDCB；

②BD平分一组对角；

③筝形ABCD是轴对称图形；

®BD平分AC；

⑤筝形面积等于对角线乘积的一半；

（3）VDE//AB,

:.NEDB=NABD,

在△43。和△CB。中，

'AD=CD

«BD=BD-

AB=CB

.♦.△4班运△CBO（555）,

:.NABD=NCBD,

:.NEDB=NCBD,

：.DE=BE,

"：BC=\0,CE=4,

：.BE=BC-CE=\0-4=6,

:.DE=6.

【点评】此题重点考查了新定义，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，

等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对

应角并且证明△ABO会△CBQ是解题的关键.

20.（8分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直

尺画图）

（1）画出格点AABC（顶点均在格点上）关于直线。E对称的△4B1C1；

（2）求出△ABC的面积；

(3)在OE上画出点P,使△P8C的周长最小;

(4)在OE上找一点使值最大.

【分析】(1)根据轴对称的性质作图即可.

(2)利用割补法求三角形的面积即可；

(3)连接BiC,交直线DE于点P,连接BP,此时P8+PC最小，即可得△PBC的周长

最小.

(4)延长CB,交直线CE于点M,此时值最大.

【解答】(1)解：(1)如图，AAiBiCi即为所求；

(2)A4BC的面积为3X3-yX2X1-yXIX3-yX3X2=y;

(3)如图，点P即为所求；

(4)如图，点M即为所求.

【点评】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质

是解答本题的关键.

五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21.(9分)我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接

点，如图1,0就是拼接点.我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为360°

（注：若不能等于360°,则不能镶嵌）.

（1）如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌

的是③.（填序号）

①正三角形

②正方形

③正五边形

④正六边形

（2）为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，

如图2,正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有3个正三角形和2个正方

形.

①如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正

三角形和几个正六边形：

②我们也可以用边长相同的正五边形和正十边形进行镶嵌.

图1图2

【分析】（1）求出正多边形的内角，再用360°除以内角度数，根据结果是否为整数，逐

项判断即可；

（2）①设在平面镶嵌时，围绕在某一点有x个正三角形和y个正六边形的内角可以拼成

一个周角，则有60°x+120°y=360°,进而判断出情况；

②设用边长相同的a个正五边形和b个正n边形进行镶嵌，则

108°a+（180°—）b=360°，得出3a+（5」^让=10，由〃，也为正整数，

nnn

进行分类讨论即可求解.

【解答】解：（1）①正三角形的内角为60°,360°+60°=6,结果是整数，可以进行

平面镶嵌；

②正方形内角为90°,360°+90°=4,结果是整数，可以进行平面镶嵌；

③正五边形内角为108°,360°0108°--结果不是整数，不可以进行平面镶嵌；

3

④正六边形内角为120。，36004-120°=3,结果是整数，可以进行平面镶嵌；

故选：③；

(2)①设在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有x个正三角形和y个正六边形，

根据题意得：60°x+120°y=360°,

'.x+2y=6,

y为正整数，

.••产或(x=4,

Iy=21y=l

答：在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形

和1个正六边形；

②由于正五边形内角为108°,设用边长相同的“个正五边形和〃个正〃边形进行镶嵌，

则108°a+(180°—)b=360°-

n

整理得：3a+(5」^)b=10，

n

Ta,b,〃为正整数，

...此应为正整数，

n

贝ljn=5或n=10,

当几=5时，3a+36=10,此时小无正整数解，

当〃=10时，3“+46=10,解得正整数解为：fa=2,

lb=l

故答案为：十.

【点评】此题考查了多边形内角和和平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌的要求：拼

接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于360。.

22.(9分)如图，在△4BC中，AB=4C=2,NB=40°,点。在线段BC上运动(点。

不与点B、C重合)，连接A。，作N4DE=40°,OE交线段AC于点E.

(1)当NBZ)4=115°时，NEDC=25°,NAED=65°；

(2)线段QC的长度为何值时，XABD马XDCE,请说明理由：

(3)在点。的运动过程中，△4DE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求N8D4的

度数；若不可以，请说明理由.

A

BD

【分析】(1)根据三角形内角和定理得到/8AZ)=25°