90黑龙江省大庆市肇源县东部五校联考2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

2023—2024学年度下学期期初质量监测初三数学试题一、选择题（本大题共10小题，共30分．）1.若a＜b，则下列变形正确的是()A.a－1b－1 B. C.－3a－3b D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【详解】解：A、∵a＜b，∴a−1＜b−1，故本选项不符合题意；B、∵a＜b，∴，故本选项不符合题意；C、∵a＜b，∴−3a＞−3b，故本选项符合题意；D、当时，；当时，；当时，；故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．2.下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．直接利用因式分解的定义分析得出答案．【详解】A、，是多项式乘以单项式，故此选项错误；B、不符合因式分解的定义，故此选项错误；C、，从左到右的变形是因式分解，故此选项正确；D、，不符合因式分解的定义，故此选项错误．故选：C．3.下列说法正确的是（）A.平行四边形是轴对称图形 B.平行四边形的邻边相等C.平行四边形的对角线互相垂直 D.平行四边形的对角线互相平分【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】解：A.平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，B.平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，C.平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，D.平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．故选D．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．4.如果9x2kx25是一个完全平方式，那么k的值是（）A.15 B.±5 C.30 D.±30；【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式的逆运算去解答即可.【详解】解：∵9x2kx25是一个完全平方式∴3x和5分别看作完全平方公式中a，b，∴−kx=±2×3x×5，∴k=±30．故选D.【点睛】本题重点考查学生对完全平方公式的理解，熟记公式，确定公式中a，b是解题的关键，注意完全平方式可以写成两数和（差）的平方，故有两个．5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握定义是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．6.如图，已知函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．观察函数图象得到，当时，直线都在直线的下方，于是可得到关于的不等式的解集．【详解】解：点坐标为，当时，，所以关于的不等式的解集为．故选：D．7.如图，在中，，点在上，且，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，通过线段相等得到角相等，再根据三角形内角和列方程求出的值即可．【详解】解：设，，，，，，，在中，解得：，．故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，根据题意明确各角之间的关系是解答本题的关键．8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】由AC的垂直平分线交AD于E，易证得AE=CE，又由四边形ABCD是平行四边形，即可求得AD与DC的长，继而求得答案．【详解】解：∵AC的垂直平分线交AD于E，∴AE=CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=3，AD=BC=5，∴△CDE的周长是：DC+DE+CE=DC+DE+AE=DC+AD=3+5=8，故选：B．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解题关键在于得到AE=CE．9.某口琴社团为练习口琴，第一次用元买了若干把口琴，第二次在同一家商店用元买同一款的口琴，这次商家每把口琴优惠元，结果比第一次多买了把.求第一次每把口琴的售价为多少元？若设第一次买的口琴为每把元，列方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由设第一次买的口琴为每把元，则设第二次买的口琴为每把（元，由等量关系：第二次比第一次多买了把，即可得到方程．【详解】设第一次买的口琴为每把元，则设第二次买的口琴为每把（元，

根据题意得：.故选D．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．10.已知、、是三边，且满足，则的形状是（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.不能确定【答案】B【解析】【分析】根据完全平方公式把等式进行变形即可求解.【详解】∵∴则=0，故a=b=c，的形状等边三角形，故选B.【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形.二、填空题（本大题共8小题，共24分）11.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60o，那么这个三角形是_________．【答案】等边三角形【解析】【分析】先得到轴对称三角形的特殊形状，进而判断三角形的形状即可．【详解】解：如果一个三角形是轴对称图形，则它是等腰三角形，而有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．.故答案为等边三角形【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定方法，是需要熟记的内容．12.已知中，，角平分线BE、CF交于点O，则______．【答案】【解析】【详解】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵角平分线BE、CF交于点O，∴∠OBC+∠OCB=45°，∴∠BOC=180°﹣45°=135°．故答案为135°．点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．13.若分式的值为零，则=_______．【答案】-3【解析】【分析】根据分式的值为零的条件得到|x|-3=0且x-3≠0，解方程即可确定x的值．【详解】根据题意得|x|-3=0且x-3≠0，解|x|-3=0得x=3或-3，而x-3≠0，所以x=-3．故答案为-3．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0．14.三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建_______处．【答案】4##四【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论．【详解】解：∵三条公路两两相交，要求加油站到这三条公路的距离都相等，∴加油站在角平分线的交点处，画出加油站位置如图所示，共4处．故答案：4．15.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．【答案】8【解析】【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．【详解】解：设边数为n，由题意得，180（n－2）=3603，解得n=8．所以这个多边形的边数是8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．16.要使代数式有意义，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得出，即可求解．【详解】解：∵代数式有意义，∴，解得：，故答案为：．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝32°，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转后得到△EDC．点D落在AB边上，则旋转角的大小为___°．【答案】64【解析】【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=32°，可求∠B，由旋转的性质可得：CB=CD，根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠B=58°，然后由三角形内角和定理求即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=32°，∴∠B=90°﹣32°=58°，由旋转的性质可得：CB=CD，∴∠CDB=∠B=58°，∴∠BCD=180°﹣∠B﹣∠CDB=64°，∴旋转角的大小为64°．故答案为64．【点睛】本题考查直角三角形旋转问题，掌握旋转图形的性质，等腰三角形判定与性质，三角形内角和是解题关键．18.如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是18，则的长为_________．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质和三角形中位线的性质是解题关键．首先根据“平行四边形两条对角线互相平分”解得，再结合的周长求得的值，然后根据“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半”，即可获得答案．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，，∵，∴，∵的周长是18，即，∴，又∵点，分别是线段，的中点，∴．故答案为：3．三、解答题（本大题共10小题，共66分）19.因式分解：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了因式分解．解题的关键在于选用适当的方法进行因式分解．（1）先提取公因式，然后用完全平方公式进行因式分解即可；（2）提取公因式，进行因式分解即可．【小问1详解】解：==；【小问2详解】解：====．20.解不等式组：【答案】【解析】【分析】此题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别解出两个不等式的解，其解的公共部分即为不等式组的解；【详解】解：由不等式①得：由不等式②得：，

所以不等式组的解集为．21.解分式方程：（1）（2）【答案】（1）；（2）分式方程无解【解析】【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）去分母得：2x＝3x+3，解得：x＝﹣3，经检验x＝﹣3是分式方程的解；（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，移项合并得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．【点睛】本题考查解分式方程；注意去分母时，单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个式子为分母，最简公分母应为其中的一个．22.先化简，再求值：．其中．【答案】，6【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】解：．当时，原式．23.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）（1）画出将向左平移8个单位长度得到的，并写出点的坐标；（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．【答案】23.图见解析，24.图见解析，【解析】【分析】本题考查了作图−旋转变换和平移变换．（1）利用点平移的坐标特征描出点、、，再顺次连接，然后根据点的位置写出其坐标即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点、，再顺次连接，然后根据点的位置写出其坐标即可．【小问1详解】解：如图，为所求作三角形；；点；【小问2详解】解：如图，为所求作三角形．点．24.如图，在△ABC中，∠Ｃ=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数．【答案】CD的长度为5cm，∠B的度数为26°．【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE；再根据角平分线的定义求出∠BAC，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】解：∵AD平分∠BAC，ＤE⊥AB，DC⊥AＣ，∴CD=ＤE=5cm，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣64°=26°．25.已知在中，点分别是边的中点，过点的直线交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查了平行性四边形判定与性质、三角形中位线等知识．根据平行四边形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，然后根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明结论即可．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，即，∵点分别是边的中点，∴，即，∴四边形是平行四边形．26.2022年冬奥会吉祥物冰墩墩一夜之间火遍全球，各种冰墩墩的玩偶，挂件，灯饰等应运而生．某学校决定购买A，B两种型号的冰墩墩饰品作为纪念品，已知A种比B种每件多25元，预算资金为1700元：其中800元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍．（1）求A，B两种饰品的单价．（2）购买当日，正逢开学季搞促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A种饰品的资金不少于720元，A，B两种饰品共100件：问购买A，B两种饰品有哪几种方案？【答案】（1）A饰品的单价为40元，B饰品的单价为15元．（2）有三种方案：①购买A型号饰品23件，B型号饰品77件；②购买A型号饰品24件，B型号饰品76件；③购买A型号饰品25件，B型号饰品75件．【解析】【分析】（1）设A饰品的单价为x元，则B奖品的单价为（）元，根据购买A，B两种型号的冰墩墩饰品的金额可计算可购买A，B两种型号饰品的数量，由购买B种的数量是A种的3倍这一条件建立方程求解即可．（2）设购买A饰品数量为m件，购买B饰品的数量为件，由题意建立不等式组，求m的取值范围，再根据m为正整数确定购买A，B两种型号饰品的数量即可获得购买方案．【小问1详解】设A饰品的单价为x元，则B奖品的单价为（）元，由题意可得：，解得经检验，是原方程的解，则答：A饰品的单价为40元，B饰品的单价为15元．【小问2详解】设购买A饰品的数量为m件，则购买B饰品的数量为件，由题意得：，解得，∵m为正整数，∴m的值为23，24，25，∴有三种方案：①购买A型号饰品23件，B型号饰品77件；②购买A型号饰品24件，B型号饰品76件；③购买A型号饰品25件，B型号饰品75件．【点睛】本题考查了利用分式方程和不等式组解决实际问题，根据题意找到相应数量关系，准确列出分式方程和不等式组是解题关键．27.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【答案】（1）见解析，（2）41【解析】【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论．（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．【详解】（1）证明：∵BN⊥AN于点N，∴，在△AB