公式化简最小项表达式

30.04.2024第二章逻辑代数基础1关于公式化简最小项表达式30.04.2024第二章逻辑代数基础23.最简的标准：AB+AC与或式=ABAC与非与非式两次取反=A(B+C)或与式=A＋B+C或非或非式两次取反

与或式使用最多，因此只讨论与或式的最简标准.(1)含的与项最少；－－门最少(2)各与项中的变量数最少。－－门的输入端最少(3)要求电路的工作速度较高时，优先考虑级数最少第2页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础3二、公式法1.相邻项合并法利用合并相邻项公式:AB+AB=A例2：F=A(BC+BC)+A(BC+BC)=A例1：F=AB+CD+AB+CD=A+D=(AB+AB)+(CD+CD)第3页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础4练习：用并项法化简下列逻辑函数第4页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础5⊙练习：第5页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础62.消项法=AB例1：F=AB+ABC+ABD=AB+AB(C+D)例2：F=AC+CD+ADE+ADG=AC+CD利用消项公式A+AB=A或A+AB=A+B

或AB+AC+BC=AB+AC第6页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础7例3：F=AB+AC+BC=AB+C=AB+ABC例4：F=AB+AB+ABCD+ABCD=AB+AB+CD(AB+AB)=AB+AB+CD第7页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础8练习：第8页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础9第9页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础10(3)配项法利用消项公式A=A+A或1=A+A

或AB+AC=AB+AC+BC配出多余项，再与其它项合并例：解：第10页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础11练习：第11页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础12练习：第12页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础13先找公共因子，再找互补因子(4)综合法公式名称公式1.0-1律A·0=0A+1=12.自等律A·1=AA+0=A3.等幂律A·A=AA+A=A4.互补律A·A=0A+A=15.交换律A·B=B·AA+B=B+A6.结合律A·(B·C)=(A·B)·CA+(B+C)=(A+B)+C7.分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)8.吸收律1(A+B)(A+B)=AAB+AB=A9.吸收律2A(A+B)=AA+AB=A10.吸收律3A(A+B)=ABA+AB=A+B11.多余项定律(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)AB+AC+BC=AB+AC12.求反律AB=A+BA+B=A·B13.否否律A=A第13页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础14例1

解法1

F=ABC+ABC+AB(吸收律1ABC+ABC=AB)=ABC+A（BC+B）（分配律）=ABC+A（C+B）（吸收律3）=ABC+AC+AB（分配律）=（AB+A）C+AB（分配律）=（B+A）C+AB（吸收律3）=BC+AC+AB（分配律）第14页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础15例1此例告诉我们某一项对化简有利可以反复应用若干次，此例ABC项就反复用了三次F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC（等幂律）

解法2=BC

+

+

（吸收律1）（ABC+ABC=BC，ABC+ABC=AC，ABC+ABC=AB）ACAB第15页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础16F=AD+AD+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH例2解:

原式=A+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH（吸收律1）=A+AC+BD+BEG+DEGH(吸收律2)

=A+C+BD+BEG+DEGH（吸收律3）第16页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础17例3F=AB+BC+BC+AB此题按常规的方法用公式无法再化简，经过一定的处理可再化简：F=AB+BC+BC（A+A）+AB（C+C）（互补律A+A=1）=AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC（分配律）=AB+BC+ABC+ABC+ABC（吸收律2：

AB+ABC=AB）=AB+BC+ABC+ABC

（吸收律2：BC+ABC=BC）=AB+BC+AC（吸收律1:ABC+ABC=AC）第17页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础18公式化简法优点：不受变量数目的限制。缺点：没有固定的步骤可循； 需要熟练运用各种公式和定理； 在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需 要一定的技巧和经验； 有时很难判定化简结果是否最简。第18页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础19第五节逻辑函数的表达式一、常见表达式二、标准表达式1.最小项、最小项表达式2.最小项的性质4.由真值表写出最小项表达式的方法3.由一般表达式写出最小项表达式的方法第19页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础20一、常见表达式F=AB+AC=AB+AC=AB·AC=(A+B)·(A+C)与或式

与非—与非式与或非式=AB+AC第20页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础21=(A+B)·(A+C)或与式=(A+B)·(A+C)=A+B+A+C或非—或非式二、标准表达式1.最小项、最小项表达式(1)最小项的概念及其表示第21页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础22例1：已知三变量函数F(A,B,C)，则ABC就是一个最小项，通常写成m5。其中，m表示最小项，5表示最小项的编号ABC(101)2

(5)10

例2：已知四变量函数F(A,B,C,D)，则BACD就是一个最小项，其最小项编号为多少？解：把最小项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺序排列，得ABCD，从而得(0111)2，即(7)10。所以，此最小项的编号为7，通常写成m7。第22页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础23(2)最小项表达式（标准与或式）例：F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC第23页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础24一变量函数，如F(A)，共有：2个最小项2.最小项的性质即：A、A二变量函数，如F(A,B)，共有：4个最小项三变量函数，如F(A,B,C)，共有：8个最小项即：AB、AB、AB、AB即：ABC、ABC、ABC、ABCABC、ABC、ABC、ABC结论：n变量函数，共有：2n

个最小（大）项。第24页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础25(1)最小项的主要性质①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为1。第25页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础26ABCABC00000010010001101000101111001110

能使最小项的值为1的取值组合，称为与该最小项对应的取值组合。

例：101ABC。

若把与最小项对应的取值组合看成二进制数，则对应的十进制数就是该最小项的编号i。第26页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础27②全部最小项之和恒等于1。即：③任意两个最小项的乘积恒等于0。即：

第27页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础28即：④任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最小项。证明：若自变量的取值组合使mi=1(有且只有一组)，则：若自变量的取值组合使mi=0(其余2n

-1组)，则：所以，等式成立。第28页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础29证明：

即上述关系式成立。⑤第29页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础30证明：根据反演规则和对偶规则之间的关系可知，F中的原、反变量互换，即得到F′。所以，F和F′中包含的最小项的个数是相等的，且对应的最小项的编号之和为(2n-1)。即上述关系式成立。⑥第30页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础31例1：若=ABC+ABC+ABC则F′(A,B,C)=ABC+ABC+ABC例2：若则解：第31页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础323.由一般表达式写出最小项表达式的方法：一般表达式与或式A+A=1最小项表达式例1：解：F(A,B,C)=AB(C+C)=ABC+ABC第32页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础33例2：=AB=ABC+ABC

解：F(A,B,C)=AB(A+B)第33页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础34练习：F

=

ABC+BC+AC=ABC+BC（A+A）+AC（B+B）=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=

m0+m3+

m4+

m6+m7=

∑（0,3,4,6,7）F

=

ABC+BC+AC第34页,共39页，2024年2月25日，星期天30.04.2024第二章逻辑代数基础354.由真值表写出最小项表达式的方法