广西壮族自治区柳州市市第二十一中学高三数学文联考试题含解析

广西壮族自治区柳州市市第二十一中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|﹣3≤x≤1}，则A∪B等于（）A．[﹣2，1） B．（﹣2，1] C．[﹣3，3） D．（﹣3，3]参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】首先求出集合A，然后找出两集合的并集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|﹣3≤x≤1}，因此A∪B=[﹣3，3）．故选：C．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（） A．向左平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D． 向右平移个单位长度参考答案：D略3.若复数，复数是z的共轭复数，则=（）A．﹣2i B．﹣2 C．i D．2参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知求得，代入整理得答案．【解答】解：∵，∴，∴=，故选：A．4.已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：C5.复数z=（其中i为虚数单位），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．z=﹣3+i B．=3－i C．z=1﹣3i D．=﹣1+3i参考答案：B【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==i+3，=3﹣i．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（

）

参考答案：C7.已知角的终边与单位圆交于，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.设f(x)是定义在R上的偶函数，对x，都有f(x-2)=f(x+2)，且当x时，f(x)=，若在区间(－2,6]内关于的方程f(x)－(x+2)=0(a>1)恰有3个不同的实根，则的取值范围是(A).(1,2)

(B).(,2)

(C).（1，）

(D).(2,+参考答案：B9.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有(

)种.A.150

B.300

C.600

D.900参考答案：C略10.如图，在直角梯形中，为BC边上一点，为中点，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C取的中点，连结，，则，所以，∴＝，于是＝＝，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是虚数单位，则__________．参考答案：复数．12.若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a6＝

．参考答案：1113.已知函数，，，成立，则实数的取值范围是

参考答案：略14.在三角形ABC中，∠B=，AB=1，BC=2，点D在边AC上，且=λ，λ∈R．若?=2，则λ=．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加减法法则及平面向量基本定理把用和表示，然后结合?=2列式求得λ值．【解答】解：如图，∵=，且∠B=，AB=1，BC=2，∴?=[（1﹣λ）+λ]?=（1﹣λ）+=（1﹣λ）+=1×（1﹣λ）+4λ=2，解得λ=．故答案为：．15.已知△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，那么BC=

，=．参考答案：2，﹣6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用余弦定理求出BC的值，根据平面向量数量积的定义求出的值．【解答】解：△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cos∠A=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴BC=2，∴=（﹣）?（﹣）=﹣+?=﹣22+2×2×cos120°=﹣6．故答案为：2，﹣6．16.已知函数，则=___________。参考答案：017.向量，若，则λ=．参考答案：1【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴2（λ+1）﹣（λ+3）=0，解得λ=1．故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2015?庆阳模拟）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）过点（1，），且该椭圆的离心率为，直线l1：y=x+m（m≠0）与椭圆交于A，B两点，直线l2：y=x﹣m与椭圆交于C，D两点．（1）求椭圆M的方程；（2）求四边形ABCD面积的最大值．参考答案：【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）将点（1，）带入椭圆方程，并根据离心率，这样便可得到关于a，b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程为；（2）先容易判断出四边形ABCD为平行四边形，所以面积为弦长|AB|与直线l1，l2之间距离的乘积，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据弦长公式即可得到|AB|=，根据直线l1，l2的方程即可求出这两直线间的距离为，所以得到四边形ABCD的面积为，根据基本不等式即可求该面积的最大值．解：（1）依题意可得，；解得a2=4，b2=1；∴椭圆M的方程为；（2）显然直线l1与直线l2关于原点对称，所以四边形ABCD为平行四边形；∴|AB|=|CD|，?ABCD的面积为弦长|AB|与直线l1，l2距离的乘积；设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得，5x2+8mx+4m2﹣4=0；则△=16（5﹣m2）＞0，∴0＜m2＜5；根据韦达定理；∴=；直线l1与l2的距离为；∴=；当且仅当时等号成立；∴四边形ABCD面积的最大值为4．【点评】：考查椭圆的标准方程，椭圆的离心率e=，以及曲线上点的坐标和曲线方程的关系，韦达定理，弦长公式，求两平行线间的距离，椭圆的对称性，以及基本不等式的运用．19.已知：平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=AD=2，平面AED⊥平面ABCD，△AED为等边三角形，EF∥AB，EF=，M为线段BC的中点。（I）求证：直线MF∥平面BED；（II）求平面BED与平面FBC所成角的正弦值；（III）求直线BF与平面BED所成角的正弦值。参考答案：（I）证明：在△ADB中，∵DAB=45°

AB=AD=2，∴AD⊥BD取AD中点O，AB中点N，连接ON，则ON∥BD，∴AD⊥ON又∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，AD⊥OE，∴EO⊥平面ABCD，∴以O为原点，OA，ON，OE分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图取BD的中点H，连接FH，OH，则OH∥AB∥EF，且OH=EF，∴FH∥EO，∴FH⊥平面ABCD，∴D（-1,0,0）

B（-1,2,0）

H（-1,1，）

F（-1,1，）

C（-3,2,0）

M（-2,2,0），∴=（0,2,0）

=（1,0，）

=（1，-1，），设平面AED的一个法向量为（x，y，z），则∴不妨设=（，0，-1）∴⊥，又∵MF平面AED∴直线MF∥平面AED（II）解：∵=（-2,0,0），=（0，-1，）设平面FBC的一个法向量为（x，y，z），则∴不妨设=（0，，1）设平面BED与平面FBC所成的角为则丨cos丨=丨丨=，∴sin∴平面BED与平面FBC所成角的正弦值为（III）解：直线BF与平面BED所成角为a，则sina=丨cos<>丨=丨丨=。∴直线BF与平面BDE所成角的正弦值为20.（本题12分）已知函数（I）如果对任意恒成立，求实数a的取值范围；（II）设函数的两个极值点分别为判断下列三个代数式：①②③中有几个为定值？并且是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数并求出的最小值.参考答案：解：（1）由得，对任意恒成立，即，对任意恒成立，又x-3<0恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以a<-2.

………………4分（2）依题意知恰为方程的两根，所以解得

………………5分所以①=3为定值，

………………6分②为定值，………………7分③不是定值即（）所以，当时，，在是增函数，当时，，在是减函数，当时，，在是增函数，所以在的最小值需要比较，因为；所以（）的最小值为15（a=2时取到）.……12分21.如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=﹣将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．参考答案：考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）椭圆离心率为，线l：x=﹣将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3，可确定几何量，从而可得椭圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量知识，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）设F2（c，0），则=，所以c=1．因为离心率e=，所以a=，所以b=1所以椭圆C的方程为．

…（6分）（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=﹣，此时P（，0）、Q（，0），．当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（﹣，m）（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，则﹣1+4mk=0，∴k=．此时，直线PQ斜率为k1=﹣4m，PQ的直线方程为，即y=﹣4mx﹣m．联立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．所以，．于是=（