（北京卷）2022年中考数学第二次模拟考试（全解全析）

2022年中考数学第二次模拟考试（北京卷）数学·全解全析12345678ADBDDADD一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．【分析】根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．【详解】．俯视图是三角形，故本选项符合题意；．俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；．俯视图是四边形，四边形的内部有一点与四个顶点相连，故本选项不合题意；．俯视图是正方形，故本选项不合题意．故选：．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】393000米米．故选：．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．3．【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．【详解】当，时，，而，所以能够说明命题“若，则”是假命题的是，，故选：．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．4．【分析】根据题意和算术平均数的含义，可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】小明的捐款数比15人捐款的平均数多2元，小明的捐款数不可能最少，故选项正确；小明的捐款数可能最多，故选项正确；将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数不一定比第8名多，故选项错误；将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能排在第14位，故选项正确；故选：．【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．5．【分析】先由数轴得出，与0的关系，再计算判别式的值即可判断．【详解】由数轴得，，，，△，方程有两个不相等的实数根．故选：．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．6．【分析】如图，将阴影部分分割成图形中小三角形的大小，令小三角形的面积为，分别表示出阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．【详解】如图所示，令，则，，将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为，故选：．【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．7．【分析】利用图象判断即可．【详解】、，本选项不符合题意．、当时，，本选项不符合题意．、当时，与可能相等，可能不等，本选项不符合题意．、当时，，本选项符合题意．故选：．【点评】本题考圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．【分析】根据新定义得到当时，，在时，得到；当时，，在时，得到，即可得到限变点的纵坐标的取值范围是．【详解】由题意可知，当时，，当时，，当时，，当时，，综上，当时，其限变点的纵坐标的取值范围是，故选：．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到关于的函数．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．【分析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式．【详解】．故答案为：．【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．10．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】由题意得，，解得．故答案为：．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．11．【分析】根据时，，得出图象，，从而得出的取值范围．【详解】当时，，解得，时，，，，．故答案为．【点评】本题考查了一次函数的性质，即一次函数中，当时，随增大而减小．12．【分析】根据题意可得，，所以，进而可以解决问题．【详解】根据题意可知：，，，，，，，解得．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13．【分析】先根据一次函数的性质判断出错误的值，再利用待定系数法求出与的关系式，最后将代入即可．【详解】设一次函数的表达式为，每增加一个单位增加或减少个单位，由表可知，当时，的值记录错误．将，，代入得，，解得，，，将代入得，．故答案为：15．【点评】本题考查一次函数的应用，能熟练的求出一次函数表达式是解题关键．14．【分析】根据乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50和题目中所设的未知数，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．15．【分析】连接并延长交于，根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，根据正弦的定义计算，得到答案．【详解】如图，连接并延长交于，由圆周角定理得：，由勾股定理得：，，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、圆周角定理、解直角三角形，正确作出辅助线、根据圆周角定理得到是解题的关键．16．【分析】①根据，，的半径为1，当时，直线，根据直线和圆的关系进而可以判断；②直线是的一条对称轴，则直线一定过圆心，所以将代入，即可进行判断；③若直线与只有一个公共点，则直线与圆相切，然后根据勾股定理进行计算即可判断；④直线上存在点，上存在点，使得，并使中取得最小值，则轴，轴时，即，代入，求出的值，即可判断．【详解】①点，，的半径为1，当时，直线，如图，直线与相离，故①正确；②若直线是的一条对称轴，则直线一定过圆心，所以将代入，得，故②正确；③若直线与只有一个公共点，则直线与圆相切，如图中的，，则，直线，与圆相切，，，的半径为1，，故③正确；④若直线上存在点，上存在点，使得，并使中取得最小值，则如图，则轴，轴，即，代入，得，则的最小值为，故④正确．正确的结论序号是：①②③④．故答案为：①②③④．【点评】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系．三．解答题（共12小题，满分68分）17．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值4个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等知识点的运算．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解不等式①，得，解不等式②，得，不等式组的解集为，不等式组的整数解有、、0．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案．【详解】原式，当，时，原式．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．20．【分析】（1）作的垂直平分线，垂足为，以点为圆心，长为半径画弧交于点，即可满足且；（2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求圆的半径．【详解】（1）如图，圆即为所求；依据：由作图过程可知：是的垂直平分线，所以，因为，所以，所以．（2），，．圆的半径为．【点评】本题考查了作图复杂作图，等腰直角三角形，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．21．【分析】（1）先求出判别式△的值，再根据“△”的意义证明即可；（2）根据求根公式得出，，即可求出的值和方程的根．【详解】（1）证明：△，，无论取任何实数，，即△，原方程总有两个实数根．（2）解：△，由求根公式，得，，原方程的根为：，，方程的两个根都是整数，取，方程的两根为，．【点评】本题考查了求根公式和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键．22．【分析】（1）作，交的延长线于点，然后即可得得到四边形的形状，再根据题目中的条件，可以证明和全等，然后即可得到结论成立；（2）根据正方形的性质、勾股定理和三角形相似，可以得到的长，然后根据的长，即可得到的长．【详解】（1）证明：作，交的延长线于点，如右图所示，，，，，四边形是矩形，又，四边形是正方形，，，，，，，，在和中，，，；（2），，，，，由（1）知，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，即，解得，，即的长是．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明和全等和求出的长，利用数形结合的思想解答．23．【分析】（1）根据待定系数法，先求出反比例函数的解析式，求出点坐标，进而求出一次函数的解析式；（2）根据直线沿轴向下平移8个单位后得到直线求得的解析式，然后求出点，得坐标，根据勾股定理求得的长度；联立一次函数和反比例函数得到点，的坐标，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条平行线交于点，根据勾股定理求得的长度，问题即可迎刃而解．【详解】（1）反比例函数的图象过点，点，，，，，一次函数的图象过点，点，，解得：，一次函数的解析式为：；（2）直线沿轴向下平移8个单位后得到直线，直线的解析式为：，当时，，当时，，，，，，，联立，得：，解得：，，将，代入得：，，经检验：和都是原方程组的解，，，如图，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条平行线交于点，则，，，，，．【点评】本题考查了待定系数法，反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：联立一次函数和反比例函数，求得点，的坐标．24．【分析】（1）连接，由，，得到，即可证明；（2）连接，过点作，垂足为，由，，求得的长度，继而利用三角函数求得，，求出，，再利用，即可求出的长．【详解】（1）证明：连接，如图，，，，，，，，，，，是半径，为切线；（2）解：连接，过点作，垂足为，如图，是直径，，，，，，，在中，，，在中，，，，，，，，，，，，，，即，解得：，的长为5．【点评】本题考查了切线的判定方法，利用等角之间的转化，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用三角函数和三角形相似是解决线段长度的关键．25．【分析】（1）由可知，这一组有6个小区，则有个小区，补全直方图即可；（2）由知：阳光小区的厨余垃圾分出量为29.7吨，在这一组，从高到低排列有，由可知，阳光小区的厨余垃圾量2.97为纵坐标，故横坐标为8．（3）计算30个小区的厨余垃圾分出量总数除以30即可．【详解】（1）由可知，这一组有6个小区，则有个小区，故补全直方图如图所示（2）由知：阳光小区的厨余垃圾分出量为29.7吨，在这一组，从高到低排列有，阳光小区的厨余垃圾分出量在30个小区中由高到低排名第15．由可知，阳光小区的厨余垃圾量2.97为纵坐标，故横坐标为8．故阳光小区的其它垃圾分出量大约是8.0吨．故答案为15、8.0；（3）30个小区厨余垃圾分出量平均数约为（吨）．【点评】本题主要考查了数据的收集、整理、分析，借助频数分布直方图、表格等描述数据，从题意中获取有用的信息是解决问题的关键．26．【分析】（1）把，代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论．（2）由题意，或时，取得最大值1，由此构建方程求解即可．（3）把问题转化为不等式组，可得结论．【详解】（1）二次函数的图象开口向上，经过点，，，．（2）二次函数，，在时，的最大值为1，时，或时，，或，解得（舍弃）或．．（3）线段向右平移2个单位得到线段，，，直线的解析式为，抛物线在的范围内仅有一个交点，即方程在的范围内仅有一个根，整理得在的范围内只有一个解，即抛物线在的范围内与轴只有一个交点，观察图象可知，时，，时，，，解得，，．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式组解决，属于中考压轴题．27．【分析】（1）①依照题意画出图形即可；②由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，即可得结论；（2）通过证明，可得，，即可求解．【详解】（1）①如图1所示：②，理由如下：将线段绕点逆时针旋转，，，是等边三角形，，，是等边三角形，点是的中点，，，，，，，，又，垂直平分，；（2）直线与夹角的度数为，，理由如下：如图2，当点在线段上时，连接，，延长交于，将线段绕点逆时针旋转，，，是等边三角形，又点是的中点，，，，是等边三角形，点是的中点，，，，，，，，，，，，直线与夹角的度数为，．当点在的延长线上时，连接，，同理可求直线与夹角的度数为，．当点在的延长线上时，连接，，延长交于，同理可求直线与夹角的度数为，．综上所述：直线与夹角的度数为，．【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．28．【分析】（1）①根据远点，特征数的定义判断即可．②如图1中，过点作直线于，交于，．解直角三角形求出，的长即可解决问题．（2）如图2中，设直线的解析式为．分两种情形或，分别