第08讲 相似三角形的判定与性质（6大考点）（原卷版）

第08讲相似三角形的判定与性质（6大考点）考点考点考向一．相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．二．相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．三．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．四．相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．五．作图-相似变换（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．六．射影定理（1）射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．（2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC；②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC．考点考点精讲一．相似三角形的性质（共8小题）1．（2021秋•柯城区期末）如图，△ABC∽△A'B′C′，下列说法正确的是（）A．∠B＝∠C′ B．S△ABC＝2S△A′B'C' C．AC＝4A'C' D．A'B′＝62．（2022•拱墅区模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，下列判断，其中不正确的是（）A．PA+PB+PC+PD的最小值为10 B．若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC C．若△PAB∽△PDA，则PA＝2 D．若S1＝S2，则S3＝S43．（2021秋•丽水期末）如图，若△ABC∽△DEF，则∠C的度数是（）A．70° B．60° C．50° D．40°4．（2021秋•拱墅区期末）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为（）A．8 B．12 C．16 D．205．（2021秋•鹿城区校级期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．6．（2021秋•拱墅区校级月考）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．（1）若∠ADP＝32°，求∠FPB；（2）若AP＝，求BE；（3）若△PFD∽△BFP，求．7．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A． B． C．10 D．8．（2021•西湖区二模）如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．（1）求证：△ADE≌△BFA；（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．二．相似三角形的判定（共9小题）9．（2020秋•温州月考）如图，下列条件不能判定△ACD与△ABC相似的是（）A． B． C．∠ADC＝∠ACB D．∠ACD＝∠B10．（2021秋•鄞州区校级期末）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．11．（2021秋•柯桥区月考）如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED．12．（2022•淳安县一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（）A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA C．BD2＝BC•BE D．CE•AB＝BE•CA13．（2021秋•北仑区期末）如图，一副三角板，AD＝AB，顶点A重合，将△ADE绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下4个位置，不存在相似三角形的是（）A． B． C． D．14．（2021秋•新昌县期末）如图，在下列四个三角形中，与△ABC相似的是（）A． B． C． D．15．（2021秋•北仑区校级期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．16．（2021秋•西湖区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，连结AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF．（1）求证：AB＝AD．（2）连结EF，BE，线段FD是线段AD与AF的比例中项．①若AD＝4，求线段FD的长．②求证：△DEF∽△CEB．17．（2022•淳安县一模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的长；（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．三．相似三角形的判定与性质（共7小题）18．（2022•拱墅区校级开学）如图，△ABC中，D是AB上的一点，∠ABC＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AC＝3，AD＝2，求AB的长．19．（2022•鹿城区校级二模）在《寺庙难题》书中，有这样一道题：五个正方形ABCD，CEFG，FHMN，GNPQ，DGST如图所示排列，其中点A，B、E，H，M共线，可得结论：正方形CEFG与△SGQ的面积相等．若正方形CEFG与△SGQ的面积之和为120，则正方形DGST与正方形GNPQ面积之和为（）A．270 B．300 C．320 D．35020．（2022•鄞州区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，则S△MDN：S△BCD＝（）A．1：3 B．1：5 C．2：3 D．1：621．（2022•嘉兴二模）如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为S1，正方形FPQG面积为S2，则S1：S2的值为（）A．10：7 B．20：7 C．49：10 D．49：2022．（2022•拱墅区校级二模）如图．已知BD是∠ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点且AE＝AB．（1）求证：△ADE∽△CDB；（2）若AB＝6，BD＝4，DE＝5，求BC的长．23．（2022•萧山区校级二模）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．（1）求证：BD⊥EC．（2）若AB＝1，求AE的长．24．（2022•鄞州区校级自主招生）锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F．（1）求的值；（2）求证：．四．相似三角形的应用（共5小题）25．（2021秋•诸暨市期末）如图，图1是装了液体的高脚杯，加入一些液体后如图2所示，则此时液面AB为（）A．5.6cm B．6.4cm C．8cm D．10cm26．（2021秋•诸暨市期末）如图，小聪和他同学利用影长测量旗杆的高度，当1米长的直立的竹竿的影长为1.5米时，此时测得旗杆落在地上的影长为12米，落在墙上的影长为2米，则旗杆的实际高度为（）A．8米 B．10米 C．18米 D．20米27．（2022•上城区二模）在上完相似三角形一课后，小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度．如图，在距离教学楼MN为18米的点B处竖立一个长度为2.8米的直杆，小方调整自己的位置，使得他直立时眼睛所在位置点C、直杆顶点A和教学楼顶点M三点共线．测得人与直杆的距离DB为2米，人眼高度CD为1.6米，则教学楼的高度MN为（）米．A．12 B．12.4 C．13.6 D．15.228．（2021秋•上城区期末）如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（）m．A．2 B．4 C．6 D．829．（2021秋•海曙区校级期中）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．五．作图-相似变换（共3小题）30．（2022•义乌市校级开学）如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．（1）在图1中的线段AC上找一个点D，使CD＝AC；（2）在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．31．（2020秋•柯桥区月考）如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个32．（2021秋•温州期末）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．（1）在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC．（2）在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ＝2AQ．六．射影定理（共5小题）33．（2016秋•嵊州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（）A． B． C． D．334．（2010•鹿城区校级自主招生）在Rt△ABC中，C为直角顶点，过点C作AB的垂线，若D为垂足，若AC、BC为方程x2﹣6x+2＝0的两根，则AD•BD的值等于．35．（2010•长沙校级自主招生）两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a，b的正方形拼成一个大正方形．图中Rt△ABC的斜边AB的长等于（用a，b的代数式表示）．36．（2017秋•滨江区期末）如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝．37．（2018秋•衢江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BD＝4，AD＝6．（1）求证△ABD∽△CAD；（2）求AC的长．

巩固巩固提升一、单选题1．（2020·余姚市兰江中学九年级月考）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于点D，E，若，则下列说法不正确的是()A． B． C． D．2．（浙江金华·）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC． D．3．（2019·浙江柯桥·九年级期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是()A． B．C． D．4．（2020·浙江滨江·滨兰实验学校）如图，四边形，四边形，四边形都是正方形，图中与相似的三角形为（）A． B． C． D．5．（2020·浙江绍兴·）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝ B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝6．（2020·浙江九年级期末）如图，点D，E分别在的边上，增加下列哪些条件不能使与相似（）A． B． C． D．7．（2021·浙江九年级期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边BC，CD，DA上，四边形EFGH由两个正方形组成，且，则线段BE的长为（）A． B． C． D．8．（2021·宁波市海曙外国语学校）下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中和的顶点都在小正方形的顶点上，则与一定相似的图形是（）A． B．C． D．二、填空题9．（2019·浙江江北·中考模拟）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE＝5，AB＝8，则S△ABF：S△FCE＝_____．10．（2019·浙江台州·中考真题）如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为_____．11．（2020·浙江越城·）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．12．（2020·余姚市姚北实验学校九年级期中）如图，、是锐角的两条高线，则图中与相似三角形有______个．13．（2021·浙江湖州·九年级模拟预测）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，点О是