第一节数项级数的概念和性质_第1页
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文档简介

一、数项级数及其收敛性二、数项级数的基本性质三、数项级数收敛的必要条件第十二章无穷级数第一节数项级数的概念和性质1由于式中的每一项都是常数，

定义1设给定一个数列

u1,u2,…,un,…，则表达式u1+u2+···+un+···称为无穷级数.其中u1,u2,·

·

·叫做该级数的项，un称为一般项或通项.所以又叫数项级数，简称级数，一、数项级数及其收敛性称u1+u2+···+un+···=为部分和数列，记作Sn.2即

级数的和.

S称为

这时也称该级数收敛于

S.若部分和数列的极限不存在，发散.定义2若级数的部分和数列的极限存在，3例2试讨论等比级数

a+ar+ar2+···+arn-1+···(a

0)的收敛性.当r

1时，所给级数的部分和为根据等比数列前

n

项的求和公式可知，解4由定义2

知，该等比级数收敛，即5所以这时该等比级数发散.当r=1时，因此该等比级数发散.6部分和数列极限不存在，故该等比级数发散.

当n为奇数，当n为偶数，≥7试证明其发散.由此知

f(x)

为增函数.例3级数称为调和级数，证≥≥≥8≥≥≥≥≥9相加得≥10解

注意到

因此，

例4求级数的和.11

所以该级数的和为即12不影响级数的收敛性.1.在级数的前面加上或去掉有限项，但一般将会改变收敛级数的和.

2.

用一个非零的常数

c二、数项级数的基本性质13所得级数收敛且其和等于两个级数和的相加.3.两个收敛级数的对应项相加，即14这是能借助级数作近似计算的基本依据.这是因为所产生的误差.15就有于是因此这时必有这就是级数收敛的必要条件.三、数项级数收敛的必要条件16事实上，定理则17例

5

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