高考数学一轮复习第二篇函数与基本初等函数Ⅰ（1-5讲）（考点梳理+考点自测+揭秘高考）理新人教A版

第二篇函数与基本初等函数I⑧第1讲函数及其表示

【2014年高考会这样考】

1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求解.

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示

函数.

3.考查简单的分段函数，并能简单应用.

»抓住3个考点必考必记至基剧本

考点梳理

i.函数的基本概念

(1)函数的定义：设48是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系E使对于集合4

中的任意一-个数方在集合6中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称£力一8为从

集合｛到集合6的一一个函数，记作尸f(x),xW4

⑵函数的定义域、值域：

在函数尸/1(X),“6/中，X叫做自变量，X的取值范围/叫做函数的定义域;与X的值

相对应的y值叫做函数值，函数侑的集合"(X)IxG4｝叫做函数的值域.显然,值域是集

合6的子集.

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则.

(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,那么这两个函数相等，这是

判断两个函数相等的依据.

(5)函数的表示法.

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.

2.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种

函数称为分段函数.分段函数虽然山几部分组成，但它表示的是一个函数.

3.映射的概念

设/、8是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系£使对于集合4中的任意一个

元素笛在集合6中都有唯一确定的元素巳与之对应,那么就称对应£力-8为从集合4

到集合8的一个映射.

【助学•微博】

一种方法

求复合函数定义域的方法

(1)已知函数f(x)的定义域为[a,6],则复合函数Mg(x))的定义域由不等式aWg(x)Wb

求出.

(2)已知函数f(g(x))的定义域为[a,b\,则/U)的定义域为g(x)在xe[a,b\时的值域.

两个防范

(1)解决函数的任意问题，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则.

(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性.

考点自测

1.(人数A版教材习题改编)下列各对函数中，表示同一函数的是().

A./'(x)=lgx,g[x)=21gx

x+1

B.f(x)=lg£Tpg(x)=lg(x+l)-lg(x—1)

/、/1+u/\/1+0

cg⑺

D.f(x)=(A/%)2,g{x}=yp

答案C

2.已知a,。为实数，集合后[[，1],e{a,0},f：LX表示把"中的元素x映射到

集合"中仍为％则a+b等于().

A.-1B.1C.0D.±1

解析由集合性质结合已知条件可得a=l,b—0,：,a+b—l.

答案B

|V+1,xWl,

3.(2012•江西)若函数/U)=则/•(f(10))=

[1gx,x>\,

A.1g101B.2C.1D.0

解析A10)=lg10=1,故『(『(10))=F(1)=『+1=2.

答案B

4.(2013•杭州模拟)函数尸。16-4'的值域是().

A.[0,+8)B.[0,4]

C.[0,4)D.(0,4)

解析由已知得0W16-4'<16,0W416-4'〈标=4,即函数尸正16一己的值域是[0,4),

选C.

答案C

5.(2012•江苏)函数f(x)=#1—210g$x的定义域为—

1—21og6^0,log6%^l=log66,

解析由题意,知，〈后季，所以函数/(%)

x>0x>0

的定义域为(0,

答案(0,炯

02:突破"考向研析案例考向突破

考向一求函数的定义域

[例1]a⑴函数f(x)3x+2+(---3x+4)的定义域为().

A.(-8,-4]U[2,+8)B.(-4,0)U(0,1)

C.[-4,0)U(0,1]D.[-4,0)U(0,1)

⑵已知函数A2')的定义域是[1,2],则函数Hlogzx)的定义域为.

[审题视点](1)理解各代数式有意义的前提，列不等式组解得.

(2)根据求复合函数定义域的解法求解.

3x+220,

解析(1)<_?_31+420,=>-4Wx〈l且#0,故选D.

、,.-3x+2+.——-3x+4>0

(2)在函数/中,定义域为[1,2],即1之后2,2忘2飞4,；"(0的定义域为[2,4].要

求f(logzx)的定义域,则2Wlog2xW4,4<xW16,f(log2X)的定义域为[4,16].

答案(1)D(2)[4,16]

方法锦囊》求函数定义域的主要依据是：(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数

大于或等于零；(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；(4)零次基的底数不为零;

(5)若函数FJ)的定义域为〃则对于复合函数尸Z[g(x)],其定义域由满足g(x)G〃的

x来确定.

【训练1】(2012•山东)函数/'(x)=k^—+尸7的定义域为().

A.[-2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

Inx+1¥0,

解析f(x)有意义，应满足,4一

.*+1>0,

x>—1,且背0,

解得

一2<尽2,

.,"(X)的定义域为{x|—l〈xW2且#0}.

答案B

考向二求函数的解析式

【例2】A⑴已知g+l)=lgX,求f(x)的解析式；

(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+D—2F(x—l)=2x+17,求f(x)的解析式；

(3)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2/、(必一人一心=lg(x+l),求函数Ax)的解析式.

［审题视点］(1)用换元法求解.

(2)已知f(x)是•次函数，用待定系数法求解.

(3)式中含有x,一X,故构造方程组求解.

解(1)令1+1=3由于x>0,.'">1且^=不二,

22

=lg~~p即F(x)=lgf(尤>1)・

t—1x—1

(2)设f(x)=4x+6(4#0),

，3f(x+l)-2/U-l)=3|>(x+l)+6]-2[A(x-l)+川=履+54+6=2*+17.

k=2,k=2,

即；"(x)=2x+7.

5什Q17,b=l,

(3)xd(—1,1)时，有2fC0-f(—x)=lg(x+l).①

以一”代x,得2f(—x)—F(x)=lg(―x+1).②

由①②消去f(—才)，得/'(x)=§g(x+l)+glg(l—x),xe(—1,1).

方法锦囊》函数解析式的求法

(1)凑配法：山已知条件f(g(x))=尸(x),可将尸(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x

替代g(x)，便得f(x)的解析式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(4)方程思想：已知关于/•(»与0或/"(一X)的表达式，可根据已知条件再构造出另外

一个等式组成方程组，通过解方程组求出/'(X).

【训练2】已知则/'(*)的解析式可取为().

x2x

A.]+*?(xW-1)B.-]+/(xW1)

Axx

C.]+j(xW-1)D.-]+((xW1)

l—g—l

一心\~x.\—x

解■“析由i《/l大==,令中=£*、=干2-1r且l£¥—1*./.U)=v+-1一

1+市一1

2t/、2x

7TT=77?L

答案c

考向三分段函数及其应用

【例3】A(2012•江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［—1,1］上，/U)

ax+1,—lWx<0,

='6x+20Vv［其中a,6GR.若6］=(号，则a+3Z?的值为_.

.x+］'''〜、'

［审题视点］本题考查分段函数及函数的周期性等知识，题目中挖掘隐含条件A-D-

/U)对于解决本题至关重要.

解析因为F(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以4|)=(一0,且八一1)=丹1)，

-b+2

21

从而----=—^w+l,3a+2b=-2.①

2+1

由/X—l)=f(l),得一a+l=^^,故6=—2a.②

由①②得a=2,b=-4,从而a+3，=-10.

答案TO

方法锦囊》对于解决分段函数问题，其基本方法是“分段归类”即自变量涉及到哪一段就

用这一段的解析式.

log2X,x>0,1

【训练3】已知函数/U)=L…若f(a)=g,则a的值为().

2',xWO,

A.-1B.y/2C.-1或TD--1或第

解析若a>0,有log2a=2，

若aWO,有2"=亍a=-l.

答案D

03»揭秘3年高考权威解港真题展示

热点突破3——函数新定义问题

【命题研究】以高等数学知识为背景的新定义问题是近几年来高考命题的热点，在近年

的高考题中常能找到它的影子，如2012年福建卷第10题、2012年湖北卷第7题等.此

类试题着重考查考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力，求解时可通过选取满

足题设条件的特殊函数，化抽象为直观，使得此类问题得以突破.预测2014年高考仍会

有函数新定义题出现.

【真题探究】》(2012•湖北)定义在(-8,0)U(0,+8)上的函数/'(⑼，如果对于任

意给定的等比数列｛a｝,｛/(&)｝仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”.现有

定义在(一8,o)U(0,+8)上的如下函数：①『(王)=晓②/'(x)=2*；③/'(*)=［*；

@f(x)=ln|x|.

则其中是''保等比数列函数"的/Xx)的序号为().

A.①②B.③④C.①③I).②④

［教你审题］本题是一道自主定义的新函数试题，如果“单刀直入，强行突破”，解题过

程会很繁杂，因此，我们可以选择对四个选项中的函数逐•推理论证，看其是否满足“保

等比数列函数”的定义(见法一)；也可以利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情

况下也不真的原理，对所给函数选取特殊值进行验证(见法二).

［解法］法一设数列｛a｝的公比为q(g/0).对于①，/&+：=与=数是常数，故

工cina。

①符合条件；对于②'中『聋不是常数，故②不符合条件；对于③'

等1二4而’是常数fa+1

故③符合条件；对于④,

logI&II&+J,不是常数，故④不符合条件.

由“保等比数列函数”的定义，知选C.

法二取x为1,2,4,则1,2,4成等比数列；对于函数f(x)=2、，有A1)=2,f(2)=22,

f(4)=24,所以f⑴•『(4)#"(2)了，故函数F(x)=2"不是”保等比数列函数”，可排

除A,D；对于函数f(x)=ln|jr|,有F⑴=0,A2)=In2,F(4)=In4,所以

f⑴•/l⑷⑵了,故函数/U)=In|x|不是“保等比数列函数”,可排除B.应选C.

答案C

［反思］(1)本题以等比数列与基本初等函数知识为背景，给出了一个新的概念“保等比数

列函数”，把函数与数列两知识块自然地融合在一起，考查了灵活运用数学知识分析问题

和解决问题的能力.

(2)求解新定义问题的关键是读懂新定义的意义，并将其运用到新的情境中.对特殊值的

敏感，对已知选项的理解，可从中提取有效的信息.特殊值的选定，一要典型，能定性

说明问题；二要简单，便于推理运算.

【试,试】若对于函数/Q)定义域内的任意一个自变量都存在唯一一个自变量物

使得为f及=1成立，则称f(x)为好函数”.给出四个函数：①『5)=10'；②

f(x)=l[；③/'(x)=sinx,xG(0,n)；④/'(x)=2'"",xG(0,页).其中为"好函数”

的函数的个数为().

A.1B.2

C.3D.4

解析①/'(XI)F(X2)=10矛1+才2=1,只需汨+*2=0,在唯一；②(莅)=1吃•lg^=

b只需lgxi=J-，才2唯一；③/'(为)/'(X2)=sinxisin才2=1,加不存在；④f(为)/'(生)

lgx2

=2cosXi+cosX2=l,cosJTI+COS及=0,至唯一.

答案C

ML限时规范训练期梯训练场强在

A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

L下列各对函数中，是同一个函数的是).

A.&(/)=寺7

1,x20,

B.f{x)=—g(x)=，

—1,KO

C.f(x)=2，+及/+1,展才)=(2'

D.f(x)=y[x•yjx+l,g{x)=y[x~x+1―

解析对于选项A,由于/■(x)=W=|x|,氯.)=切=心故它们的值域及对应法则都

不相同，所以它们不是同一个函数：时于选项B,由于函数f(x)的定义域为(-8,0)U

(0,+8),而g(x)的定义域为R,所以它们不是同一个函数；对于选项C,由于当

N*时，2〃±1为奇数，所以/U)=2〃+Yk=x,g(x)=(2"-,)21=%它们的定义

域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一个函数；对于选项D,由于函数F(x)=

小.[x+1的定义域为[0,+8),而g(x)=m~x+1-的定义域为(-8,—1]U[0,

+8),它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数.

答案C

2.(2012•江西)下列函数中，与函数一定义域相同的函数为().

八xcsinx

C.y=xeD.y=---

IeinY

解析函数尸——的定义域为5|#0,*GR}与函数尸——的定义域相同，故选D.

湿X

答案D

3.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，

则函数解析式为尸=丁+1,值域为{1,3}的同族函数有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析由*+1=1,得x=0.由1+1=3,得户土啦，所以函数的定义域可以是{0,m},

{0,一/},{0,m,一/},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.

答案C

4.(2012•安徽)下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是().

A.f(x)—|x\B.f{x)—x—|x\

C.f{x}—x+1D./(A)——x

解析因为/"(x)=履与/'(x)=用才|均满足/'(2x)=2f(x),所以A,B,D满足条件：对于

C,若/'(x)=x+l,则f(2x)=2x+l#2『(x)=2*+2.

答案C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.已知函数/Xx),g(x)分别由下表给出,

则扛g(D］的值为

解析：g⑴=3,./(g⑵)

=3,g(F⑵)=1.

答案12

6.函数y=y[x+l—yjx—1的值域为

解析函数定义域为［1，+8),

2

y

y/x+1+y/x-l

当时是减函数,0<y=/1―/W

y[x+l+y[x—ly]2

故函数的值域为(0,72］.

答案(0,M

三、解答题(共25分)

2

7.(12分)记f(x)=lg(2x—3)的定义域为集合M,函数g(x)=1一』的定义域为集合应

求:

⑴集合弘N；(2)集合科AM；iAJA：

3

解⑴#={x|2x—3>0}=xx>-

八邛—―2川x叫—3=以.后3,或„“〈1}..

3

(2)"AN={x|>23},或x>5

8.(13分)二次函数f(x)满足f(x+l)—F(x)=2%且f(0)=l.

(1)求F(x)的解析式；

(2)在区间上，函数尸代/)的图象恒在直线尸2X+R的上方，试确定实数力的

取值范围.

解⑴由F(0)=l,可设f(x)=aV+6x+l(aWO),故F(x+1)—f(x)=a(x+l)2+b(x

2a=2,a=l,

+1)+1—{ax+Z?x+1)=2ax+a+b,由题意，得，解得■

[a+b=Ofb=—lf

故f{x)=x—x+l.

(2)山题意，得x+l>2x+/，即3x+l〉加，对才£［-1,1］恒成立.令g(x)=V—

3x+l,则问题可转化为g(x)min>处又因为g(x)在［-1,1］上递减，所以g(x)min=g(l)

=—1,故水一L

B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

'|lgx\,0<后10,

1.已知函数F(x)=<1若a,，，c互不相等，且F(a)=F(b)=F(c),

一]x+6,x>10.

则aA的取值范围是).

A.(1,10)B.(5,6)

C.(10,12)D.(20,24)

解析a,b,c互不相等，不妨设a〈伙c,：f(a)

=f(6)=f(c),由图可知0〈水1,1〈伙10,10<X12.

,."(a)=F(Z)),

11ga|=|1gb\,

lga=-1gb,B|J1ga=lg

ab=1,10<aZ?c=c<12.故应选C.

答案C

2.定义两种运算：々©la?—况濯b=7a-bI则函数f(x)=胫2_2的解析式

为().

A.^G[-2,0)U(0,2]

B.f(x)=也匚a,Xd(—8,-2]U[2,+8)

X

\lx—4

C.f(x)=一^----,才£(-8,-2]U[2,+8)

x

A/4——

D.f(x)=-N-------,x£[-2,0)U(0,2]

x

解析V2©x=yl4—x,农2=yjx—2"=|x—2\,

y/4-f

,F(x)=

I^-2I-2,

4一f20,[—2W^r^2,

注意到定义域：,今…口—，x£[-2,0)U(0,2],・・.F(x)=-

[\x-n2\^n2〔x#0且xW4

"4x,[—2,0)U(0,2].

x

答案D

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.设f{x)则附+£)+&+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=.

解析因为/V)=*，所以代=—岩，巧+“x)=0,所以/Q)+/Q)+/G)+

AD+A2)+A3)+A4)=AD=0.

答案0

[A,2+1,x20,

4.已知函数F(x)=<则满足不等式*1一力＞〃2旧的x的取值范围是

[1,XO,

1—*2〉0,1—9＞2矛，

解析由题意有0/八或《解得一1＜水0或0〈水/一1,，所求x

2X02x20V

的取值范围为(-1,V2-D.

答案(一1,A/2-I)

三、解答题(共25分)

[1,1WA<2,

5.(12分)设函数F(x)={g(x)=f(x)—ax,

[x—1,2<启3,

x£[l,3],其中a£R,记函数g(x)的最大值与最小值的差为力(a).

⑴求函数力(a)的解析式；

⑵曲出函数尸力(x)的图象并指出力(X)的最小值.

1—ax,KW2,

解⑴由题意知g(x)=

ax—1,2K3,

当水0时，函数g(肘是[1,3]上的增函数,此时g(肘皿=g(3)=2—3a,g(x)・in=g(D=1

—a,所以力(a)=l—2a；

当苏1时,函数g(力是[1,3]上的减函数,此时g(x)而iu=g(3)=2-3&g(力皿=g(l)=l

一a,所以力(a)=2w—1：

当OWdWl时，若x£[l,2],则g(x)=l—ax,有g(2)Wg(x)Wg(l)；

若x£(2,3],则g(x)=(l—a)x—l,有g(2)〈g(x)Wg(3),因此g(x)min=g(2)=1—2a,

而g⑶—g⑴=(2—3a)—(1—a)=1—2a,

故当时，g(x)max=g(3)=2—3a,有力®=1—a；

当时，g(x)max=g(l)=1—a有力(a)=a.

〃1-2a水0,

1—a,OWag，

综上所述，力G)=<

a,

72a—1,3>1.

1

(2)画出尸/?(x)的图象，如图所示，数形结合可得力(*).,"=/?

2-

6.(13分)(2012•江苏)设集合2={1,2,…，n},记/'(〃)为同时满足下列条件的集

合力的个数：①力②若xW/l,则2超4③若则2处£4

⑴求f(4)；

(2)求『(〃)的解析式(用〃表示).

解(1)当〃=4时，符合条件的集合4为：⑵，{1,4},{2,3},{1,3,4},故f(4)=4.

(2)任取偶数xGA,将x除以2,若商仍为偶数，再除以2,…，经过％次以后，商必为

奇数，此时记商为例于是其中勿为奇数，ASN*.

由条件知，若卬64则xG/o4为偶数；

若族力,则xG40%为奇数.

于是X是否属于/由勿是否属于4确定.设2是月中所有奇数的集合，因此f(〃)等于以

的子集个数.当〃为偶数(或奇数)时，巴中奇数的个数是决或审)，

%〃为偶数，

所以F(〃)=〈

2号，〃为奇数.

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第2讲函数的单调性与最值

【2014年高考会这样考】

1.考查求函数单调性和最值的基本方法.

2.利用函数的单调性求单调区间.

3.利用函数的单调性求最值和参数的取值范围.

4.函数的单调性和其它知识结合综合考查求函数最值、比较大小、解不等式等相关问题.

»抓住2个考点必考必记夯基固本

考点梳理

i.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数/'(X)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间〃上

的任意两个自变量为，也

定义当为〈才2时，都有&1X3,那

当乂＜尼时，都有/'(X】)〉/,(又2)，那么

么就说函数f(x)在区间〃上是增函

就说函数f(x)在区间〃上是减函数

数

11

图象描述O玉石Xo£%x

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是:»的

(2)单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这区间具有(严格的)单调

性，区间〃叫做y=Ax)的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数尸/,(X)的定义域为/,如果存在实数"满足

(1)对于任意XG/,都有f(x)(3)对于任意xG/,都有f(x)NM；

条件

(2)存在於G/,使得/,(幻=屈(4)存在於G7,使得尸(刘)=M.

结论"为最大值物为最小值

【助学•微博】

一个防范

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能

用符号“U”联结，也不能用“或”联结.

两种形式

设任意Xi,与且X1＜*2,那么

①//一/禺＞Oof(x)在［a,6］上是增函数：

X\—X2

f町T卷在［a,⑸上是减函数.

②(小一生)"(E)—FCMDOo/V)在［a,b］上是增函数；(小一通"(xi)—f(x2)"0o/'(x)

在［a,6］上是减函数.

两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值定在

端点取到.

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

考点自测

1.已知函数f(x)=log.3在(0,十8)上单调递增,则().

A./-(3XA-2)</,(1)B./(1)</-(-2)</(3)

c.A-2XA1XA3)D.A3XA1XA-2)

解析因为f(x)=log/x|在(0,+8)上单调递增,所以a>l,f(l)〈/•(2)<f(3).又函数

f(x)=log,|x|为偶函数,所以=2)=f(—2),所以=(l)<f(-2)<f(3).

答案B

2.(2013•西安调研)设/'(x)为定义在R上的奇函数，且当*20时，f(x)单调递减，若

xi+x2>0,则/(%)+f(总)的值().

A.恒为正值B.恒等于零

C.恒为负值D.无法确定正负

解析Ax)为奇函数且时f(x)为减函数，故f(x)在R上是减函数，由小+及>0,得

为>一如故/'(%)<F(一也)，即/(%)—f(一及)〈0,即/'(%)+F(X2)〈O.

答案C

3.(2012•广东)下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是().

A.y=ln(*+2)B.—•\/x+1

C.尸(3、D.尸叶^

解析采用验证法，易知函数y=ln(x+2)在(-2,+8)上是增函数，因此在(0,+<»)

上是增函数，故选A.

答案A

4.(2013-金华模拟)若函数/•(王)=-步+2&彳与式*)=(0+1)1在区间［1,2］上都是减

函数，则a的取值范围是().

A.(-1,0)B.(-1,0)U(0,1］

C.(0,1)I).(0,1］

解析f(x)=-/+2ax的对称轴为x=a,要使F(x)在［1,2］上为减函数，必须有aWl,

又以x)=(a+l)一在［1,2］上是减函数，所以a+DL即Q0,故0〈aWl.

答案D

5.(人教A教材习题改编)函数f(x)=南在［1,2］的最大值和最小值分别是.

9r9xA-1—224

解析〃才)=告=-=2—七在［1,2］上是增函数，・・・f(x)皿=f(2)=*

x十11才十1*十13

f{x)^n=f(S)=1.

答案11

02^突破土住考包研析案期考向突破

考向一函数单调性的判断及应用

【例1】A

试讨论函数/Xx)=--(aNO)在(一1,1)上的单调性.

X—1

［审题视点］可利用定义或导数法讨论函数的单调性.

解设一1〈水水1,

一汽加=(+泡一小+出

及―X】

=cl---------；-------------：

X\—\X2—1

当a>0时，F(xi)—F(X2)>O,即/VI)>〃入2),

函数F(x)在(一1,1)上递减；

当水0时,F(加一F(X2)〈O,即/'(xi)<f(M),

函数F(x)在(一1,1)上递增.

方法锦囊》证明函数的单调性用定义法的步骤：取值一作差一变形一确定符号一下结论.

X

【训练1】已知/Xx)=——(步a).

x—a

(1)若@=-2,试证f(x)在(一8,—2)内单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1,+8)内单调递减，求a的取值范围.

⑴证明任设水及<—2,

则f(xi)—f(也)=-上一1上

Xi+2及+2

2X\—x-2.

Xi+2照+2.

（汨+2）（应+2）>0,矛［一及<0,A^i）</（^）,

・・・F(x)在(一8,—2)内单调递增.

⑵解任设1<汨<尼，贝I」

X\X2a色一xi

f(%)—f(X2)

X\-aX2-ax\—aXi—a

V^>0,X2—x\>0.

**•要使使Xi)—F(X2)>0,只需使一a)(刘一a)>0恒成立，工aW1.

综上所知o<d〈l,即H的取值范围为(0,1］.

考向二求函数的单调区间

【例2］A求函数尸可。+，-6的单调区间.

［审题视点］先确定定义域，再利用复合函数的单调性求解.

解令〃=/+*—6,令+x—6可以看作有y={u与u—^+%—6的复合函数.

由〃=9+X—620,得xW—3或x》2.

：〃=1+X一6在(一8,—3］上是减函数，在［2,+8)上是增函数，而尸立在(0,+

8)上是增函数.

.•.尸“心+丫一6的单调减区间为(-8,-3］,单调增区间为［2,+8).

方法锦囊》求复合函数尸〃g(x))的单调区间的步骤：

(1)确定定义域；

(2)将复合函数分解成两个基本初等函数；

(3)分别确定两基本初等函数的单调性；

(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间.

【训I练2］(2013•大连模拟)求函数尸log1(V—3x+2)的单调区间.

解令u=f—3X+2,则原函数可以看作y=log1u与〃=/一3叶2的复合函数.

令-3*+2>0,则XI或62.

二函数尸10弓($—3x+2)的定义域为(-8,1)u(2,+8).

3

又〃=/—3x+2的对称轴才=不，且开口向上.

u=x—3x+2在(-8,1)上是单调减函数，

在(2,+8)上是单调增函数.

而y=log1〃在(0,+8)上是单调减函数，

••・尸10"(/—3x+2)的单调减区间为(2,+°°),

单调增区间为(-8,1).

考向三抽象函数的单调性及最值

【例3】A已知函数/i(X)对于任意X,yeR,总有f(x)+z1(旧=F(x+y),且当x>o时，

2

o

⑴求证：Hx)在R上是减函数；

(2)求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.

［审题视点］抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形.

⑴证明法.•.•函数/'(才)对于任意X,yeR总有f(x)+F(y)=f(x+y),・••令x=y

=0,得/'(0)=0.

再令尸一筋得f(—才)=—f(x).

在R上任取小>入2，则为一至>0.

fix〉一f(X2)=/(-vi)+/(—也)=f\x\—%).

又・..x>0时，f(x)<0,

而%i—A2>0,f\x\—X2)<0,即f(x\)</'(%).

因此/'(3)在R上是减函数.

法二设为>如

则/(%1)—f(%)=f(x、一及+才2)—f(才2)

=/(Xl—A2)+/(A2)—f(X2)=AX1—X2).

又,.,才>0时，f(x)<0,而为一入2>0,

f(X］—X2)<0,即F(M)<F("，在R上为减函数.

(2)解・・,八才)在R上是减函数，

・・・f(x)在［-3,3］上也是减函数，

・・・f(x)在［―3,3］上的最大值和最小值分别为£(一3)与f⑶.而A3)=3/(l)=-2,/(-

3)=-f(3)=2.

・・・f(x)在［-3,3］上的最大值为2,最小值为一2・

方法锦囊》对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和

相应的条件，对任意的,也在所给区间内比较f(z)—f(X2)与0的大小，或^^—与1

1X2

的大小.有时根据需要，需作适当的变形：如小=抱•小或汨=热+汨一%2等.

X2

【训练3】已知定义在区间(0,+8)上的函数六力满足/1力=『(①)一以或)，且当x>l

时，f(x)〈0.

⑴求f(l)的值;

(2)判断/Xx)的单调性；

(3)若f(3)=­L求在⑵9］上的最小值.

解⑴令汨=入2>0，

代入得/U)=F(X］)一/(汨)=0,故f(l)=O.

⑵任取E,也£(0,+8),且汨〉心，则\>1,

由于当X>1时，/uxo所以《习〈0,

即Axi)-fix》<0,因此/U),

所以函数f(x)在区间(0,+8)上是单调递减函数.

(3)《f(力在［0,+8)上是单调递减函数.

F(x)在［2,9］上的最小值为A9).

由<£)=-(小)—『(及)，得/(J=f⑼—『⑶，

而/'(3)=-1,所以f(9)=-2.

AAx)在［2,9］上的最小值为-2.

03»揭秘3年高考权威解展真题展态

规范解答1——利用函数的单调性求参数的范围

【命题研究】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题

是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查

函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，

又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.

预测2014年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或

求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

X

【真题探究】A(木小题满分13分)(2011•北京)已知函数Ax)=(x一公

K

(1)求/'(X)的单调区间；

(2)若对于任意的x&(0,+8),都有/'(x)wL求发的取值范围.

e

［教你审题］(1)根据导函数大于零和小于零即可得出函数的单调区间，但求解过程中要注

意对参数★进行分类讨论.

(2)利用函数单调性求出函数最大值Ax)“使即可解出力的取值范围.

e

［规范解答］⑴/1)弓V

kk

令/(x)=O,得入=±左(2分)

当上0时，f（x）与f（x）的变化情况如下:

X(―0°,—Jd-k（―h左）k(k,+°°)

+0一0+

F(x)/4庇一10/

所以/■（*）的单调递增区间是（一8,一公和（A,+oo）,单调递减区间是（一上A）.（4分）

当/K0时，f（x）与f（另的变化情况如下：

X（-8,一而k(k,—A)—k1—k,+0°)

f(x)一0+0一

f(x)、0/4福一

所以/'（x）的单调递减区间是（一8,公和（一衣，+8）,单调递增区间是（A,-Id.（6分）

4+11

⑵当k>0时，因为AA+D=e-->-,

ke

所以不会有VxG（O,+8）,f（x）W2（8分）

e

当KO时，由（1）知/Xx）在（0,+8）上的最大值是『（一4）=".（io分）

e

所以VxW（0,+8）,［a）等价于f（—公="

eee

解得一gwA<0.（12分）

故当V