2023-2024学年湖南省娄底市高三年级上册期末质量检测数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖南省娄底市高三上学期期末质量检测数学

模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.）

］已知集合/={xlG+D（x—4）<0},8={xx—34。},则（）

A{x|-1<x<4}B{NO〈尤43}

C{x|-l<^<3}D{xl0<x<4}

2.已知复数z=6-i）（l+i）在复平面上对应的点为尸」为虚数单位，则点尸的坐标是（）

A（2,-1）R（1,1）「G,-l）口（3,1）

A.D.C.JJ.

3.一个圆柱形容器的底面半径为4cm,高为8cm,将该圆柱注满水，然后将一个半径为

4cm的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，留在圆柱形容器内的水的体积为

（）

3201288064

-----兀cm3--兀cm3——兀cm3——兀cm3

A.3B.3C.3D.3

4.恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特•恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数=

食物支出金额mn。/

总支出金额”.恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，

一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，

50%~60%为温饱，40%~50%为小康，30%〜4。%为富裕,低于30%为最富裕,如图是近十

年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知下列结论正确的是（）

一»-农村屠民恩格尔系M%）-T镇居民恩格尔系数（%）

A.城镇居民从2013年开始进入“最富裕”水平

B.农村居民恩格尔系数的平均数低于32%

C.城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%

D.全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数

5.已知函数>=/"）的图象如图所示，则函数/（无）的解析式可能是（）

/(x)X

B.X2-1

11

/«=

g/(x)=

C.D.

6.已知平面非零向量生，的夹角为60。，且满足“"一卜十斗，则回村的最小值为（）

16+85/3

A.3B.12C.8/D.24

7.已知抛物线0：产=2"（?>0）的焦点为尸，抛物线C的准线/与x轴交于点A,过点A的

直线与抛物线°相切于点尸，连接尸尸，在A/勿中，设sin/P4b='sin//FP,则为的值为

（）

V2

A.2B.1C.>/2D.2

8.已知函数/Q）的定义域为R,对任意xeR,有/'（X）-/（x）>。，则“x<0”是“

eV（x+l）>e4/（2x-3）“的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.已知倾斜角为45。的直线/过点,（3,0）,动点尸在直线/上，0为坐标原点，动点。满足

\QA\=2\QO\,则下列结论正确的是（）

A.直线/的方程为y=x+3

B.动点。的轨迹方程为0+1）2+产=4

C.阳।的最大值为2①+2

D.归0的最小值为2点-2

/(x)=sinlcox-—|(co>0)八”）4在（°,兀）的解为

10.已知函数I3>的最小正周期为兀，方程

丁2y则下列结论正确的是（）

A.8=2

函数/G）的图象关于点

B.对称

4)停]]

C.函如在1121上单调递减

cos(x+x)=-^A

D.122

xInx,x>0

/(%)=<0,x=0

11.已知函数[xln(-x),x<0,下列结论正确的是()

A.函数/G）的图象关于点（°，°）中心对称

B.函数/G）存在极大值点和极小值点

c.若函数gG）=/G）一加有三个不同的零点，则实粼的取值范围是J」）

D,对任意丁2式-U）,不等式‘讣展恒成立

12.如图，已知正方体的棱长为a。为底面N8C。的中心，/£交平面

4即于点E,点尸为棱CD的中点，则（）

A.4，E，°三点共线

4逐

B.点q到平面4s。的距离为丁

56

c.用过点4潭,厂的平面截该正方体所得的较小部分的体积为§

D.用过点尸且平行于平面的平面截该正方体，则截得的两个多面体的能容纳的最大球

的半径均为3-6

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

X~p（X>\）~

13.已知随机变量I3九则八.

14.已知数列｛"〃｝满足0广2,。「。向=2",则彳。的值为.

c（x1）2

is,已知直线/与曲线q：k*1相切于点尸6“），且与曲线2-y--2~相切于点

°（1匕），则2x「x「.

16.已知双曲线UR-瓦=1（“>°，'>°）,直线4和4相互平行，直线4与双曲线C交于48两

点，直线4与双曲线C交于2E两点，直线/£和3D交于点尸（异于坐标原点）.若直线〈的

斜率为3,直线（。是坐标原点）的斜率上21,则双曲线C的离心率的取值范围为.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17,设等差数列'J的前〃项和为1牝+月=60,斗=49.

（1）求数列“J的通项公式；

b_2〃+1

SS

⑵设数列｝的前〃项和为I,若",n+l,求证：［<1.

18.某无人飞机研发中心最近研发了一款新能源无人飞机，在投放市场前对100架新能源无

人飞机进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直

方图：

频率

1UR>|

0.009卜］

0.004b------------IF--1

0.0025.......।

0.00）卜:…土一卜…

0180230280330380430唯次最大续航里程阡米

（1）估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值朝（同一组中的数据用该组区

间的中点值代表）；

（2）经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50,根据大量的测试数据，可以认为这款新

能源无人飞机的单次最大续航里程x近似地服从正态分布NO，。？）（用样本平均数亍和标准

差s分别作为日和0的近似值），现任取一架新能源无人飞机，求它的单次最大续航里程

Xe［250,40。］的概率；（参考数据：若随机变量"~”日。），则

产（ji-G4XWji+ci）aO.6827,P（）i-2bWXWN+2b）a0.9545,P（）i-3cyWXWN+3B”0.9973

）

（3）该无人飞机研发中心依据新能源无人飞机的载重量和续航能力分为卓越A型、卓越B型和

卓越°型，统计分析可知卓越/型、卓越8型和卓越C型的分布比例为3:2:1,研发中心在投

放市场前决定分别按卓期型、卓越B型和卓越°型的分布比例分层随机共抽联架，然后再

从这6架中随机抽取3架进行综合性能测试，记随机变量是综合性能测试的3架中卓越/

型的架数，求随机变置的分布列和数学期望

19.如图所示，在平面四边舲8EC中，角A为钝角，且

sinZABC-sinZACB+1=cosZABC-cosZACB-cos2/

(1)求钝角A的大小；

(2)若BC=2,EC=>/3AC,/ACE=120°,ZEBC=30。，求/ABC的大小

20.在四棱锥「一/BCD中，底面4BCO是长方形，侧棱尸。，底面/BCD,且

尸O=OC,E是侧棱尸。的中点，尸是侧棱心上(异于端点)的点，且小工町连接

DE,DF,BD,BE

(1)求证：PB工平面DEF；

回

(2)若℃=2,8C=；U)cq>0),锐二面角尸一。£_8的余弦值为丁，求四棱锥

尸一"8co的体积.

/(x)=axex--x2-x

21.已知函数2

(1)当。=i时，讨论函数/G)的单调性；

,1「1、

/(x)<X2Inx-X3+—X2-x—+°0

(2)若不等式2在Le?1上恒成立，求实数。的取值范围.

c：_+Zi=i(a>z)>o)°=逅

22.已知椭圆aibi的右焦点为尸，离心率，-行，椭圆C上一动点。到

产的距离的最小值为&-2

⑴求椭圆°的标准方程；

⑵设斜率为的直线/过尸点，交椭圆C于48两点，记线段的中点为N,直线

ON交直线x=3于点加，直线旅交椭圆C于尸，。两点，求的大小，并求四边形

APBQ面积的最小值.

1.c

【分析】解不等式化简集合，结合交集的概念即可得解.

【详解】因为集合'={xH<x<4},八"x"},所以/c8={x1—l<x43}.

故选：C.

2.D

【分析】由复数乘法以及复数的几何意义即可得解.

【详解】因为z=（2T）（l+i）=3+i,所以点「坐标是（3,1）.

故选：D.

3.B

【分析】分别求出圆柱体积及球的体积，再相减即可得出结果.

【详解】根据题意可知留在容器内水的体积为等于圆柱体积减去实心球的体积，

"“。4”128

V=71x42X8-—71x43=------71

即33cm3.

故选：B

4.C

【分析】对于A,直接观察折线统计图即可判断；对于B,结合平均数的定义以及图中数据

判断即可；对于C,结合百分位数的定义即可判断；对于D,无法确定农村居民与城镇居民

的比例，由此即可判断.

【详解】对于A：从折线统计图可知2015年开始城镇居民的恩格尔系数均低于3。%,

即从2015年开始进入“最富裕”水平，故A错误；

对于B：农村居民恩格尔系数只有2017,2018,2019这三年在30%到32%之间，

其余年份均大于32%,且2012、2013这两年大于（等于）34%,

故农村居民恩格尔系数的平均数高于32%,故B错误；

对于C：城镇居民恩格尔系数从小到大排列（所对应的年份）前5位分别为

2019、2018、2017、2021、2020,因为l°x45%=4.5,

所以第45百分位数为第5位，即2020年的恩格尔系数，由图可知2020年的恩格尔系数高

于29%,故C正确；

对于D：由于无法确定农村居民与城镇居民的比例，

故不能用农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数作为全国居民恩格尔系数，故

D错误.

故选：c.

5.D

【分析】根据图象，结合各个选项的函数，逐一分析判断即可得出结果.

/G）=-

【详解】对于选项A,由心一1,得八1,不符合函数图象，所以选项A错误,

对于选项B,因为（-x）2-lX2-1,且/（X）的定义域为IRXW」，，

关于原点对称，所以〃x）是奇函数，不符合函数图象，所以选项B错误，

/G）=i~5~।（।

对于选项C,因为付-的定义域为SI不符合函数图象，所以选项c错误,

故选：D.

6.D

a-b=2〃+引

【分析】根据向量数量积的定义和关系，把II的两边平方，利用基本不等式进行

转化求解即可.

-~*1~►

a-b=|^|h|cos60°=—Itzlhl

【详解】由已知非零向量"力的夹角为60。，所以1111"I,

,a-b=|2Q+ZJ|,、

由II,两边平万得

；卜.6卜=4a2+人2+4。=4Q2+Zn+2同,户41dMl+2］矶6卜6|«||/）|

当且仅当20=向时等号成立，所以K卧24,

所以同W的最小值为24.

故选：D.

7.A

【分析】由抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系，利用正弦定理即可求解.

【详解】由已知"il'H,设点尸在准线上的射影为。，则即=叫

y=左（%+彳］（左w0）

因为直图尸与抛物线C相切.设P4的方程为I2）,

与尸:2川联立得夕4夕,

,A=Q2—21p2-p2k4=0

由，

/2

sinZPAQ=—

解得左=±1,当左=±1时，2.

在三角形4。尸中由正弦定理可知:

8.A

g（x3<4

【分析】根据题意可构造函数&，利用函数单调性解不等式即可解得x<4,再由

集合间的关系可得结论.

g"虫

【详解】设&，该函数的定义域为R,

,（）rG）-/G）、nz、

则e，,所以在R上单调递增.

—/（2x-3）

由ex/U+l）>e4/（2x-3）可得ex+1>,

即g（x+l）>g（2x-3）,又g（x）在R上单调递增，所以x+l>2x-3,解得x<4,

显然集合&B<0｝是集合&|x<4｝的真子集，

所以“x<0”是"G+D>e4/（2x-3）„的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据,Q）一/Q）>°构造函数，并将不等式

ex_/G+l）>e4/（2x-3）变形,利用单调性解不等式即可得结论.

9.BD

【分析】根据斜率及点斜式判断A选项；根据轨迹方程判读B选项；根据点到直线距离判断

C,D选项.

【详解】由倾斜角为45。得出斜率为1,,直线/过点（3，°）,得直线/的方程为夕='-3,故选

项A错误；

设0（彳,口）,：|。/|=2怯0|,“0/卜=4怛0|*,.・.（尤-3）+产=4（x2+产）

可得动点。的轨迹为圆C：（X+1）2+V=4,故选项B正确；

因为圆心C（T°）到直线/的距离/+（-），所以由阿耳邙一国偿"一2

可知线段忙9最小值为"一2=2点-2,线段I尸9无最大值，所以选项。错误、D正确.

故选:BD.

10.ABD

兀

]E—-2---=兀

【分析】由8即可判断A,由代入检验法即可判断B,由复合函数单调性、正弦函数

单调性即可判断，通过数形结合以及对称性即可验算.

/（x）=sin（Ox-—（0>0）?=竺=兀

【详解】由函数I3>的最小正周期为兀，得6，所以3=2,故

选项A正确；

所以函数/G）的图象关于点〔J对称，故选项B正确;

5兀

<2X<71

—<x<兀#2-33,所以函刎6）在〔适巧上先减后增，故选项错误;

由12

71[71571

当xe（0,7i）时，Gri'Tsin2x--I=sin2x--I=—>0

依题意有<,3><23>3

结合图象可知，।3232,即।26,

(\5兀

cos\x+xJ=cos——=---

所以I262,故选项D正确.

故选：ABD.

11.ABD

【分析】根据奇函数的定义可判断选项A；先利用导数判断函数/G）在（。，"°）上的单调性,

求出最值，再结合奇函数的性质作出了G）的大致图象可判断选项B；先将函数

g（x）=/（x）一加有三个不同的零点转化为函数y=与了=加的图象有三个不同的交点，

再利用函数/G）的大致图象可判断选项C;结合函数/G）的大致图象求出

再根据『STYIV/QL-/々L即可判断选项D.

［详解］因为/(°)=°；当"0时，/G)+/(-x)=xln|x|-xln|x|=0

所以/G）为奇函数,

则/G）关于点（°'°）对称，故选项A正确;

当x>0时，/&）=尿+1

'/Q)在

又由/G）=+8,可得/G）的大致图象如下所

故选项B正确；

因为函数gG"/Q）一加有三个不同的零点,

所以函数v=/Q）与>=机的图象有三个不同的交点.

由图象可得：实数加的取值范围是,故选项C错误;

因为/（1）=。，/（-1）=0

=

V—F（Y）11/（X）f

所以结合函数'一八’的图象可得：当XCL1,1」时，max

/G)=/

min

xxe(-l1)|/G)-/(X|V/G)-7'(x)=-

所以对任意1'2J,12maxmine,故选项D正确.

故选ABD.

12.ACD

【分析】对于A,只需证明4，区°三点都在平面4so与平面/cqq上（即在交线上）即可

判断；对于B,首先证明“q，平面/产”，然后通过解三角形知识即可验算；对于c,首先

得出过点尸的平面截该正方体所得的较小部分为三棱台。尸G-"Bq,结合棱台体积公

式验算即可；对于D,首先算出百°广2的，"-18=%再4=1屿，

S小尹「白6无x66X4=18出

【详解】由已知。/Cu平面ACCA,EEAC^平面ACCA^A^e平面/84,

又0eBDu平面ABD,Ee平面ABD,4e平面//D

与平面NCC4的交线上，即4,瓦。三点共线，故A正确;

因为°F,平面/2。闻U平面ABCD

所以皿qc

又BDlAC,ACnCC=C,AC,CCcz平面/c£4,

所以平面/cqq,

又/Qu平面NCC4

所以瓦

同理可得4'

因为BDcAB=B,BDABu亚福4BD

1平面1

心、）AC±中市4BD则的长度就是点q到平面4"1的距离,

所以I平面Iof

显然£为正三角形4"的中心,

e立T'zjrABCD—ABCD/,L-Li/立

因为正万体iiii的棱长为4A,

2>/3,,-476

所以正三角形4'”的边长为4。，所以1-3X^~X〜一一二

28E

CE=ylAC2—AE2=(472)2-E

-4口，所以1

85/3

即点q到平面4"的距离为了，故B错误;

取巳。的中点G,连接/GG/产，因为FG11CDIIV

所以等腰梯形尸G就是过点4,昆尸的平面截该正方体所得的截面,

所以过点411的平面截该正方体所得的较小部分为三棱台ORG-NR%

r=-G+S+X[S~S)-71D=iG+8+>/2^8)x4=—

其体积为3"G5V.DFG…33,故c正确；

过点尸且平行平面的平面截该正方体，所截得的两个多面体全等，如下图所示,

该七面体能容纳的最大球亦为正三棱锥为一4、巳的内切球（如下图所示）,

BD=6y[2,AD=1（3应）2+（3点）2=6

2222N，

设Q为△色?的中心，贝『《告460=2m高?”硬书=2“,

设正三棱锥一2qq的内切球的半径为，

V=-AOS=lrG+S+S+S）

则3213s,5再4,①

在△々qq中AD=4C=6,C。=65/2

222222

S=lx6^x6V2x^l=18V3

s=18=S=s当c也22

何^A2C2D2^A2B2D292c2，

6

=3—\/3

代入①，得3+4故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是准确画出图形计算正三棱锥汽-qqq的表面积体

积，由等体积法即可顺利得解.

8

13.9

【分析】由二项分布的概率计算公式运算即可得解.

X~尸（X21）=C1x-xfl-->|+C2xf-Y=-

【详解】因为I3人所以23I3>2<3J9

8

故答案为：9.

14.32

【分析】由递推式向=2"推导出｛方）构成一个等比数列，利用等比数列的通项公式即可

求得（要注意下标为连续的偶数，计算时项数应是下标的一半）

—wi2=2（1

【详解】因为Z+L?",所以、：*+2=2向，两式相除得a„,故数列巴J是公比为

2的等比数列，

由。2=2,所以，,="2.25一=25=32.

故答案为：32.

15.3

ex-i=l-x>0

2

ex-iU-xJ=­a——

【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到112,从而得解.

【详解】由已知直线/与曲线G：kei相切于点0&，e『），

因为了=ei,所以直缴的方程#-evl=e中G_5）,即尸e『x+e『（1-x）,

C:y=_•-(x-l)2Q\x—(x-l)2

又直线与曲线22相切于点<222

>>+—(x_1>=-(X-l)(x-x)

因为'一一5一”，所以直线’的方程为2222

ex-i=1-x>01-x>0

22

即尸（1》+早<(.\X2-1\X2-1

ex-\\[-x)=^——(1-X)(1-X

12:

，所以I，所以I212

1X+1

1-X———3o_Q

即I2,所以留一“2=3

bz

~y——jc

其次由题意由点差法得M3a2”①，同理

，上X2二

N3a2N②,由P,M,N三点共线，所以％-尤。己7。，代入得3sX。结

合离心率公式即可得解.

【详解】

由题意，

,„A(x,y\B(X,y\D(X,y),E(x,y),P(x,y\AB...^M(x,y\DE.

吠1122334400的中原MM的甲总

N(x,y)

NN,

X22

T44

--,

Q22=1x+,

12J-y_bl

x22-------i------

4

去XXyy

『1-=11~2-i~l-0X]+X[\-x,al

〃22

,两式相减，得mb2,化简得2-12

bix_y1-y3bib2

---------地---__3y-xy=---x

所以"24'J"，所以"3或〃①,同理N3a2N②,

工=2^2；

11

因为48DE,所以尸，MN三点共线,亦[、/X-XXT

/TTM0N0»

Z>2b2

—x-y—x-y

3Q2M0_3〃2N0=0

将①②代入得\-x(

区上=0处＞3

因为所以3GX。，所以。2

—

所以双曲线C的离心率为。2

r…,击井闰、/2,、,同）口（'访,+00

所以双曲线C的离心率的取值范围为L

故答案为:

t>2bl

y-...xy=---x

【点睛】关键点睛：关键是用点差法来得到M3a2"①，同理N3a2”②，结合

三点共线以及离心率公式即可顺利得解.

17.⑴。“=2"T

（2）证明见解析.

【分析】（1）由已知条件，列出关于等差数列的首项与公差的方程组，进行求解即可.

（2）利用裂项相消求出再结合不等式的性质证明

【详解】(1)设｛"J的公差为d,

5(a+3d)+5a+d=60,

<ii2

7。J*6d-49,

依题意可得12

[2彳+5d=12,=1,

即1%+3d=7,解得jd=2,

七~a-a+G-1)(7=1+G-1)X2=2H-1

所以〃i

(1+2〃-1)〃

S=-----------=〃2

(2)由(1)可得〃2,

b7=--2n-+-l-=—1—---1-

所以〃〃2(〃+1)2〃2(JI4-1)2

<1

(〃+1)2

18.(1)300

（2）0.8186

3

（3）分布列见解析，数学期望为5

【分析】（1）由直方图中每个区间中点值乘以相应频率再相加可得；

（2）根据正态分布的概率性质计算；

（3）随机变量y的可能取值为分别求出其概率后得分布列，再由期望公式计算期

望.

【详解】（1）估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值为：

x=205x0.1+255x0.2+305x0.45+355x0.2+405x0.05=300

..•X~N（300,502）

P（250<^<400）=P（|i-ey<.¥<n+2cy）»06827+°~9545=0.8186

22

（3）由题设可知抽取的6架新能源无人飞机中，卓越/型、卓越3型和卓越°型的架数分别

为3架、2架和1架，随机变量y的可能取值为°』",3.

P(y=o)=2HC1C29

C3C320

66

22”詈吟…3”詈片

66

随机变量Y的分布列如下表:

Y0123

1991

P

20202020

£，(K)=0x—+lx—+2x—+3x—=—

202020202

19.(1)120°

(2)15。

【分析】（1）利用两角和的余弦公式，二倍角余弦公式，诱导公式将条件式化简，求得

cosN的值得解；

(2)设/N2C=a,由正弦定理求得EC/。，结合条件5。二乔/。，求得2a-5，结合

角0的范围求得结果.

【详解】(1)因为5由/"0与11//。3+1=。054'0-054。5—。。52次,

所以l+cos2/=cosN45C—05/4(73-sin乙43c与1144。5,所以2cos2A=cos(ZABC+ZACB)

^A+ZABC+ZACB=180°；所以2cos2"=cos"80。即2cos2/+cos/=0

cos/--1

解得cos一］或者cos/=0,又A为钝角，所以N=120°.

（2）设乙4BC=a,四边形内角和为360。，

由（1）的结论知：a+NE=90。，

BC_AC.=-na』na

在“8C中，由正弦定理得：siir4sina,即sinA3

EC_BCRC1

EC=——sinZCBE=——

在ABCE中，sinZCBEsinE1,即sinEsinE

EC=y/3AC,:.4sina=―1—

又sinE,

则4sinasin（90。-a）=1,即4sinacosa=1,即向2a一2

A=12Q°,A+a+ZACB=180°,.,.0<a<60°gp0<2a<120°

.•.2a=30。,即a=15。,即N/3C的大小为15。

20.(1)证明见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)先证平面尸8C,得PBLDE,根据线面垂直的判定即可证;

大红「

(2)利用空间向量法可求2或九=12,然后利用体积公式即得.

【详解】(1)因为W底面/BCD/Cu底面/BCD,所以W3C,

由底面4sCD为长方形，有BC,CD,而尸OcCD=D,尸2cDu平面PDC,

所以8C_L平面尸CD,而。Eu平面PDC,所以8C_LD£,

又因为尸D=C。，点E是PC的中点，所以DE,PC,

而尸CcCS=C,PC,C3u平面P5C,所以DEJ_平面尸SC,

而PBu平面PBC,所以尸

又DF上PB,DEcDF=D,DE,DFu平面DEF,

所以「8,平面。跖.

（2）由已知两两垂直，以。为坐标原点，射线04℃,。尸分别为x，％z轴的正半轴,

建立空间直角坐标系.

因为DC=2,BC=}DC,则。（0,0,0）,"0,0,2）,5（2九,2,0）,。（0,2,0）,点£是「（7的中点，所

以£（0,1,1）,

由⑴PB1平面DEF,又收=（2儿2,-2）

所以取平面DEF的法向量为"=（入，1，一1）

设平面DE8的法向量为"=G,%Z）,又£>E=（0,l,l）m=3,2,0）,

DE•〃=y+z=0,尸—Z,_

<—►

）=一九羽令得〃（一九，九）

所以=2九x+2y=0,即1=],=1,

J2九2+132+210

入交

当1■时，BC3,

=jSPD=1x2x72x2=^^

V

所以A皿3皿33

当九=&时，BC=2收,

V=-SPD=-x2x242x2=^-

所以P-ABCD3皿33.

21.⑴/G）在（一叫一。上单调递增，在（TQ）上单调递减，在（°，甘°）上单调递增

1

—00,---

⑵e2

【分析】（1）直接由ra）＞°得增区间，由/'（、）＜°得减区间;

「1、xInx-%2+x

xe[—,+oo）a＜---------------

（2）问题转化为对任意e,a恒成立，引入函数

7/、xlnx-%2+xl、

〃(x)=------------,XG[r—,+8)

e%,利用导数求出〃（x）的最小值即可.为此需要求出则

(l-x)(lnx-x+

一,并令中（口=皿-》+2,则中6）=不确定存在1＜一2时,

ex

“，（、0）二°,然后得出〃⑴的极值，比较以修和Ke-）的大小即可得.

f（x）=xex--%2-x

【详解】（1）由。=1得函数2,

匕r2/'G）=G+l）ex=（x+l）Gx-1）

所以，

令/'Q）＜0得一1＜%＜0,令/'G）＞。得或x＞0

所以/G）在J0—）上单调递增，在（T°）上单调递减，在（°产）上单调递增.

1

/(X)<X2Inx-X3+—X2-x一,+C0

(2)由2，得axQx<X2Inx—X3+%2,又

1、x]nx-x2+x

XG[-,4-00)a<

所以ae*Wxlnx—m+x,即对任意eCx恒成立,

2）

x\nx-x2+x，尤e[l,+s)〃(x)=(j)(lnxT+

h(x)=

令e则ex

令(p(x)=hKF+2,则8G”一

1＜%＜1(p"(x)<0

所以当e时,当》＞1时,

所以中（°在上单调递增，在"'”）上单调递减,

(p(l)=1-->0,(p(l)=1>0,(p(e2)=4-e2<0

又ee

1一1时，中（0在Q®）内存在唯一的零点％,

xe一,+8

所以当e

XG时，（P（x）＞0,”（x）＞0,〃（x）单调递增，当xe（l,x。）时,

所以当

(pG)>0,h'G)<o,hG)单调递减,

当xeQ，M)时，心)"，"(“;°，“。单调递增,

={/7(X),〃(1)}

A(x)

所以m,n0emin

h乂①(x)=血-x+2=0t；<>\»Inx—x+1=—1,x=

因为000>/TIooo

7/、xInx-x2+xx(Inx-x+1)-x-e%-21

/z(x)=—0000-=—000=——0-=------------=———

所以。气气ex0ex0e2,

4.A(—)>h(x)〃(x)=h(x)=--

因为-e?e>—e-2,所以e°,所以-°e2,

1

-w?--------

所以实数。的取值范围为e2

【点睛】方法点睛：本题利用导数研究不等式恒成立求参数范围，可通过分离参数法转化为

7/、x\nx-x2+xrl、

n{x)=--------------------------,x6+oo)

求新函数的最值.难点在于新函数以e的最值，求出导函数

“(x)_(l-x)(lnx-x+2)

''一最后其零点不能直接确定，需要对其中的一部分函数

(p(x)=lnx-x+2进行定性确定零点二(利用层层确定其存在性及范围)，然后确定“(/)是极

K-)

小值，还要与e(端点处函数值)比较.

X2V2

--+---=1

22.(1)62

71

(2)2,3

e=—=^-,a-c=V6-2

【分析】(1)由题意。3,结合平方关系即可得解.

(2)由题意设/(「»)'8G2'八)，直线’的方程为了=*6-2),联立椭圆方程，结合韦达定

理、中点坐标公式得"坐标，ON方程，联立》=3进而得