数学高二-2023-2024年广东新高考高二（上）数学期末模拟卷

2023-2024年广东新高考高二(上)数学期末模拟卷

一.选择题(共8小题，满分40分，每小题5分)

1.(5分)已知直线的方程为尤-y+l=0,则该直线的倾斜角为()

A.-B.-C.—D.—

6436

【答案】B

【详解】直线x-y+l=0的斜率6=1,

设其倾斜角为。(0飞。<180。)，

tan。=1,得。=%.

4

故选：B.

2.(5分)已知等差数列伍」中，a2+a7=18,则数列｛4｝的前8项和Sg等于()

A.42B.50C.72D.90

【答案】C

【详解】根据题意，等差数列｛%｝中，a2+a7=18,

则$=(%+/)x8=(%+%)x8=18x8=72

'8-2-2~2~'

故选：C.

3.(5分)已知向量万=(1,1,x),b*(-2,2,3),若(2"杨而=1,则x=()

A.-3B.3C.-1D.6

【答案】B

【详解】向量用=(LLx),3=(-2,2,3),

则2%一行=(2,2,2%)-(-2,2,3)=(4,0,2尤-3),

(2a-byb=l,

贝!］一8+3(2%—3)=1,解得x=3.

故选：B.

22

4.(5分)运用微积分的方法，可以推导得椭圆与+2=1(°>6>0)的面积为万湖.现学校附近停车场有一

ab

辆

车，车上有一个长为7加的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为3m,短轴长为L8〃z,

则该储油罐的容积约为0rg3.14)()

A.20m3B.30m3C.40m3D.50m3

【答案】B

【详解】长为7〃z的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为3m，短轴长为18”，

3

可得。=一，b=0.9,/?=7,

2

3

所以该储油罐的容积：^Wi=3.14x-x0.9x7«30(m3).

故选：B.

5.(5分)已知A(2,-3),2(2,1),若直线/经过点尸(0,-1),且与线段AB有交点，则/的斜率的取值范围为

()

A.(-00,-2]|J[2,+00)B.[-2,2]

C.(-00,,+00)D.[-1,1]

【答案】D

【详解】已知4(2,-3),2(2,1),若直线/经过点尸(0,-1),且与线段有交点,

如图所示：

则/的斜率的取值范围为[-1,1].

故选：D.

6.(5分)如图，在直三棱柱中，AAt=AC=BC,且AC_L8C,已知E为BC的中点，则异

面直线AC与所成角的余弦值为()

C3加D,巫

'1010

【答案】B

【详解】在直三棱柱ABC—A瓦G中，AAi=AC=BC,且ACJ.BC,

以C为坐标原点，以CA所在直线为x轴，C8所在直线为y轴，CG所在直线为z轴，建立空间直角坐标系,

设例=AC=2C=2,又E为BC的中点，

则A(2，0,2),C(0,0,0),£(0,0,2),E(0,1,0),

AC=(-2,0,-2),QE=(0,1,-2),

则异面直线AC与CE所成角的余弦值为：

c4_Vio

|cos〈不，印>|=5.吧

A

\\E\-\CXE\Vs-/55

7.(5分)已知数列｛风｝满足q=1,%+(-1)"%+1=1-,记数列｛%｝的前w项和为S“，贝1)邑023=(

)

A.506B.759C.1011D.1012

【答案】A

【详解】由题思，可得S2023=+。2+…+。2023

=%+(<^2+%)+(〃4+%)+,,,+(〃2022+。2023)

242022

=1+(1---------)+(1---------)+.•.+(1---------)

202220222022

2022242022

=l+lx---------(-------+

2202220222022

1+2+…+1011

=1012-

ioii

1011x10121

=1012-

2Ion

=506.

故选：A.

8.（5分）已知正方体ABC。-44G2的内切球的表面积为左，P是棱BB]上一动点,当直线G。与平面

AGP的夹角最大时，四面体D-AG尸的体积为（）

A.-B.-C.-D.-

4369

【答案】A

【详解】建系如图，•.•正方体的内切球的表面积为不，

.•・易得正方体的棱长为1,

・•・4（1,0,0）,G（0,1,0）,0（1,1,1）,设尸（0,0,t）,Ze[O,1],

qo=（1,0,1）,QA=（i,-i,o）,4?=（-i,o,r）,

设平面AGP的法向量为五=（x,y,z）,

…n-CA=x-y=0寸

则L，取力=«//），

n-=-x+tz=0

：.直线cp与平面AGP的夹角的正弦值为：

\QD-n\t+1互J(f+1)2

Icos<C\D,五>|=2

\QD\\n\血),2j+1~2\2t+]

令，+1=〃,,//G[0,1],WG[1,2],

V2I(t+i)2_V|I”2_7|

N2?+l―~2.12/—4〃+3―

令v=L•/we[1,2],ve[—,1],

u2

V2i_V2Ii_V2Ii1”

yuu2y33

，当v=2,即_L=2,即,=工时，直线q。与平面AG尸的夹角的正弦值取得最大值，

31+1321"I

此时直线G。与平面AGP的夹角也最大，

当直线G。与平面AG尸的夹角最大时，P为棱8月的中点,

此时平面4QP的法向量n=（；,：/），又杀=（1,0,1）,

点D到平面AGP的距离为IQDIIcos<QD,n>|=

1«1

又易知此时AP=GP=5-，AG=^2,

.•.△4£尸的面积为；、后、导；=?，

此时四面体。-AGP的体积;x*xg=；,

二.多选题（共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.（5分）设｛3,b,a是空间一个基底，则下列选项中正确的是（）

A.若bLc,贝!

B.a+c,b+c,0+2一定能构成空间的一个基底

C.对空间中的任一向量力，总存在有序实数组（x,y,z）,^p=xa+yb+zc

D.存在有序实数对，使得5=切+

【答案】BC

【详解】对于A，a,b,不能得出N_L5,也可能是。、5相交不一定垂直，选项A错误;

对于3,假设向量方+B,b+c,1+0共面，则%+B=x(彼+5)+y(5+%),x、y&R,

化简得(x+y)3=(l-x)B+(l-y)a,所以N、B、5共面，这与已知矛盾，所以选项8正确;

对于C,根据空间向量基本定理知，对空间任一向量p，总存在有序实数组(x,y,z),i$,p-xa+yb+zc,

选项C正确；

对于。，因为｛2,b,3｝是空间一个基底，所以。与3、E不共面，选项O错误.

故选：BC.

10.(5分)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心尸为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地

点A(离地面最近的点)距地面千米，远地点2(离地面最远的点)距地面"千米，并且尸、A、B三

点在同一直线上，地球半径约为E千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c,贝lj(

)

A.a-c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=+R)(n+R)

【答案】ABD

【详解】设椭圆的长半轴为。，短半轴为。，半焦距为c,则由题意可知：a-c-R=m,a+c-R=n,可

得a-c=in+R,所以A正确；a+c=R+n,所以2正确；

—TZHm+n„n-m

可得a=------+R,c=-----.

22

则/=/_/=(m+n+R)「(匕坊=(m+R)(”+R).

22

则6=J(〃z+R)(〃+R).所以。正确；

故选：ABD.

11.(5分)已知直线/:x-y+5=0,过直线上任意一点M作圆C:(X-3)2+V=4的两条切线，切点分别为

A,B,则有()

A.|M41长度的最小值为40-2

B.不存在点M使得为60。

C.当|MC|・|AB|最小时，直线A3的方程为x-2y-l=0

D.若圆C与x轴交点为尸，Q,则亚•丽的最小值为28

【答案】BD

【详解】由题知圆C的圆心为(3,0),半径为厂=2,

因为圆心(3,0)到直线/:x-y+5=0的距离为〃=*=4四，所以|MC京=4日

对于A：

所以1跖^“=4〃5加2一/=2而，

对于8：假设存在点M使得为60。，如图，则NAMC=30。，

故在RtAAMC中，|MC|=2r=4,

由A知|MC|,“加=4板>4,故矛盾，即不存在点M使得为60。，故2正确；

对于C：由于故四边形的面积为加»毛电“阴

所以A8|=4|M4|,故当最小时，|M41最小，由A选项知|M41“而=J|MC|丁-户=2s,

此时MC，/,1//AB,即直线A2的斜率为1,由于直线x-2y-l=0的斜率为g,故C错误；

对于。：由题知尸(1,0),2(5,0),设M(x,x+5),

MP-MQ=(l-x,-x-5)-(5-x,-x-5)=(5-x)(l-x)+(x+5)2=2x2+4x+30=2(x+1)2+28>28,

当且仅当x=T时等号，故而•丽的最小值为28,故。正确.

故选：BD.

12.(5分)如图，棱长为2的正方体A3CO-ABIG2中，E、F分别为棱42、44,的中点，G为面对

角线3。上一个动点，则()

A.三棱锥A-EFG的体积为定值

B.线段用C上存在点G,使平面MG//平面BDC]

C.当函=；西时，直线EG与BQ所成角的余弦值为:

D.三棱锥4-EFG的外接球半径的最大值为半

【答案】ACD

【详解】对于A,VAl-EFG=VG-AlEF=--l-l-2=-,所以A正确；

323

对于B,若存在Ge线段用C,使平面EPG//平面BOGGe线段用C,因为平面4与。交平面EFG与平

面BDQ分别为NG与DM,

于是NG//DW,G应在Cg的延长线上，所以2错；

对于C,以在为原点建立如图所示的空间直角坐标系，当M=j函时，则G§，2,|),£(1,0,2)

8(2,2,0),G(0,2,2),所以的=(；,2,-1),BCl=(-2,0,2),所以cos〈函，

EGBCt-21

2

所以直线EG与3c所成角的余弦值为g,所以C正确；

对于。，当G在C点时，三棱锥A-EPG外接球半径最大，连接A。交E尸于点N,则N为£尸的中点，

因为三角形AEF为直角三角形，所以外接球的球心在过点N且垂直于面A或7的直线N"上，NH与B、C交

于H,设球心为O,

如平面展开图，设半径OC=OA=R，因为ANugEFu]，AD=2四,所以CH=DN=喙,

所以ON=JOA；-4储=*_(争2,OH=V(9C2-CH2=卜_(半y,

由ON+OH=2,可得JR2-(争2+*一考);=2,解得R=孚，所以。正确，

故选：ACD.

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）抛物线y=Y的焦点坐标是.

【答案】（0一）

4

【详解】•・・抛物线y=即£=），

1p1

「.〃=一,—=一,

224

焦点坐标是（0,；）,

故答案为：（O.;）.

14.（5分）过点尸（-2,3）作圆E:x2+y2_4x+2y=0的两条切线，切点分别为M,N则直线MN的方程

为

【答案】4x-4y-7=0

【详解】圆E的标准方程为(x-2y+(y+l)2=5,

设切点"(％,%),N(X2,女)，

则切点所在的切线方程为：(占一2)(x-2)+(%+l)(j+1)=5,(x2-2)(x-2)+(y2+1)(y+1)=5,

因为点尸在切线上，

所以(Xj—2)(—2—2)+(%+1)(3+1)=5>即—4(X]—2)+4(%+1)=5，—4(x2-2)+4(%+1)=5，

所以M,N在直线-4(尤-2)+4(y+l)=5上,

即MN的直线方程为4x-4y-7=0,

故答案为：4x-4y-7=0.

15.(5分)已知O为坐标原点，直线/:y=fcv+r与椭圆C:鼻+2=l(a>b>0)交于A,8两点，P为AB

ab

的中点，直线。尸的斜率为%.若-;〈我。<-},则椭圆的离心率的取值范围为.

【答案】g,1)

【详解】设A(玉，y),B(X2,%)，P(x0，%)，

贝=%0=A±^,yo=A±A,

-x222

22

所以治=&=之土21,所以线=21rzq，

x0x1+x2%一x2

将A,B两点坐标代入椭圆方程可得：<

两式作差可得：立二3+"『=。，

ab

0。="一为:=£,则-然-与<」，

所以加

%-%a4〃3

3

即2〉4>-,所以』<l-e2<3,即•l<e2<2,

4a233443

所以工V6

<e<——,

23

i圆的离心率的取值范围为(g,半).

所以推

为:j，)-

故答案

16.（5分）在棱长为1的正方体ABCO-AACiR中，M,N分别是AO,8出的中点，动点尸在底面正

方形ABC。内（包括边界），若百尸//平面AMN,则CP长度的最大值为.

【答案】叵

4

【详解】如图，以正方体的顶点A为原点，AB,AD,A4,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

c

则A(0,0,0),8(1,0,0),C(l,1,0),。(0,1,0),4(。，0，1)，瓦(I,0，1)，C(l,1,1),

q(0,1,1),M(0,0),N(l,0,1),

动点尸在底面正方形ABC。内(包括边界)，则设P(x,y,z),且x,ye[0,1],

则肝=(x-l,y,-1),设平面AMN的法向量为五=(a,b,c),

——1——■1

A,N=(1,0,-),AtM=(0,-,-1),

a—c—0

2,取c=2,则平面AMN的法向量力=(1,4,2),

-b-c=0

、2

因为qP//平面4MN,所以肝•力=x—l+4y—2=0,即％+4y—3=0,

贝lj%=-4y+3e[0,1],所以

222I94

则ICP।=7(^-i)+(y-i)+o=而72-18y+5=17(y——y9+—,

1717

由二次函数的性质可得当y=!时，|CP|=L,y=3时，|。尸|=姮＞,，

22442

所以CP长度的最大值为姮.

4

故答案为：叵.

4

四.解答题(共6小题，满分70分)

17.（10分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过坐标原点。和点4（3,6）.

(1)求圆C的标准方程；

(2)求过点尸(4,4)与圆C相切的直线方程.

【答案】(1)(X-2)2+/=4；(2)x=4或3尤-4y+4=0

【详解】(1)根据题意，圆C的圆心C在无轴上，设其坐标为(a,0),圆C的半径为厂，

又由圆C经过坐标原点。和点A(3,V3).

r=\a\,则有/=(a-3y+(0-,

解可得。=2,

则，=2,

则圆C的标准方程为(％-2)2+y2=4,

(2)根据题意，圆C的标准方程为(x-2y+y2=4,

若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为x=4,与圆C相切，符合题意；

若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y-4=A;(x-4),即Ax-y+4-4k=0,

若直线/与圆C相切，且有12"4--|=2,

解可得：k=—,

4

又由直线经过点(4,4),则直线I的方程为3%-4y+4=0.

故直线/的方程为％=4或3x—4y+4=0.

18.(12分)已知数列a｝为等差数列,S“是其前n项和，且S3=15,q+/=16.数列也,｝中，々=1,

(neN*).

(1)分别求数列｛为｝,｛〃,｝的通项公式；

(2)求数列｛%+4｝的前〃项和7；.

【答案】(1)an=3n-l；2=(；)"，(2)+

【详解】(1)设等差数列的公差为d,因为S3=q+%+/=15，4+4=16.

所以3a2=15,2%=16,所以〃2=5，/=8，

所以公差d=%—%=3，所以首项q=%—d=2,

所以数列｛an｝的通项公式为4=4+(〃-l)d=2+3(几-1)=3〃-1,

数列电｝中，伉=1,b〃+i=；bn(neN*),

所以数列｛2｝是首项为1,公比为;的等比数列，

所以4=g)"T.

(2)数列｛〃〃+1｝的刖几项和Tn=4+%+…+。〃+4+么+…+”〃

_/i(2+3«-l)1-4r

2

=3〃；+"+2_(；)"-.

19.(12分)如图，在四面体A8CD中，平面BCD,M是A。的中点，尸是8M的中点，点。在线

段AC上，且4Q=3QC.

(1)求证：尸。//平面8。；

(2)^DA=DB=DC=4,ZBDC=90°,求AC与平面BQW所成角的余弦值.

【答案】⑴见解析；⑵4

【详解】(1)证明：过尸作PS//MZ),交BD于S,过。作QR//MD,交CD于R,连接RS,

•••PS//MD,P是8/的中点,

;.S是BD的中点，S.PS=-MD,

2

•••QR/1MD,AQ=3QC,M是4。的中点，

:.QR=；AD=；MD,

:.QRIIPS,且QR=PS,四边形PQRS为平行四边形，PQ//SR,

•••尸。仁平面BCD,SRu平面BCD,

尸。//平面BCD.

(2)以。为坐标原点，DB,DC,ZM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则A(0,0,4),8(4,0,0),C(0,4,0),P(2,0,1),Q(0,3,1),

则就=(-4,0,2),MQ=(Q,3,-1),AC=(0,4,-4),

设平面2QM的一个法向量为元=(无，y,z),

则(_.,取y=2,得行=(3,2,6),

n•MQ=3y-z=0

设AC与平面BQW所成角为。，

\AC-n\277

则sin。=

\AC\-\n\7

则AC与平面BQM所成角的余弦值为：cos0=（停了=浮.

2

20.（12分）记直线/:y=fcr为曲线E:x?-'=l（x?l,y》。）的渐近线.若A（L。），过A作x轴的垂线交/于

点片，过用作y轴的垂线交E于点4,再过人作x轴的垂线交/于点与…依此规律下去，得到点列A,4,

…，4和点列4，与，…，B”,"为正整数.记立的横坐标为%,1041=2.

（1）求数列｛2｝的通项公式；

（2）证明：t段+8）4＞（2川+5/7+2）册（磋2）.

k=\

【答案】（1）2=衍4；（2）见解析

2

【详解】（1）由直线/：＞=区为曲线E：/-±=l（尤＞,y20）的渐近线，

4

可得直线/的方程为y=2x,

可得4（1,0）,4（1,2）,4（夜，2）,B2（V2,2V2）,4（百，20）,耳（百，26），

4(2,2®,司(2,4),

贝！J4=1,<7,=y/2,a3=V3,tz4=2=,an=-4n；

4=1,b2=V6,b3=V1T，仇=V16，,bn=-4；

(2)证明：运用数学归纳法证明.

(鬣+8)%=(54+4)加，

当〃=2时，原不等式的左边=9+14亚，右边=20后，由9<6后，则原不等式成立；

设〃=4(左》2)时，9+1472+...+(5k+4)&>(2/+5k+2)&，

当"=左=1时，9+14夜+…+(5左+4)々+(5k+9)VTF1>[2.k2+5k+2)4+(5k+9)s/k+l,

要证原不等式成立，即证(2k2+5k+2)五+(5k+9)VI+1>[2(左+1)2+5(k+1)+2]VI+1,

上式化为(2k2+5k+2)五>(242+4QJETI，即为(2k+1)(左+2)&>2k*+2)VI+1，

即为（2左+1）4>2旌历工1,两边平方可得4犬+4/+%>4犬+4/，该不等式显然成立,

所以〃=k+1时，原不等式也成立.

所以+8)以>(2/+5〃+2)人(心2).

k=l

21.（12分）已知圆□:/+丁=4上的动点M在x轴上的投影为N,点c满足CN=JMN.

-2

（1）求动点C的轨迹方程C；

（2）过点P（l,0）的直线/与C交于A,2两个不同点，求AOAB面积的最大值.

【答案】（1）二+反=1；（2）男

422

【详解】（1）设C（x,y）,动点由CN=汽-MN,可得根=X，n=41y,

...河(相，〃)在圆口：/+〉2=4上,...m2+