2024届浙江省杭州市江干区中考数学最后冲刺模拟试卷含解析

2024届浙江省杭州市江干区中考数学最后冲刺模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，在R3ABC中，/ACB=90。，BC=12,AC=5,分别以点A,B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作

弧，相交于点E,F,过点E,F作直线EF,交AB于点D,连接CD,则△ACD的周长为（）

A.13B.17C.18D.25

3

2.若分式——在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（

x+1

A..—1B.x<—1C.x——1D.XH—1

3.下列运算正确的是（）

A.a12-ra4=a3B.a4*a2=a8C.(-a2)3=a6D.a*(a3)2=a7

4.如图，。是ABC的外接圆，已知NABO=50，则/ACB的大小为（

C.45D.50

C.(3ab)2=6a2b2D.a6-?a3=a2

6.明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼•明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）.明明从A

地出发，同时亮亮从B地出发•图中的折线段表示从开始到第二次相遇止,两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的

函数关系的图象，贝！］（）

A.明明的速度是80米/分B.第二次相遇时距离B地800米

C.出发25分时两人第一次相遇D.出发35分时两人相距2000米

7.某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）

动时间（小时）33.544.5

人数1121

A.中位数是4,平均数是3.75B.众数是4,平均数是3.75

C.中位数是4,平均数是3.8D.众数是2,平均数是3.8

8.下列说法中，错误的是（）

A.两个全等三角形一定是相似形B.两个等腰三角形一定相似

C.两个等边三角形一定相似D.两个等腰直角三角形一定相似

9.规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a/））有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍,则称这样

的方程为“倍根方程”.现有下列结论：①方程x2+2x-8=0是倍根方程；

②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则2=±3；

③若关于x的方程ax2-6ax+c=0（a/0）是倍根方程，则抛物线y=ax2-6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2,0）和（4,

0）;

4

④若点（m,n）在反比例函数y=—的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程.

X

上述结论中正确的有（）

A.①②B.③④C.②③D.②④

10.下列运算正确的是(

A.4x+5y=9xyB.(~m)3*/w7=zn10

C.(x3^)5=x8y5D.a12-ra8=a4

11.如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）

12345-10123

-1-2012-2-1012

12.已知a为整数，且g<a〈逐，则a等于（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.方程,=」一的解是.

2xx+1

14.某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼（原首钢老厂区的

筒仓）20m的点3处，用高为0.8加的测角仪测得筒仓顶点C的仰角为63。，则筒仓的高约为m.（精确到

0.1m,sin63°a0.89,cos63°=：0.45,tan63°=1.96）

15.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球•每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任

意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中小

球的个数是.

16.对于一元二次方程f―5%+2=0,根的判别式4ac中的b表示的数是.

17.如图，在口ABCD中，用直尺和圆规作NBAD的平分线AG,若AD=5,DE=6,则AG的长是.

18.如图所示，某办公大楼正前力有一根高度是15米的旗杆ED,从办公楼顶点A测得族杆顶端E的俯角a是45。，

旗杆底端D到大楼前梯坎底端C的距离DC是20米，梯坎坡长BC是13米，梯坎坡度i=l：2.4,则大楼AB的高度

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

|n

19.（6分）如图，已知A（-4,-）,m）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=—图象的两个交点，AC±x

2x

轴于点C,BD_Ly轴于点D.

（1）求m的值及一次函数解析式;

连接PC、PD,若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标.

20.（6分）如图，四边形ABCD中，ZA=ZBCD=90°,BC=CD,CE1AD,垂足为E,求证：AE=CE.

士（二日-X+1）,然后从-&VxV6的范围内选取一个合适的整数作为x的值代

x1

入求值.

22.（8分）如图，已知△A3C是等边三角形，点。在AC边上一点，连接30,以50为边在A5的左侧作等边△OE5,

连接AE,求证：A5平分NEAC.

23.（8分）先化简，再求值：。生」/m+2--2],其中m是方程x2+3x+l=0的根.

3m--6m<m-2J

24.（10分）如图，（DO是△ABC的外接圆，FH是。。的切线，切点为F,FH〃BC,连结AF交BC于E,ZABC

的平分线BD交AF于D,连结BF.（1）证明：AF平分NBAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4,DE=3,求AD

的长.

25.（10分）某市对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施进行全面更新改造，根据市政建设的需

要，需在35天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时

间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作，只需10天完成.甲、乙两个工程队单独完成此

项工程各需多少天？若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案,

既能按时完工，又能使工程费用最少.

26.（12分）已知关于x的一元二次方程（X—机）2—2（x—加）=0（加为常数）.

（1）求证：不论，〃为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程一个根为5,求，”的值.

27.（12分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部。的仰角为60。沿坡面

A5向上走到5处测得广告牌顶部C的仰角为45。，已知山坡A5的倾斜角NR4H=30。，45=20米，45=30米.

（1）求点8距水平面AE的高度5"；

（2）求广告牌CD的高度.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、C

【解析】

在RSABC中，NACB=90。，BC=12,AC=5,根据勾股定理求得AB=13.根据题意可知，EF为线段AB的垂直平分

线，在RtAA5c中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=AD=^AB,所以AACD的周长为

2

AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故选C.

2、D

【解析】

根据分式有意义的条件即可求出答案.

【详解】

解：由分式有意义的条件可知：x+lwO,

xH—1，

故选：D.

【点睛】

本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型.

3、D

【解析】

分别根据同底数幕的除法、乘法和塞的乘方的运算法则逐一计算即可得.

【详解】

解：A、a12va4=a8,此选项错误；

B、a4.a2=a6,此选项错误；

C、(-a2)3=-a6,此选项错误；

D、a*(a3)2=a»a6=a7,此选项正确；

故选D.

【点睛】

本题主要考查塞的运算，解题的关键是掌握同底数塞的除法、乘法和塞的乘方的运算法则.

4、A

【解析】

解：AAOB中，OA=OB,NABO=30。；

ZAOB=180°-2ZABO=120°；

；故选

AZACB=,ZAOB=60°A.

5、B

【解析】

分析：本题考察塞的乘方，同底数塞的乘法，积的乘方和同底数塞的除法.

解析：,2丫=。6,故A选项错误；故B选项正确；（3必）2=9层加故c选项错误;小一="3故D选项错误.

故选B.

6^B

【解析】

C、由二者第二次相遇的时间结合两次相遇分别走过的路程，即可得出第一次相遇的时间，进而得出C选项错误；

A、当x=35时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，利用速度=路程+时间可求出亮亮的速度及两人的速度和，二

者做差后可得出明明的速度，进而得出A选项错误；

B、根据第二次相遇时距离B地的距离=明明的速度x第二次相遇的时间—A、B两地间的距离，即可求出第二次相遇

时距离B地800米，B选项正确；

D、观察函数图象，可知：出发35分钟时亮亮到达A地，根据出发35分钟时两人间的距离=明明的速度x出发时间，

即可求出出发35分钟时两人间的距离为2100米，D选项错误.

【详解】

解：第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了3x2800米，且二者速度不变，

c=60-j-3=20,

二出发20分时两人第一次相遇，C选项错误；

亮亮的速度为2800+35=80（米/分），

两人的速度和为2800+20=140（米/分），

明明的速度为14。-80=60（米/分），A选项错误；

第二次相遇时距离B地距离为60x60-2800=800（米），B选项正确；

出发35分钟时两人间的距离为60x35=2100（米），D选项错误.

故选:B.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键.

7、C

【解析】

试题解析：这组数据中4出现的次数最多，众数为4,

•••共有5个人，

•••第3个人的劳动时间为中位数，

故中位数为：4,

故选C.

8、B

【解析】

根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案.

【详解】

解：A、两个全等的三角形一定相似，正确；

B、两个等腰三角形一定相似，错误，等腰三角形的形状不一定相同；

C、两个等边三角形一定相似；正确，等边三角形形状相同，只是大小不同；

D、两个等腰直角三角形一定相似，正确，等腰直角三角形形状相同，只是大小不同.

故选B.

【点睛】

本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换.特别注意，本题

是选择错误的，一定要看清楚题.

9、C

【解析】

分析：①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设，得到西•尤2=2X；=2,得到当再=1

时，％=2,当西=-1时，々=—2,于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点(m,n)在反比

4

例函数y=—的图象上，得到mn=4,然后解方程m-+5x+n=0即可得到正确的结论；

X

％・

详解：①由22X-8=0,得：(x-4)(x+2)=0,解得匕=4,x2=-2,Xj^2x2,或马越玉，

・・・方程x2-2x-8=0不是倍根方程；故①错误；

②关于x的方程％2+ax+2=0是倍根方程，,设冗2=2%,；・%1•x2=2xf=2,:'=±1,

当王=1时，x2=2,当西=—1时，x2=—2,x}+x2=—a=±3,.\a=±3,故②正确；

③关于x的方程a%2-6ax+c=0(a#0)是倍根方程，x2=2,

•・•抛物线y=a/-6ax+c的对称轴是直线x=3,工抛物线y=a%2・6ax+c与x轴的交点的坐标是(2,0)和(4,0),故

③正确；

4

④•点(m,n)在反比例函数y=—的图象上，/.mn=4,解mx2+5x+n=0得

x

28

%=---,%=---->二元,=4再，二关于x的方程mx?+5x+n=0不是倍根方程；

mm

故选C.

点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键.

10、D

【解析】

各式计算得到结果，即可作出判断.

【详解】

解：A、4x+5y=4x+5y,错误；

B、(-m)3*m7=-m10,错误；

C(x3y)5=xlsy5,错误；

D、a124-a8=a4,正确；

故选D.

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

11、D

【解析】

根据数轴三要素：原点、正方向、单位长度进行判断.

【详解】

A选项图中无原点，故错误；

B选项图中单位长度不统一，故错误；

C选项图中无正方向，故错误；

D选项图形包含数轴三要素，故正确；

故选D.

【点睛】

本题考查数轴的画法，熟记数轴三要素是解题的关键.

12、B

【解析】

直接利用若，火接近的整数是1,进而得出答案.

【详解】

；a为整数，且G<a<6,

a=l.

故选：B.

【点睛】

考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1

【解析】

1_1

2xx+l，

x+l=2x,

•*.x=l,

代入最简公分母，X=1是方程的解.

14、40.0

【解析】

首先过点A作AE〃BD,交CD于点E,易证得四边形ABDE是矩形，即可得AE=BD=20m,DE=AB=0.8m,然后

RtAACE中，由三角函数的定义，而求得CE的长，继而求得筒仓CD的高.

【详解】

过点A作交于点E,

'：AB±BD,CD1BD,

：.ZBAE=ZABD=ZBDE=9d°,

二四边形A8OE是矩形，

：.AE=BD=20m,DE=AB=0.8m,

在RtAACE中，NC4E=63°,

CE=AE・tan63°=20x1.96=39.2(m),

/.CD=CE+DE=39.2+0.8=40.0(tn).

答:筒仓CD的高约40.0/n,

故答案为：40.0

【点睛】

此题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数

形结合思想的应用.

15、1

【解析】

根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为1%,然后根据概率公式计算n的值.

【详解】

9

解：根据题意得一=1%,

n

解得n=l,

所以这个不透明的盒子里大约有1个除颜色外其他完全相同的小球.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越

小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.当实验

的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率.

16、-5

【解析】

分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可.

【详解】

解：b表示一元二次方程V—5%+2=0的一次项系数-5.

【点睛】

此题考查根的判别式，在解一元二次方程时程根的判别式△=b2-4ac,不要盲目套用，要看具体方程中的a,b,c的值.a

代表二次项系数，b代表一次项系数，c是常数项.

17、2

【解析】

试题解析：连接EG,

•.•由作图可知AD=AE,AG是/BAD的平分线,

.•.Z1=Z2,

1

/.AG±DE,OD=-DE=1.

2

V四边形ABCD是平行四边形,

ACD#AB,

/.Z2=Z1,

/.Z1=Z1,

，AD=DG.

VAG±DE,

1

•\OA=-AG.

2

在RtAAOD中，OA=^AD2-OD2=A/52-32=4,

；.AG=2AO=2.

故答案为2.

18、42

【解析】

延长AB交DC于H,作EG_LAB于G,贝!IGH=DE=15米，EG=DH,设BH=x米，贝!jCH=2.4x米，在RSBCH中,

BC=13米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=5米，CH=I2米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角

三角形，得出AG=EG=12+20=32（米），即可得出大楼AB的高度.

【详解】

延长AB交DC于H,作EGLAB于G,如图所示：

贝！IGH=DE=15米，EG=DH,

•••梯坎坡度i=L2.4,

ABH；CH=1：2.4,

设BH=x米，则CH=2.4x米，

在RtABCH中，BC=13米，

由勾股定理得:x2+（2.4x）2=132,

解得：x=5,

；.BH=5米，CH=12米，

/.BG=GH-BH=15-5=10（米），EG=DH=CH+CD=12+20=32（米），

,:Za=45°,

.,.ZEAG=90°-45o=45°,

.•.△AEG是等腰直角三角形，

,*.AG=EG=32（米），

/.AB=AG+BG=32+10=42（米）；

故答案为42

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH,得出EG是解决问题的关键.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1）m=2；y=—x+—；（2）P点坐标是（-』，—）.

2224

【解析】

（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）设点P的坐标为尸+根据面积公式和已知条件列式可求得x的值，并根据条件取舍，得出点P的坐

标.

【详解】

解：（1）•.•反比例函数y=:的图象过点1—4,g],

TI——4x-=—2,

2

:点B（-1,m）也在该反比例函数的图象上，

/.-l*m=-29

:.m=2；

设一次函数的解析式为y=kx+b,

由丫=1^+1)的图象过点A、4,g,,B(-1,2),则

k=~

-4k+b=-2

2解得：＜

,5

-k+b=2,七

二一次函数的解析式为y=1.x+j；

(2)连接PC、PD,如图，设+

VAPCA和小PDB面积相等,

11x+4)=；x|-l|x2.L-9

—X—X

2222

【点睛】

本题考查待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是

解题的关键.

20、证明见解析.

【解析】

过点B作BFLCE于F,根据同角的余角相等求出NBCF=ND,再利用“角角边”证明△BCF和ACDE全等，根据全

等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF,从而得证.

【详解】

证明：如图，过点3作5FLCE于尸，

'JCELAD,

：.ZD+ZDCE=90°,

■:NBCZ)=90°,

，ZBCF+ZDCE=90°

:.NBCF=ND,

在小BCF和小CDE中，

ZBCF=ND

<ZCED=ZBFC=90°

BC=CD

:.ABCF义ACDEIAAS),

：.BF=CE,

又,.•/A=90°,CELAD,BFLCE,

...四边形AE歹3是矩形，

：.AE=BF,

：.AE=CE.

1

21、一

2

【解析】

根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从-石VxV6的范围内选取一个使得原分式有意义的整数作

为x的值代入即可解答本题.

【详解】

;(x-1)2.xT-(xT)(x+l)

(x+1)(x-l)'x+1

_(xT)2,x+1

2

(x+l)(x-l)\-l-x+l

_(x-l)/x+1

(x+1)(x-l)x(l-x)

1

=—,

X

当x=-2时，原式=---=—.

-22

【点睛】

本题考查分式的化简求值、估算无理数的大小，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

22、详见解析

【解析】

由等边三角形的性质得出AB=BC,BD=BE,ZBAC=ZBCA=ZABC=ZDBE=60°,证出NABE=NCBD,证明

△ABE^ACBD(SAS),得出NBAE=NBCD=60。，得出NBAE=NBAC,即可得出结论.

【详解】

证明：'.,△ABC,A都是等边三角形，

：.AB^BC,BD=BE,ZBAC^ZBCA^ZABC^Z£)BE=60°,

，ZABC-ZABD=ZDBE-ZABD,

即NA5E=NCAD,

在小ABE^ACBD中，

VAB=CB,

ZABE=ZCBD,

BE=BD,,

：.AABE^ACBD(SAS),

ZBAE=ZBCD=6Q09

:.ZBAE=ZBAC9

：.AB平分NEAC.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解

题的关键.

,m-3m2-9m-3m-211

23J里-j-P*——-----------------j-----------------------------a-----------------------------------------------------------

、八3m(m-2)m-23m(m-2)(m+3)(m-3)3m(m+3)3(m2+3m)>

11

•.•m是方程x?+3x+1=0的根.•••in■-3ni-1—0,即m2+3m=—l，；・原式二3乂(一——•

【解析】

试题分析:先通分计算括号里的,再计算括号外的，化为最简，由于m是方程X?+3x+l=0的根,那么峥,㈠短."一如

可得m2+3m的值，再把m?+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可.

m-3m2-9_m-3m-2_1_1

'题-3m(m-2)m-23m(m-2)(m+3)(m-3)3m(m+3)3(m2+3m)>

11

・・・m是方程x2+3x+l=0的根.，喻,+饼."一捕，即m2+3m=—l,工原式=不7不=一£.

JXI—1I3

考点:分式的化简求值；一元二次方程的解.

24、【小题1】见解析

【小题2】见解析

■>1

【小题3】—

4

【解析】

证明：(1)连接OF

.•.FH切O于点F

/.OF±FH.........................................1分

VBC||FH

；.OF_LBC..........................................2分

.,.BF="CF"................................................3分

ZBAF=ZCAF

即AF平分NBAC.............................4分

(2)VZCAF=ZCBF

又NCAF=NBAF

.\ZCBF=ZBAF..........................................6分

VBD平分NABC

AZABD=ZCBD

，ZBAF+ZABD=ZCBF+ZCBD

即NFBD=NFDB.........................................7分

.*.BF="DF"..........................................8分

(3),:NBFE=NAFBNFBE=NFAB

...ABEFSAABF.........................................9分

DCFF

—即BF2=EFAF..................................10分

.IFBF

VEF=4DE=3.*.BF="DF"=4+3=7

AF=AD+7

21

即4(AD+7)=49解得AD=-

25、(1)甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天；(2)应该选择甲工程队承包该项工

程.

【解析】

(1)设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天.再根据“甲、乙两队合作完成工程需要

10天”，列出方程解决问题；

(2)首先根据(1)中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙

工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成.针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用.

【详解】

(1)设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天.

根据题意得：—+—=1

x2x

方程两边同乘以2x,得2x=3O

解得：尤=15

经检验，x=15是原方程的解.

.,.当x=15时，2x=3O.

答：甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天.

(