高考文数一轮复习课件第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理

第七节正弦定理和余弦定理总纲目录教材研读1.正弦定理和余弦定理考点突破2.

在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况3.三角形面积考点二利用正、余弦定理判断三角形的形状考点一利用正、余弦定理解三角形考点三与三角形面积有关的问题1.正弦定理和余弦定理教材研读2.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况上表中,若A为锐角,当a<bsinA时无解;若A为钝角或直角,当a≤b时

无解.3.三角形面积设△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S.(1)S=

ah(h为BC边上的高).(2)S=

absinC=

acsinB

=

bcsinA.

1.在△ABC中,若a=2,c=4,B=60°,则b等于

()A.2

B.12

C.2

D.28答案

A由b2=a2+c2-2accosB,得b2=4+16-8=12,所以b=2

.A2.(2016北京西城二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin(A+B)=

,a=3,c=4,则sinA=

()A.

B.

C.

D.

答案

B在△ABC中,∵sin(A+B)=

,∴sinC=

.∵a=3,c=4,∴由

=

得

=

.∴sinA=

.B3.(2016北京朝阳一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

acosB+bsinA=0,则B=

()A.

B.

C.

D.

答案

C∵

acosB+bsinA=0,∴由正弦定理得

sinAcosB+sinBsinA=0.又∵A∈(0,π),∴sinA≠0.∴

cosB+sinB=0.∴tanB=-

,又B∈(0,π),∴B=

.C4.(2017北京海淀期中)在△ABC中,cosA=

,7a=3b,则B=

.答案

或

解析∵在△ABC中,cosA=

,∴sinA=

=

,∵7a=3b,∴sinB=

=

×

=

,∵B∈(0,π),∴B=

或

.故答案为

或

.5.(2018北京海淀高三期末)在△ABC中,a=1,b=

,且△ABC的面积为

,则c=

.答案2或2

解析由S△ABC=

absinC=

,得sinC=

,则cosC=

或cosC=-

.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,得c=2或c=2

.6.(2017北京西城期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=3,C=

,sinB=2sinA,则a=

.答案

解析在△ABC中,c=3,C=

,sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a.由余弦定理得9=a2+4a2-2a·2a·cos

,∴a=

.典例1

(2017北京海淀期中)如图,△ABC是等边三角形,点D在边BC的

延长线上,且BC=2CD,AD=

.(1)求

的值;(2)求CD的长.

考点一利用正、余弦定理解三角形考点突破解析(1)∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,又∵BC=2CD,∴AC=2CD,∴在△ACD中,由正弦定理可得

=

,∴

=

=

.(2)设CD=x(x>0),则BC=2x,∴BD=3x.在△ABD中,AD=

,AB=2x,∠B=

,∴由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB,即7=4x2+9x2-2x·3x,解得x=1(舍负),∴CD=1.规律总结(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是

两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中

含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的

正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑

两个定理都有可能用到.(2)解题时注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.1-1

(2018北京海淀期中)如图,△ABD为正三角形,AC∥DB,AC=4,cos∠ABC=

.(1)求sin∠ACB的值;(2)求AB,CD的长.

解析(1)因为△ABD为正三角形,AC∥DB,所以在△ABC中,∠BAC=

,所以∠ACB=π-

.所以sin∠ACB=sin

=sin

cos∠ABC+cos

sin∠ABC.因为在△ABC中,cos∠ABC=

,∠ABC∈(0,π),所以sin∠ABC=

.所以sin∠ACB=

×

+

×

=

.(2)在△ABC中,AC=4,由正弦定理,得

=

,所以AB=

=

=5.又在正三角形ABD中,AB=AD,∠DAB=

,所以在△ADC中,∠DAC=

,由余弦定理得,CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠DAC=16+25-2×4×5cos

=61.所以CD的长为

.考点二利用正、余弦定理判断三角形的形状典例2设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=

asinA,则△ABC的形状为

()A.锐角三角形

B.直角三角形C.钝角三角形

D.不确定答案

B解析由已知及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,即sin(B+C)=

sin2A,又sin(B+C)=sinA,∴sinA=1,∴A=

.故选B.B方法技巧(1)判断三角形的形状,应从三角形的边、角两方面进行思考,主要看其

是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角

形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的

区别.(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.2-1在△ABC中,三边长a,b,c满足a3+b3=c3,那么△ABC的形状为(

)A.锐角三角形

B.钝角三角形C.直角三角形

D.以上均有可能答案

A由题意,可知c>a,c>b,即角C最大,所以a3+b3=a·a2+b·b2<ca2+cb

2,即c3<ca2+cb2.所以c2<a2+b2.根据余弦定理,得cosC=

>0,所以0<C<

,即△ABC为锐角三角形.A典例3

(2017北京朝阳二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

a>b>c,

c-2bsinC=0.(1)求角B的大小;(2)若b=

,c=1,求a和△ABC的面积.考点三与三角形面积有关的问题解析(1)因为

c-2bsinC=0,所以

sinC-2sinBsinC=0.因为0<C<π,所以sinC≠0,所以sinB=

.因为0<B<π,且a>b>c,所以B=

.(2)因为b=

,c=1,B=

,所以由余弦定理得(

)2=a2+1-2a×1×

,则a2-a-2=0,解得a=2或a=-1(舍去).所以a=2,S△ABC=

acsinB=

×2×1×

=

.规律总结(1)求三角形ABC的面积时,常用公式S=

absinC=

acsinB=

bcsinA,一般根据已知角具体选择.(2)解决与面积有关的问题,一般要用到正弦定理、余弦定理进行边和

角的转化.3-1

(2016北京东城二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2=3bc.(1)若sinA=sinC,求cosA;(2)若A=

,且a=3,求△ABC的面积.解析(1)由sinA=sinC,得a=c.又a2=3bc,所以c=a=3b.由余弦定理得cosA=

=

=

.(2)已知a2=3bc,且a=3,所以bc=3.故△ABC的面积S=

bcsinA=

×3×

=

.3-2

(2018北京朝阳高三期中)已知△ABC中,B=

,a=

.