2024届浙江省杭州拱墅区四校联考中考适应性考试数学试题含解析

2024届浙江省杭州拱墅区四校联考中考适应性考试数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.直线AB、CD相交于点O,射线OM平分NAOD,点P在射线OM上（点P与点。不重合），如果以点P为圆

心的圆与直线AB相离，那么圆P与直线CD的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.不确定

2.如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于（）

A.112B.136C.124

3.如图，点A、B、C都在。。上，若NAOC=140。，则NB的度数是（

A.70°B.80°C.110°D.140°

4.如图，正六边形内接于O,M为E尸的中点，连接。拉，若。的半径为2,则的长度为（）

A.币B.6

5.下列各数：小sin30。，-百，囱其中无理数的个数是（

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，在RtAABC中，NB=90。，ZA=30°,以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为

圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E,连接AE,DE,则NEAD的余弦值是（）

A.—B.BC.—D.3

12632

7.若一元二次方程x2-2kx+k2=0的一根为x=-1,则k的值为（）

A.-1B.0C.1或-1D.2或0

8.如图，三角形纸片ABC,BC=7cm,AC^6cm,沿过点3的直线折叠这个三角形，使顶点C落在A3

边上的点E处，折痕为30,则AAEZ）的周长为（）

A.9cmB.13cmC.16cmD.IQcm

9.关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是

A.-3<b<-2B.-3<b<-2C.-3<Z><-2D.-3<b<-2

10.若分式胆的值为零，则x的值是（）

x+1

A.1B.-1C.±1D.2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

上1

11.如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数产一（x>0）的图象和菱形。45C,且05=4,tanN50C=—,若

x2

将菱形向右平移，菱形的两个顶点5、C恰好同时落在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式是.

12.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11

个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律,

第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为个.

13.已知点A（4,yi）,B（jy,y2）,C（-2,ys）都在二次函数y=（x-2）2-1的图象上，则yi,y2,y3的大小关系

是.

14.如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31。，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为一米.（结果

保留两个有效数字）（参考数据；sin31°=0.515,cos31°=0.857,tan31°=0.601）

15.二次根式而T中的字母a的取值范围是

16.如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交

点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm）,那么该光盘的半径是—cm.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）先化简，再求值：x（x+1）-（x+1）（x-1）,其中x=l.

18.（8分）如图，6。是菱形ABC。的对角线，NCBD=75。，（1）请用尺规作图法，作A5的垂直平分线

垂足为E,交AQ于歹；（不要求写作法，保留作图痕迹）在（1）条件下，连接BE,求ND5尸的度数.

19.（8分）甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有1张相同的纸牌，它们分别标有数字1,2,3,1.从中

随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜.这

个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由.

20.（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角

三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下

D

图1图2

如图(1)ZDAB=90°,求证：a2+b2=c2

证明：连接DB,过点D作DFLBC交BC的延长线于点F,贝!!DF=b-a

1

四边形ADCB=S+S=--b+—ab

ADC22

121、

四边形ADCB=s2B+SBCD=—c+—a{b-a)

191191

；・—b2+—ab--c2+—。（。一〃）化简得：a2+b2=c2

2222

请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明，如图（2）中NDAB=90。，求证：a2+b2=c2

21.（8分）如图，平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于A,B两点，与反比例函数y=K（x>0）

X

的图象交于点M（a,4）.

（1）求反比例函数y=|（x>0）的表达式；

k

（2）若点C在反比例函数y=—（x>0）的图象上，点D在x轴上，当四边形ABCD是平行四边形时，求点D的坐标.

X

22.（10分）如图，在AABG中，AB>AC,点D在边AC上.

（1）作NADE,使/ADE=NACB,DE交AB于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若BC=5,点D是AC的中点，求DE的长.

23.（12分）如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，AE±BD,CF1BD,垂足分别为E、F,连接AF、CE,

求证：AF=CE.

24.如图，在AABC中，ABAC,AE是N5AC的平分线，NA3C的平分线交AE于点M,点。在A3上，以

点。为圆心，08的长为半径的圆经过点M,交3C于点G,交A3于点尸.

(1)求证：AE为。。的切线；

(2)当BC=4,AC=6时，求。。的半径；

(3)在(2)的条件下，求线段5G的长.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

根据角平分线的性质和点与直线的位置关系解答即可.

【详解】

解：如图所示；

•••OM平分NAOD,以点P为圆心的圆与直线AB相离，

，以点P为圆心的圆与直线CD相离，

故选：A.

【点睛】

此题考查直线与圆的位置关系，关键是根据角平分线的性质解答.

2、B

【解析】

试题解析：该几何体是三棱柱.

由勾股定理后二不=3,

3x2=6,

全面积为：6x4x-x2+5x7x2+6x7=24+70+42=136.

2

故该几何体的全面积等于L

故选B.

3、C

【解析】

分析：作AC对的圆周角NAPC,如图，利用圆内接四边形的性质得到NP=40。，然后根据圆周角定理求NAOC的度

数.

详解：作AC对的圆周角NAPC,如图,

p

11

,:NP=-ZAOC=-xl40°=70°

22

,."ZP+ZB=180°,

/.ZB=180°-70°=110°,

故选：C.

点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

4、A

【解析】

连接OM、OD、OF,由正六边形的性质和已知条件得出OMJ_OD,OM±EF,NMFO=60。，由三角函数求出OM,

再由勾股定理求出MD即可.

【详解】

连接OM、OD、OF,

•.,正六边形ABCDEF内接于（DO,M为EF的中点,

/.OM±OD,OM±EF,ZMFO=60°,

:.ZMOD=ZOMF=90°,

:.OM=OF«sinZMFO=2x无=百,

2

.,.MD=7OM2+(9D22+2?=77,

故选A.

【点睛】

本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM

是解决问题的关键.

5、B

【解析】

根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有R的数，找出无理数的个数即可.

【详解】

1广L

sin30°=—,V9=3,故无理数有兀，-6，

故选：B.

【点睛】

本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含

有兀的数.

6、B

【解析】

设BC=x,

,在RtAABC中，ZB=90°,ZA=30°,

：.AC=2BC=2x,AB=73BC=3x,

根据题意得：AD=BC=x,AE=DE=AB=6x,

作EM±AD于M,则AM=-AD=-x,

22

1

在RtzlAEM中，cosZEAD=AM_2A_A/|；

AEy/3x6

故选B.

【点睛】本题考查了解直角三角形、含30。角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线

求出AM是解决问题的关键.

7、A

【解析】

把x=-1代入方程计算即可求出k的值.

【详解】

解：把X=-1代入方程得：l+2k+k2=0,

解得：k=-1,

故选：A.

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

8、A

【解析】

试题分析：由折叠的性质知，CD=DE,BC=BE.

易求AE及AAED的周长.

解：由折叠的性质知，CD=DE,BC=BE=7cm.

AB=10cm,BC=7cm,AE=AB-BE=3cm.

△AED的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9(cm).

故选A.

点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大

小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

9、A

【解析】

根据题意可得不等式恰好有两个负整数解，即-1和-2,再结合不等式计算即可.

【详解】

根据x的不等式x/>0恰有两个负整数解，可得x的负整数解为-1和-2

x—b>Q

:.x>b

综合上述可得—3Wb<—2

故选A.

【点睛】

本题主要考查不等式的非整数解，关键在于非整数解的确定.

10、A

【解析】

试题解析：•••分式忖二1的值为零，

X+1

|x|-1=0,x+lRO,

解得：x=l.

故选A.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

4

11、y=-

x

【解析】

解：连接AC,交y轴于。.：四边形形0ABe是菱形，：.AC±OB,OD=BD,AD^CD.tanZBOC=^,

：.OD=2,CD=1,：.A(-1,2),B(0,4),C(1,2).设菱形平移后5的坐标是(x,4),C的坐标是(1+x,2).,：B.

C落在反比例函数的图象上，.•#=4x=2(1+x),解得：x=L即菱形平移后5的坐标是(1,4),代入反比例函数的解

4

析式得：*=1x4=4,即8、C落在反比例函数的图象上，菱形的平移距离是1,反比例函数的解析式是尸一.故答案

x

上4

为片一.

x

点睛：本题考查了菱形的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质的应用，主要考查学生的计算能力.

12、9n+l.

【解析】

•.•第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，

正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+1；

•.•第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，

•*.正方形和等边三角形的和=11+10=21=9x2+1；

•.•第1个图由16个正方形和14个等边三角形组成，

正方形和等边三角形的和=16+14=10=9x1+1,

...第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+L

故答案为9n+l.

13、y3>yi>y2.

【解析】

试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：yi=3,y2=5-4,£,y3=15,...y3>yi>y2.

考点：二次函数的函数值比较大小.

14、6.2

【解析】

根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题.

【详解】

解：在RtZkABC中，

；NACB=90。，

:.BC=AB«sinZBAC=12x0.515=6.2（米），

答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米.

故答案为：6.2.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结

合的思想解答.

15、a>-1.

【解析】

根据二次根式的被开方数为非负数，可以得出关于a的不等式，继而求得a的取值范围.

【详解】

由分析可得，a+l>0,

解得：a>-1.

【点睛】

熟练掌握二次根式被开方数为非负数是解答本题的关键.

16、5

【解析】

本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解.

【详解】

解：如图，设圆心为O,弦为AB,切点为C.如图所示.则AB=8cm,CD=2cm.

连接OC,交AB于D点.连接OA.

c

•.•尺的对边平行，光盘与外边缘相切，

/.OC±AB.

AD=4cm.

设半径为Rem,则R2=4?+(R-2)2,

解得R=5,

,该光盘的半径是5cm.

故答案为5

【点睛】

此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、x+1,2.

【解析】

先根据单项式乘以多项式的运算法则、平方差公式计算后，再去掉括号，合并同类项化为最简后代入求值即可.

【详解】

原式=x?+x-(X2-1)

=x2+x-x2+l

=x+l,

当x=l时，原式=2.

【点睛】

本题考查了整式的化简求值，根据整式的运算法则先把知识化为最简是解决问题的关键.

18、(1)答案见解析；(2)45°.

【解析】

(1)分别以4、3为圆心，大于』A3长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；

2

(2)根据NOB尸=NA3O-NA3尸计算即可;

【详解】

(1)如图所示，直线E尸即为所求；

AZABD^ZDBC=-ZABC=75°,DC//AB,ZA=ZC,

2

，NA3c=150°,ZABC+ZC=180°,

/.ZC=ZA=30°.

•••E尸垂直平分线段A5,

：.AF=FB,

:.ZA=ZFBA=30°,

ZDBF=ZABD-NFBE=45°.

【点睛】

本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

19、不公平

【解析】

【分析】列表得到所有情况，然后找出数字之和是3的倍数的情况，利用概率公式计算后进行判断即可得.

【详解】根据题意列表如下：

1231

1(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(1,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(1,3)

1(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)

所有等可能的情况数有16种，其中两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数的情况有：(2,1),(1,2),(1,2),(3,

3),(2,1),共5种，

•••P(甲获胜)=—,P(乙获胜)=1--,

161616

则该游戏不公平.

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

20、见解析.

【解析】

首先连结BD,过点B作DE边上的高BF,贝!JBF=b-a,表示出S五边形ACBED,两者相等，整理即可得证.

【详解】

证明：连结BD,过点B作DE边上的高BF,贝!JBF=b-a,

S五边形ACBED=SAACB+SAABE+SAADE=—ab+—b1+—ab,

222

又VSI®®ACBED=SAACB+SAABD+SABDE=—ab+—cx+—a(b-a),

222

11,111,1,、

—ab+—bx+—ab=—ab+—c'+—a(b-a),

222222

.*.a1+b1=c1.

【点睛】

此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键.

4

21、(1)y=-(1)(1,0)

X

【解析】

(1)将点M的坐标代入一次函数解析式求得a的值；然后将点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k的值即可;

(1)根据平行四边形的性质得到BC〃AD且BD=AD,结合图形与坐标的性质求得点D的坐标.

【详解】

解：(1)..•点M(a,4)在直线y=lx+l上，

.•.4=la+l,

解得a=l,

k

AM(1,4),将其代入y=—得到：k=xy=lx4=4,

x

k4

••・反比例函数y=—(x>0)的表达式为y=—；

xx

(1)•••平面直角坐标系中，直线y=lx+l与x轴，y轴分别交于A,B两点，

.,.当x=0时，y=l.

当y=0时，x=-1,

AB(0,1),A(-1,0).

,.•BC〃AD,

...点c的纵坐标也等于1,且点C在反比例函数图象上，

44

将y=l代入y=—,得1=一,

xx

解得x=l,

AC(1,1).

四边形ABCD是平行四边形，

，BC〃AD且BD=AD,

由B(0,1),C(1,1)两点的坐标知，BC〃AD.

又BC=L

，AD=1,

VA(-1,0),点D在点A的右侧，

点D的坐标是(1,0).

【点睛】

考查了反比例函数与一次函数交点问题.熟练掌握平行四边形的性质和函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键，

难度适中.

22、(1)作图见解析；(2)-

2

【解析】

(1)根据作一个角等于已知角的步骤解答即可；

(2)由作法可得DE〃BC,又因为D是AC的中点，可证DE为AABC的中位线，从而运用三角形中位线的性质求

解.

【详解】

解：(1)如图，NADE为所作;

(2)VZADE=ZACB,

，DE〃BC,

二•点D是AC的中点，

ADE为4ABC的中位线，

15

ADE=-BC=-.

22

23、见解析

【解析】

MffiAABE^ACDF,得AE=CF,即可证得△AEF丝ZkCFE,即可得证.

【详解】

在平行四边形ABCD中，AB〃CD,AB=CD

/.ZABE=ZCDF,

又AE_LBD,CF1BD

/.AABE^ACDF(AAS),

.\AE=CF

又NAEF=NCFE,EF=FE,

/.△AEF^ACFE(SAS)

,\AF=CE.

【点睛】

此题主要考查平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是