押广东深圳卷第19-20题（方程不等式与函数的综合应用、圆综合问题）（解析版）-备战2024年中考数学

押广东深圳卷第19-20题押题方向一：方程、不等式、函数的综合3年广州深圳真题考点命题趋势2023年广州深圳卷第19题一元一次方程组与不等式从近年广州深圳中考来看，二元一次方程组，分式方程和不等式，不等式组与一次函数结合一起考查是常考题型，也是考查重点，难度一般。预计2024年广州深圳卷还将继续考查方程、不等式与一次函数，为避免丢分，学生应扎实掌握。2022年广州深圳卷第19题分式方程组与一次函数2021年广州深圳卷第20题二元一次方程组与一次函数1．（2023·广东深圳·中考真题）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．(1)求A，B玩具的单价；(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？【答案】(1)A、B玩具的单价分别为50元、75元；(2)最多购置100个A玩具．【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案．【详解】（1）解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元；由题意得：；解得：，则B玩具单价为（元）；答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，由题意可得：，解得：，∴最多购置100个A玩具．【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系．2．（2022·广东深圳·中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少?【答案】(1)甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元(2)最低费用为1101元【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．列出方程即可解答；（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．【详解】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．由题意得：解得：经检验是原方程的解，且符合题意．∴乙类型的笔记本单价为：（元）．答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元．（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本购买了件．由题意得：．∴．．∵，∴当a越大时w越小．∴当时，w最小，最小值为（元）．答：最低费用为1101元．【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．3．（2021·广东深圳·中考真题）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？【答案】（1）；（2）单价为13元时，利润最大为125万元【分析】（1）直接利用图表上的点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）设总销售利润为W，则列出W与x的函数关系式，即可得出函数最值．【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为：，则，解得：，故y与x的函数关系式为：；（2）设总销售利润为W，则有：，当，销售利润万，即单价为13万时，最大获利125万元．【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，以及根据二次函数的性质求最值，解题的关键是列出总销售利润与销售单价之间的函数关系．1、不等式含参问题的解题步骤：第一步：将参数当成“常数”解出不等式组；第二步：1）“根据不等式组的解集确定参数的取值范围”、“逆用不等式组的解集确定参数的取值范围”类型利用不等式组解集口诀确定出参数的取值范围；2）“根据不等式组的整数解情况确定确定参数的取值范围”需要借助数轴与不等式组解集口诀确定出参数的取值范围。注：参数取值范围是否取等于号需要将参数带进不等式中验证，不能凭感觉。而且需要注意的是带进去的是参数的值，并不是的值。2、分式方程含参问题的解题步骤：第一步：参数当成“常数”解出分式方程；第二步：根据“分式方程有增根”、“分式方程有解与无解”、“分式方程的解为正或负数”、“分式方程有整数解”等类型，利用各条件自确定出参数的取值范围；注：分式方程含参问题特别注意要排除增根的情况。3、用待定系数法求一次函数的表达式，根据自变量的范围求出最值。1．为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元．(1)求每辆A型车和B型车的售价；(2)随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？【答案】(1)每辆A型汽车的售价为18万元，每辆B型汽车的售价为26万元(2)5辆【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．（1）设每辆型车的售价是万元，每辆型车的售价是万元，根据“型汽车的售价比型汽车售价高8万元，本周售出1辆型车和3辆型车，销售总额为96万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设销售型车辆，则销售型车辆，利用销售总额每辆型车的售价销售型车的数量每辆型车的售价销售型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【详解】（1）解：设每辆型车的售价是万元，每辆型车的售价是万元，根据题意得：，解得：．答：每辆型车的售价是18万元，每辆型车的售价是26万元；（2）解：设销售型车辆，则销售型车辆，根据题意得：，解得：，的最小值为5．答：型车至少销售5辆．2．英才中学为奖励在“红色经典”诵读比赛中获奖的10位同学，准备购买10件奖品．李老师到文具店后了解到甲、乙两种奖品的信息：①甲奖品的单价比乙奖品的单价少2元；②用30元购买甲奖品的数量比购买乙奖品的数量多4件．(1)求甲奖品和乙奖品的单价；(2)因经费限制，购买这两种奖品的总金额不能超过40元，那么乙奖品最多能购买多少件？【答案】(1)甲奖品的单价为3元，乙奖品的单价为5元(2)乙奖品最多能购买5件【分析】（1）设甲奖品的单价为元，则乙奖品的单价为元，根据题意即可列出分式方程，解方程即可求解；（2）设购买乙奖品件，则购买甲奖品件，根据题意即可列出一元一次不等式，解不等式即可求解．【详解】（1）解：设甲奖品的单价为元．由题意可列方程：，解得：，；经检验得：，都是原方程的解，但不合题意，舍去，．答：甲奖品的单价为3元，乙奖品的单价为5元．（2）解：设购买乙奖品件，则购买甲奖品件，可列不等式：，解得：．答：乙奖品最多能购买5件．【点睛】本题考查了分式方程及一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解决本题的关键．3．（2024·广东深圳·二模）2024年4月18日上午10时08分，华为系列正式开售，华为和已在华为商城销售，约一分钟即告售罄．“改变生活，改变社会”，不一样的手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A、B两种型号的手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元．(1)求A、B两种型号的手机每部利润各是多少元；(2)某营业厅再次购进A、B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润．【答案】(1)A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元．(2)营业厅购进A种型号手机12部，B种型号手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一次函数的应用，一元一次不等式的应用：（1）设A种型号手机每部利润是x元，B种型号手机每部利润是y元，由售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元，再建立方程组即可；（2）设购进A种型号的手机a部，则购进B种型号的手机部，获得的利润为w元，，再利用一次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：设A种型号手机每部利润是x元，B种型号手机每部利润是y元，由题意得：解得．答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元；（2）解：设购进A种型号的手机a部，则购进B种型号的手机部，获得的利润为w元，由题意得，，∵B型手机的数量不超过A型手机数量的，∴，解得，∵，，∴w随x的增大而减小，∴当时，w取得最大值，此时，．答：营业厅购进A种型号的手机12部，B种型号的手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．4．（2024·广东深圳·二模）为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍.并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．(1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；(2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？【答案】(1)《西游记》的单价是10元，《朝花夕拾》的单价是14元；(2)订购《朝花夕拾》30本，订购《西游记》70本时，最低总费用为1120元．【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．（1）设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元，利用数量总价单价，结合用14000元订购的《朝花夕拾》的数量比用7000元订购的《西游记》的数量多300本，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出《西游记》的订购单价，再将其代入中，即可求出《朝花夕拾》的订购单价；（2）设再次订购本《朝花夕拾》，则再次订购本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设该校八年级再次订购这两种书籍共花费为元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）解：设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，（元．答：《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元；（2）设再次订购本《朝花夕拾》，则再次订购本《西游记》，根据题意得：，解得：．设该校八年级再次订购这两种书籍共花费为元，则，即，，随的增大而增大，当时，取得最小值，最小值为（元，此时（本．答：当再次订购30本《朝花夕拾》，70本《西游记》时，总费用最低，最低费用为1120元．5．（2023·广东深圳·模拟预测）“后疫情时代”经济复苏，越来越多的人选择在假期外出旅游，五一假期为旅游旺季，深圳某景区为方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．(1)求弧形椅和条形椅的单价分别是多少元；(2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进200张休闲椅，并保证至少增加800个座位．求如何安排购买方案最节省费用、最低费用是多少元．【答案】(1)弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元(2)购进弧形椅100张，条形椅100张时，最节省费用，最低费用为28000元【分析】（1）设弧形椅的单价是元，则条形椅的单价是，根据“用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张”，列出分式方程，解方程即可得到答案；（2）设购进弧形椅张，则购进条形椅张，根据“保证至少增加800个座位”列出不等式，解不等式即可得到的取值范围，设购买休闲椅所花的费用为元，求出关于的表达式，根据一次函数的性质进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：设弧形椅的单价是元，则条形椅的单价是，根据题意得：，解得：，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，，弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；（2）解：设购进弧形椅张，则购进条形椅张，根据题意得：，解得：，设购买休闲椅所花的费用为元，则，，随着的增大而增大，当时，有最小值，，购进弧形椅100张，条形椅100张时，最节省费用，最低费用为28000元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点，理解题意，找准等量关系，是解此题的关键．6．（2024·广东深圳·一模）飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某商家销售某品牌的橡胶飞盘，成本价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如表所示：x18202224y70605040(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)设该商家每天销售该品牌的橡胶飞盘的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，w的值达到最大?最大值是多少?【答案】(1)(2)，当时，w取最大值，最大值为320【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：（1）根据表中数据，利用待定系数法求解；（2）结合（1）中结论，根据利润、销量、进价、售价之间的关系可得w与x之间的二次函数关系式，化为顶点式可得最值．【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，由表中数据知，当时，，当时，，，解得，y与x之间的函数关系式为；（2）解：由题意知，，即w与x之间的函数关系式为；，当时，w取最大值，最大值为320．押题方向二：圆的综合问题3年广东深圳卷真题考点命题趋势2023年广东深圳卷第20题圆的有关问题从近年广东深圳中考来看，圆的有关问题综合比较强，是常考题型，也是考查重点，难度一般。预计2024年广东深圳卷还将继续考查圆的有关问题，为避免丢分，学生应扎实掌握。2022年广东深圳卷第21题圆的有关问题2021年广东深圳卷第19题圆的有关问题1．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线，且（点C在A的上方）；②连接，交于点D；③连接，与交于点E．(1)求证：为的切线；(2)求的长度．【答案】(1)画图见解析，证明见解析(2)【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线；（2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）如图所示，∵是的切线，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∵点D在上，∴为的切线；（2）∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴解得．【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．2．（2022·广东深圳·中考真题）一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯的中点为(1)如图①，为一条拉线，在上，求的长度．(2)如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．(3)如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）由，可得出为的中位线，可得出D为中点，即可得出的长度；（2）过N点作，交于点D，可得出为等腰直角三角形，根据,可得出，设，则，根据，即可求得，再根据勾股定理即可得出答案；（3）依题意得出点N路径长为：，推导得出，即可计算给出，即可得出答案．【详解】（1）∵∴为的中位线∴D为的中点∵∴（2）过N点作，交于点D，∵，∴为等腰直角三角形，即，又∵，∴，∴，∴，设，则，∵，∴，解得，∴，，∴在中，；（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合．当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径长为：．

∵．∴．∴．∴，∴，∴N点的运动路径长为：，故答案为：．【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键．3．（2021·广东深圳·中考真题）如图，为的弦，D，C为的三等分点，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据题意，连接，通过证明，再由可证四边形为平行四边形，进而即可得到；（2）根据平行四边形的性质及D，C为的三等分点可证，得到，进而求得即可得到的长．【详解】（1）如图连接，∵A、D、C、B四点共圆∴又∴∵D，C为的三等分点∴∴∴∴，又∴四边形为平行四边形∴即原题中；（2）∵四边形为平行四边形，∴∵D，C为的三等分点，∴，∴，，∵∴∴∴，即∴∴．【点睛】本题主要考查了圆中综合知识、平行四边形的性质及判定及三角形相似的判定及性质，熟练掌握相关几何综合运用知识是解决本题的关键．1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；4）注意圆的相关知识和相似、三角函数、勾股定理结合解决相关计算问题。1．（2024·广东深圳·一模）如图，为的直径，点C是弧的中点，过点C作射线垂线，垂足为E．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，证明，即可证明是的切线．（2）连接，证明，列出比例式，计算即可．本题考查了切线的证明，三角形相似的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定，三角形的相似是解题的关键．【详解】（1）连接，∵，∴；∵点C是弧的中点，∴；∴；∴；∴，∵∴，∴是的切线．（2）连接，∵为的直径，∴；∵∴，∴，∵点C是弧的中点，∴；∴；∴，∴，∵,∴（舍去），故．2．（2024·广东深圳·二模）如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接．(1)求证：是的切线：(2)若，求切线的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解；（2）由三角形的中位线得到，，在中，根据勾股定理，得到的长，，在中，根据正切三角函数，即可求解，【详解】（1）解：连接，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵是的切线，∴，∴，∴是的切线，（2）解：∵，，∴，∴，在中，，，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，三角形的中位线，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理及判定定理是解题关键．3．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且．(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握各种性质是解题的关键．（1）连接，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明结论；（2）作于点，利用已知条件证明，利用比例式求出线段长．【详解】（1）证明：连接，是的直径，，，，，，，，即，直线是的切线；（2）解：作于点，在中，，，，，，在中，，，，，，，，，，解得．4．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，以为直径作交、于点、，过点作于点，交的延长线于点．(1)下列条件：①是边的中点；②是的中点；③．请从中选择一个能证明直线是的切线的条件，并写出证明过程；(2)若直线是的切线，且，，求的长．【答案】(1)①是边的中点；证明见解析；(2)．【分析】（1）连接，证明是的中位线，得到，再由可得，即可证明是的切线；（2）设，则，利用勾