浙江省丽水四校 2024届数学高一年级上册期末联考试题含解析

浙江省丽水四校2024届数学高一上期末联考试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

请将正确答案涂在答题卡上.）

22

1.已知圆C1：x?+y2-2x=0与圆C2：x+y-4y+3=0,则两圆的公切线条数为（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

2.设函数/（%）=依2-2%+2,对于满足1<%<4的一切x值都有/（九）>0,则实数。的取值范围为

1,

A0>1B.一<tz<1

2

11

C.tz>—D.<7>一

22

3.已知点”（。力）在圆0:/+/=1外，则直线6+外=1与圆。的位置关系是（）

A.相切B.相交

C.相离D.不确定

4.在ABC中，已知4=4/=4班,3=60°,则角A=（）

A.60°B.45°

C.30°D.30°或150°

3

5.已知a是第四象限角，尸（3,y）是角a终边上的一个点，若cosa=,，则,=（）

A.4B.-4

C.+4D.不确定

3

6.已知“x>左”是“——<1”的充分不必要条件，则"的取值范围为（）

%+1

A.（-co,-l]B.[l,+8）

C.[2,-K»）D.（2,-KO）

7.下列运算中，正确的是（）

A.3我"=9B.Q2-=a3（a>0）

222

C.^(-3)3+85=1D

-(t)+喘=~9

8.函数/(x)=lg(」+2)的定义域为

A(—2,+GO)B.[-2,4W)

C.(-2,0)(0,+s)D.[-2,0)U(0,4W)

9.下列关于函数〉=5由x+g的说法不正确的是（）

57r

A.在区间「，工上单调递增

_66

B.最小正周期是2万

C.图象关于直线X=——轴对称

D.图象关于点］中心对称

10.函数〃X）=2；2'是。

A.偶函数，在（0,+8）是增函数

B.奇函数，在（0,+8）是增函数

C.偶函数，在（0,+8）是减函数

D.奇函数，在（0,长。）是减函数

11.以下四组数中大小比较正确的是（）

A.log3.i»<log"3.1B.O.503<0.4°3

c"2/-0.1

7C<71D.o.403<0.1°7

12.在试验“甲射击三次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“至少中靶1次”，事件3表示随机事件“正好中

靶2次”，事件C表示随机事件“至多中靶2次”，事件O表示随机事件“全部脱靶”，则（）

A.A与C是互斥事件B.B与C是互斥事件

C.A与。是对立事件D.5与。是对立事件

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）

13.已知角1的顶点为坐标原点，始边为工轴的正半轴，终边经过点P(3,4),贝心血友+蟆

14.已知函数」「「但.=：).给出下列四个结论：

①存在实数a，使得，-有最小值；

②对任意实数a(1口且匚h：)，，都不是R上的减函数；

③存在实数a,使得，的值域为R;

④若0＞才则存在X。6(6+8)，使得八々)=/(­/

其中所有正确结论的序号是.

15.已知向量a=(/居4),6=(3,—2),且a//。，贝！P"=.

16.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为“，经过，天后体积V与天数f的关系式为：

48

V=a-e".已知新丸经过50天后，体积变为3a.若一个新丸体积变为方a,则需经过的天数为

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.已知塞函数/(x)=x〃的图象经过点唱,句.

(1)求实数a的值；

(2)用定义法证明在区间(0,+co)上是减函数.

18.已知函数/(幻=。无2+(l—a)x+a-2.

(1)若不等式/Xx)2-2对于一切实数x恒成立，求实数。的取值范围；

(2)若。＜0,解关于x的不等式/(x)＜a-1.

19.已知二次函数/(》)=以2+法+式4/0)的图象过点(0,1),且与左轴有唯一的交点(-1,0).

(1)求Ax)表达式;

(2)设函数/(x)=/(x)-如，若E(x)在区间［-2,2］上是单调函数，求实数加的取值范围；

(3)设函数g(x)=/(x)-丘,2,2］,记此函数的最小值为力(左),求丸伏)的解析式.

20.已知某观光海域A3段的长度为3百公里，一超级快艇在A5段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用。(单

位：万元)与速度v(单位：百公里/小时)(0WvW3)的以下数据：

V0123

Q00.71.63.3

为描述该超级快艇每小时航行费用。与速度V的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q^av3+bv2+cv,2=0.5叶a,

Q=klogav+b

（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使A3段的航行费用最少？并求出最少航行费用

21.一条光线从点A（3,2）发出，经轴反射后，经过点8（-1,6）,求入射光线和反射光线所在的直线方程.

22.设有一条光线从川-2,46）射出，并且经x轴上一点。（2,0）反射.

⑴求入射光线和反射光线所在的直线方程（分别记为卜4）;

⑵设动直线=-2小，当点M（0,—6）至！］/的距离最大时，求/4,4所围成的三角形的内切圆（即：圆心在三角形

内，并且与三角形的三边相切的圆）的方程.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.）

1、D

【解析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆外离，公切线有4条

【详解】圆炉+32-2“=0化为标准形式是（x-i）2+产=1,

圆心是G（1,0）,半径是"=1；

2222

圆x+y-4y+3=0化为标准形式是x+（j-2）=lf

圆心是。2（0,2）,半径是F2=l；

则|CQ|=A>ri+r2,

二两圆外离，公切线有4条

故选O

【点睛】本题考查了两圆的一般方程与位置关系应用问题，是基础题

2、D

【解析】用分离参数法转化为求函数的最大值得参数范围

【详解】满足1<%<4的一切%值，都有/(£)=办2-2%+2>0恒成立,

对满足1<%<4的一切》值恒成立,

〈<工<1,;二x=2时等号成立，所以实数。的取值范围为a〉工,

4x4(x2)22

故选：D.

3,B

【解析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.

【详解】点/(。⑼在圆外，...4+/>1,

1

圆心0到直线ax+=1距离〃<1,

y/a2+b2

直线ax+8y=l与圆。相交.

故选B.

【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4、C

【解析】利用正弦定理求出角A的正弦值，再求出角A的度数.

【详解】因为」-=—丝，

sinAsinB

4_4A/3

所以sinAg，

~2

解得：sinA=；,Ae(0,180

因为a<b,

所以A=30.

故选：C.

5、B

【解析】利用三角函数的定义求得儿

【详解】依题意a是第四象限角，所以y<0,

<后+y25=>y=-4.

y<0

故选：B

6、C

33

【解析】根据“x>左”是“一7<1”的充分不必要条件，可知（左,+8）是一7<1解集的真子集，然后根据真子集关系

X+lX+1

求解出左的取值范围.

3

【详解】因为——<1,所以x+l>3或％+1<0,

x+l

所以解集为（—8,—。（2,+8）,

3

又因为“x>左”是“——<1”的充分不必要条件，

%+1

所以的+8）是（y,-1）U（2,”）的真子集，所以丘[2,收），

故选：C.

【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断充分、必要条件：

（1）若。是夕的必要不充分条件，则夕对应集合是。对应集合的真子集；

（2）若。是q的充分不必要条件，则P对应集合是夕对应集合的真子集；

（3）若。是q的充分必要条件，则。对应集合与q对应集合相等；

（4）若。是q的既不充分也不必要条件，则?对应集合与q对应集合互不包含.

7、c

【解析】根据对数和指数的运算法则逐项计算即可.

【详解】3啕2=2,故A错误；

a2-=a2=a^（a>0）9故B错误；

I----23x2

玳―3）3+8§=—3+2'3+4=]，故c正确；

[2]+lg—=--2=-,故D错误.

UJ10044

故选：C.

8、C

【解析】要使得/'（x）有意义，要满足真数大于0,且分母不能为0,即可求出定义域.

%+2>0

【详解】要使得/（x）有意义，则要满足八，解得（-2,0）。（0,+8）.答案为c.

【点睛】常见的定义域求解要满足：(D分式：分母W0;

(2)偶次根式：被开方数20；

(3)0次幕:底数片0；

(4)对数式：真数＞0,底数＞0且#1；

Jl一

(5)tan(^yx+(p)：口九。耳+左乃，(左£Z)；

9、D

【解析】结合三角函数的性质，利用整体代换思想依次讨论各选项即可得答案.

57rTC7C兀兀

【详解】当xe---时，x+—e,此时函数丁=sinx为增函数，

L66J3122」

jr)57r71

X+:在区间一丁工上单调递增，A选项正确；

［3JL66」

_2K2K.

由函数周期公式7=同=丁=2兀，B选项正确；

'冗)1

当工=一-丁时，x+j—r=—j—r，由于x=——TT是＞=5皿苫的对称轴，故直线x=--7二T是函数〉=sin|\x+T—C的对称轴,

63226＜3y

C选项正确.

当x=?时，x+|=|,由于*=］是『山》的对称轴，故［,o］不是函数〉=5足、+。］的中心对称，D选项

错误；

故选：D.

10、B

【解析】利用奇偶性定义判断了(%)的奇偶性，根据解析式结合指数函数的单调性判断〃元)的单调性即可.

【详解】由/(—x)=2、；2'=_2'［2;_于寰)且定义域为R,故/•(》)为奇函数，

又＞=2'是增函数，y=2-,为减函数，

.•./(x)=2*［2-x为增函数

故选：B.

11、C

【解析】结合指数函数、对数函数、然函数性质即可求解

详解】对A,logs/万,故logs」万>log“3.1,错误；

对B,y=x°3在第一象限为增函数，故0.5°3>0.4°3,错误；

对C,y为增函数，故；〈万一。]，正确；

对D,0.4°3>0.1°\0.1M>0.1°7,故0.4°3>0.1%错误；

故选:C

【点睛】本题考查根据指数函数，对数函数，募函数性质比较大小，属于基础题

12、C

【解析】根据互斥事件、对立事件的定义即可求解.

【详解】解：因为A与GB与。可能同时发生，故选项A、B不正确；8与。不可能同时发生，但3与。不是事件

的所有结果，故选项D不正确；A与。不可能同时发生，且4与O为事件的所有结果，故选项C正确

故选：C.

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

3

13、——

4

【解析】利用三角函数定义求出sin。、cos(z的值，结合诱导公式可求得所求代数式的值.

443_3

【详解】由三角函数的定义可得sma=­?=<，cos«

V32+425志2+425'

.(n\3

/、sm—+a-日

eu,兀]12)cosa53

因此，tan+a\-(、一.

12)17i\-since444

cos1—2+tzJ—5

3

故答案为：—.

4

14、①②④

【解析】通过举反例判断①.，利用分段函数的单调性判断②③,求出=，关于y轴的对称函数为一口_2：1

利用一、与了=,；「的图像在上有交点判断④.

【详解】当。一？时，rCY一当■时，2T>1，所以，有最小值0,①正确；

»w-

若曲，是R上的减函数，则,-,q,无解，所以②正确；

2-c<0(a>2

0<a<l珅<。<1

12—aie1-1=1(a41

当：一时，，一单减，且当］时，值域为：一，而此时_,单增，最大值为所以函数

值域不为R;

当［〈.<2时，y=单增，单增，若用。的值域为R，贝H—Q2/■*=］，所以.Mi，与

矛盾；所以不存在实数”，使得，的值域为R；

由①可知，当一二二时，函数一值域不为R；当.>2时，y=(2.单减，最小值为2_.，y=广，单增，且一：

所以函数.值域不为R,综上③错误；

叉关于7轴的对称函数为「=(«—2)T若.>3,贝J-2>l=a，T=V但指数函数的增长速

度快于函数g_2h的增长速度，所以必存在0€仪+同，使得(”_2居=。-即小。)=成立，所

以④正确.

故答案为：①②④

15>—6

【解析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.

TTJ4

【详解】由题意，向量〃=(也4),6=(3,—2),因为“//,可得彳二与，解得加=—6.

故答案为：-6.

16、75

1

【解析】由题意，先算出-入=1±丫°,由此可算出一个新丸体积变为ga需经过的天数.

⑺27

【详解】由已知，得3。=。・15°3

9

1

Q

设经过4天后，一个新丸体积变为一a,

故答案为：75.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17、(1)。=一工；(2)证明见解析.

2

【解析】(1)将点代入函数解析式运算即可得解;

(2)利用函数单调性的定义，任取苞，4e(0,+°°)，且不<9，通过作差证明/(%)</(%)即可得证.

【详解】⑴=的图象经过点.•.出=72,即2-“=2；，

解得a=-工,

2

(2)证明：由(1)得/(x)=x4

任取须，/e(0,+℃),且不〈尤2,

、、二二11X一九2

则/"(9)-7"(石)=92-石2=丁--—1

q九27%

•/X>%1且+

2>0,-X2<0,>0,

〃%)v。,即/(%)</(%)，

1

・“X)=%-2在区间(0,+co)内是减函数.

(2)答案见解析.

【解析】(1)根据给定条件利用一元二次不等式恒成立求解作答.

⑵在给定条件下分类解一元二次不等式即可作答.

【小问1详解】

X/xeR,/(x)之-2恒成立等价于X/%eR,ax2+(1-a)x+a>0,

当a=0时，x>Q,对一切实数x不恒成立，则a/0,

a>0a>0解得』

此时必有<a

A=(l-a)2-4«2<0A=3a~+2tz—1>03

所以实数。的取值范围是ae1,+<x)

【小问2详解】

1

依题意，因avO,贝！|/(x)V。-19+(1—ci)x—1<0(xH—)(x—1)>0,

a

当〃二一1时，一工=1,解得

a

当—1<Q<O时，>1,解得1<1或---，

aa

当av—1时，0<—<1,解得x<--或JV>1,

aa

所以，当〃=—1时，原不等式的解集为｛xwRIxwl｝；当—1VQ<O时，原不等式的解集为或%>-1｝;

a

当。<一1时，原不等式的解集为｛x|x<—,或%>1｝.

a

19、(1)/(%)=x2+2x+l(2)/"W-2或加之6(3)见解析

【解析】(1)由已知条件分别求出"c的值，得出解析式；(2)求出函数尸(%)的表达式，由已知得出区间［-2,2］在

k-2

对称轴的一侧，进而求出〃7的范围；(3)函数g(x)=x2+(2—左)x+l,对称轴x=《一，图象开口向上，讨论不同

情况下g(x)在［-2,2］上的单调性，可得函数g(x)的最小值h(k)的解析式

b

试题解析：(1)依题意得。=1,———=—1,4QC=0

2a

解得a=l,b=2,c=l,从而/(x)=f+2x+l；

(2)F(x)=x2+(2-m)x+l,对称轴为1=‘工，图象开口向上

当生二V—2即机W—2时，网力在［—2,2］上单调递增，

2

当即相时，尸(%)在［—2,2］上单调递减，

综上，加<一2或加N6

10

(3)g(x)=x2+(2-^)x+l,对称轴为x=图象开口向上

1r\

当=<—2即心—2时，g(x)在［—2,2］上单调递增，

此时函数g⑴的最小值h(k)=g(-2)=2k+l

当—2<勺2<2即—2<%<6时，g(x)在-2,一上递减，

~k-2

在亍,2上递增

此时函数g（x）的最小值〃"）=g［;一J=-----一；

当日一22即左之6时，g（£）在［—2,2］上单调递减，

此时函数b⑴的最小值MQ=g⑵=9—2左；

'2k+l,k<-2

后2_AK

综上，函数g（x）的最小值M左）=<--------,-2<k<6.

9-2k,k>6

点睛：本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的单调性，二次函数在定区间上的最值问题，属于中档

题.解答时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转换

20、（1）选择函数模型。=0？+加2+口，函数解析式为Q=o.iv3—o2v2+o.8v（o<y<3）；（2）以1百公里/小时

航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.

【解析】（1）对题中所给的三个函【解析】对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数

法求得解析式，得出结果；

（2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.

【详解】（1）若选择函数模型。=0.5"+。，则该函数在ve［0,3］上为单调减函数,

这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型

若选择函数模型Q=Oog“v+6,须v>0,这与试验数据在v=0时有意义矛盾,

所以不选择该函数模型

从而只能选择函数模型Q=av3+bv2+cv,由试验数据得,

a+b+c=0.7,〃+6+c=0.7,a=0.1,

8〃+4b+2c=1.6,,即<4〃+2b+c=0.8,,解得<b=-0.2,

27〃+96+3c=3.3,9〃+3b+c=1.1,c=0.8,

故所求函数解析式为：Q=0.1V3-0.2V2+0.8V（0<V<3）

（2）设超级快艇在A5段的航行费用为y（万元）,

3

则所需时间一（小时），其中