2024届福州教育学院附属中学高一下数学期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届福州教育学院附属中学高一下数学期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．．在各项均为正数的等比数列中，若，则…等于（）A．5 B．6 C．7 D．82．半径为的半圆卷成一个圆锥，它的体积是（）A． B． C． D．3．已知a，b为不同的直线，为平面，则下列命题中错误的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则4．在中,,则是（）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形5．如图，两点为山脚下两处水平地面上的观测点，在两处观察点观察山顶点的仰角分别为，若，，且观察点之间的距离比山的高度多100米，则山的高度为（）A．100米 B．110米 C．120米 D．130米6．l：与两坐标轴所围成的三角形的面积为A．6 B．1 C． D．37．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的外接球表面积为（）A． B． C． D．8．在△ABC中,,则△ABC为()A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．某快递公司在我市的三个门店，，分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店，与门店都相距，而门店位于门店的北偏东方向上，门店位于门店的北偏西方向上，则门店，间的距离为（）A． B． C． D．10．下列叙述中，不能称为算法的是（）A．植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤B．按顺序进行下列运算：1+1＝2，2+1＝3，3+1＝4，…，99+1＝100C．从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达D．3x＞x+1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若角的终边经过点，则___________.12．已知正数、满足，则的最大值为__________．13．在中，，，.若，，且，则的值为______________.14．在等比数列中，若，则等于__________．15．正方体中，异面直线和所成角的余弦值是________.16．现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在四棱锥中，平面平面，，且，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面．18．在正方体中.（1）求证：；（2）是中点时，求直线与面所成角.19．已知数列的前项和，且，数列满足：对于任意，有.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式，若在数列的两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列：和两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，求；（3）若不等式成立的自然数恰有个，求正整数的值．20．已知向量，满足：=4，=3，(Ⅰ)求·的值；(Ⅱ)求的值.21．某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表周跑量（km/周）人数100120130180220150603010（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑（2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表:周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元?

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】因为数列为等比数列，所以，所以.2、A【解析】

根据圆锥的底面圆周长等于半圆弧长可计算出圆锥底面圆半径，由勾股定理可计算出圆锥的高，再利用锥体体积公式可计算出圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面圆半径为，高为，则圆锥底面圆周长为，得，，所以，圆锥的体积为，故选：A.【点睛】本题考查圆锥体积的计算，解题的关键就是要计算出圆锥底面圆的半径和高，解题时要从已知条件列等式计算，并分析出一些几何等量关系，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.3、D【解析】

根据线面垂直与平行的性质与判定分析或举出反例即可.【详解】对A,根据线线平行与线面垂直的性质可知A正确.对B,根据线线平行与线面垂直的性质可知B正确.对C,根据线面垂直的性质知C正确.对D,当,时,也有可能.故D错误.故选：D【点睛】本题主要考查了空间中平行垂直的判定与性质,属于中档题.4、C【解析】

由二倍角公式可得，，再根据诱导公式可得，然后利用两角和与差的余弦公式，即可将化简成，所以，即可求得答案．【详解】因为，，所以，，即，．故选：C．【点睛】本题主要考查利用二倍角公式，两角和与差的余弦公式进行三角恒等变换，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．5、A【解析】

设山的高度为，求出AB=2x，根据，求出山的高度.【详解】设山的高度为，如图，由，有.在中，，有，又由观察点之间的距离比山的高度多100，有.故山的高度为100.故选A【点睛】本题主要考查解三角形的实际应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6、D【解析】

先求出直线与坐标轴的交点，再求三角形的面积得解.【详解】当x=0时，y=2,当y=0时，x=3,所以三角形的面积为.故选：D【点睛】本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、D【解析】

根据三视图还原几何体，由三棱锥的几何特征即可求出其外接球表面积．【详解】根据三视图可知，该几何体如图所示：所以该几何体的外接球，即是长方体的外接球．因为，所以外接球直径．故该三棱锥的外接球表面积为．故选：D．【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，并计算其外接球的表面积，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．8、C【解析】

直接利用正弦定理余弦定理化简得到，即得解.【详解】由已知得，由正、余弦定理得，即，即，故是直角三角形.故答案为：C【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理水平.9、C【解析】

根据题意，作出图形，结合图形利用正弦定理，即可求解，得到答案.【详解】如图所示，依题意知，，，由正弦定理得：，则.故选C.【点睛】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答中根据题意作出图形，合理使用正弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、D【解析】

利用算法的定义来分析判断各选项的正确与否，即可求解，得到答案.【详解】由算法的定义可知，算法、程序是完成一件事情的可操作的步骤：可得A、B、C为算法，D没有明确的规则和步骤，所以不是算法，故选D.【点睛】本题主要考查了算法的概念，其中解答的关键是理解算法的概念，由概念作出正确的判断，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解析】

直接根据任意角三角函数的定义求解，再利用两角和的正切展开代入求解即可【详解】由任意角三角函数的定义可得：．则故答案为3【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义和两角和的正切计算，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．12、【解析】

直接利用均值不等式得到答案.【详解】，当即时等号成立.故答案为：【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.13、【解析】,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.14、【解析】

由等比数列的性质可得,,代入式子中运算即可.【详解】解：在等比数列中,若故答案为：【点睛】本题考查等比数列的下标和性质的应用.15、【解析】

由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】因为，所以异面直线和所成角，设正方体的棱长为，则直角三角形中，，，故答案为.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.16、【解析】分析：由圆锥的几何特征，现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可求出答案.解析：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r，则由题意得R=10，由，得，由得.由可得.该容器的容积为.故答案为.点睛：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】

（Ⅰ）线线垂直先求线面垂直，即平面，进而可得；（Ⅱ）连接D与PC的中点F，只需证明即可．【详解】（Ⅰ）因为，所以．因为平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以．（Ⅱ）证明：取中点，连接，．因为为中点，所以，且．因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形．所以．因为平面，平面，所以平面．【点睛】此题考查立体几何证明，线线垂直一般通过线面垂直证明，线面平行只需在面内找到一个线与已知线平行即可，题目中出现中点一般也要在找其他中点连接，属于较易题目．18、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）连接，证明平面，进而可得出；（2）连接、、，设，过点在平面内作，垂足为点，连接，设，则角和均为直线与平面所成的角，从而可得出，即可求出所求角.【详解】（1）如下图所示，连接，在正方体中，平面，平面，，四边形为正方形，，，平面，平面，；（2）连接、、，设，过点在平面内作，垂足为点，设，设正方体的棱长为，在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，，平面，平面，在平面内，，，，，则、、、四点共面，为的中点，，且，平面，平面，，由勾股定理得，连接，设，则直线与面所成角为，则，，由连比定理得，则，因此，直线与面所成角为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19、（1）；，；（3）.【解析】

（1）令求出，然后令，由得出，两式相减可得出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；（2）令可计算出，再令，由可得出，两式相减求出，求出，再检验是否满足的表达式，由此可得出数列的通项公式，求出，由，以及可得出的值；（3）化简可得，分类讨论，当、时，不等式成立，当时，，利用判断数列的单调性，得出该数列的最大项，可知满足不等式，且和不满足该不等式，由此可得出实数的取值范围，进而求出正整数的值.【详解】（1）对任意的，.当时，，解得；当时，由得出，两式相减得，化简得，即，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，；（2）对于任意，有.当时，，；当时，由，可得，上述两式相减得，.适合上式，因此，.由于和两项之间插入个数，使得这个数成等差数列，这个数列的公差为.，且，所以，；（3）由，得.当、，该不等式显然成立；当时，，由，得，设，，当时，，即当时，，即，则.所以，数列的最大项为，又，.由题意可中，满足不等式，和不满足不等式.，则，因此正整数的值为.【点睛】本题考查利用求数列的通项公式、等差数列定义的应用，同时也考查了数列不等式的求解，涉及数列单调性的应用，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.20、(Ⅰ)=2(Ⅱ)【解析】

（I）计算，结合两向量的模可得；（II）利用，把求模转化为向量的数量积运算．【详解】解：(Ⅰ)由题意得即又因为所以解得=2.(Ⅱ)因为，所以=16+36-4×2=44.又因为所以.【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是掌握性质：，即模数量积的转化．21、(1)见解析；(2)中位数为29.2，分布特点见解析；(3)3720元【解析】

（1）根据频数和频率之间的关系计算，即可得到答案；（2）根据频率分布直方图利用中位数两边频率相