《6.2.2 平面向量的数量积》考点讲解复习与同步训练

《6.2.2平面向量的数量积》考点讲解【思维导图】【常见考法】考法一向量的数量积【例1】（1）已知，，与的夹角为60°，则________.（2）已知是边长为6的正三角形，求=____________（3）边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则【一隅三反】1．在中，，，，则的值为（）A． B．5 C． D．2．若，，则的最大值为________.3．平行四边形中，，，，是线段的中点，则（）A．0 B．2 C．4 D．4．在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，则（）A． B． C．1 D．考法二向量的夹角【例2】（1）已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（）A．1 B．-1 C． D．-（2）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为()A． B． C． D．【一隅三反】1．已知，，则与的夹角为_________.2．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为3．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是______．考法三向量的投影【例3】（1）已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．（2）已知，为单位向量，，则在上的投影为（）A． B． C． D．【一隅三反】1．已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（）．A．1 B．2 C．3 D．42．设向量满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为()A．1 B． C． D．3．设向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（）A． B． C． D．4．设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（）A．－ B．－ C． D．考法四向量的模长【例4】已知，，且向量与的夹角为，则（）A． B．3 C． D．【一隅三反】1.已知，，与的夹角为，那么等于2．已知、满足：，，，则_________.3．已知，，则的最大值等于4．若平面向量满足，则_________．考法五平面向量运算的综合运用【例5-1】已知平面向量，，，，在下列命题中：①为单位向量，且，则；②存在唯一的实数，使得；③若且，则；④与共线，与共线，则与共线；⑤.正确命题的序号是（）A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③【例5-2】如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于、的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值为（）A． B．4 C．-5 D．5【一隅三反】1．已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（）（1）若，则；（2）若，则（3）若，则（4）若，则或A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）2．已知两个非零向量，的夹角为，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知向量，满足，若对任意模为2的向量，均有，则向量的夹角的取值范围是（）A． B． C． D．4．设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．《6.2.2平面向量的数量积（精讲）》考点讲解答案解析考法一向量的数量积【例1】（1）已知，，与的夹角为60°，则________.（2）已知是边长为6的正三角形，求=____________（3）边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则【答案】（1）10（2）（3）【解析】（1）.故答案为：10.（2）如图是边长为的正三角形，所以，，所以，故答案为：（3）由题意画出示意图，如图，则.【一隅三反】1．在中，，，，则的值为（）A． B．5 C． D．【答案】D【解析】，，，.故选：D.2．若，，则的最大值为________.【答案】6【解析】，所以.故答案为:3．平行四边形中，，，，是线段的中点，则（）A．0 B．2 C．4 D．【答案】C【解析】如图，根据题意：，，且，，，．故选：．4．在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，则（）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】因为在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，所以，，因此.故选：B.考法二向量的夹角【例2】（1）已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（）A．1 B．-1 C． D．-（2）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为()A． B． C． D．【答案】（1）C（2）D【解析】（1）平面向量，满足，且，，解得.故选：C（2）∵非零向量，满足，∴平方得，即，则，由，平方得得，即则，则向量与的夹角的余弦值，，故选D.【一隅三反】1．已知，，则与的夹角为_________.【答案】【解析】根据已知条件，去括号得：，所以，故答案为：2．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为【答案】120°【解析】.设向量与向量的夹角为则.又，所以3．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是______．【答案】【解析】因为两个非零向量，满足，所以，即，所以，，设向量与的夹角为，则因为，所以故答案为：考法三向量的投影【例3】（1）已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．（2）已知，为单位向量，，则在上的投影为（）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）C【解析】（1）因为向量，，且与的夹角为所以，故选：B（2）因为，为单位向量，所以，又，所以所以，即，所以，则，，所以在上的投影为.故选：C.【一隅三反】1．已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由题意，，所以向量在向量方向上的投影为.故选：A.2．设向量满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为()A．1 B． C． D．【答案】D【解析】,,.,,向量在向量上的投影的数量为.故选：D.3．设向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，.，.设与方向相同的单位向量为，向量和向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为.故选:D.4．设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（）A．－ B．－ C． D．【答案】A【解析】依题意得，，，因此在方向上的投影为，故选A.考法四向量的模长【例4】已知，，且向量与的夹角为，则（）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】因为，，与的夹角为，所以，则.故选：A.【一隅三反】1.已知，，与的夹角为，那么等于【答案】【解析】，.2．已知、满足：，，，则_________.【答案】【解析】，因为，，所以，所以，可得，故答案为：.3．已知，，则的最大值等于【答案】【解析】因为，，所以，当且仅当，即时取等号，4．若平面向量满足，则_________．【答案】【解析】因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以.故答案为：考法五平面向量运算的综合运用【例5-1】已知平面向量，，，，在下列命题中：①为单位向量，且，则；②存在唯一的实数，使得；③若且，则；④与共线，与共线，则与共线；⑤.正确命题的序号是（）A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③【答案】C【解析】①因为为单位向量，且，所以，则，故①正确；②若，满足，但不能推出存在唯一的实数，使得，故②错误；③向量的数量积运算不满足消去律，故③错误；④若，则与不一定共线，故④错误；⑤由于，所以，故⑤正确．故选：C．【例5-2】如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于、的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值为（）A． B．4 C．-5 D．5【答案】A【解析】因为点是线段的中点，所以向量，所以，又因为向量，方向相反，所以.故选：A.【一隅三反】1．已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（）（1）若，则；（2）若，则（3）若，则（4）若，则或A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）【答案】B【解析】已知非零平面向量，，，（1）若，则，所以或，即（1）错；（2）若，则与同向，所以，即（2）正确；（3）若，则，所以，则；即（3）正确；（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.2．已知两个非零向量，的夹角为，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，即，由基本不等式的性质可知，，，所以．故选：C．3．已知向量，满足，若对任意模为2的向量，均有，则向量的夹角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，若对任意模为2的向量，均有可得：可得:,平方得到，即故选：B4．设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，非零向量的夹角为，且，则，不等式对任意恒成立，所以，即，整理得恒成立，因为，所以，即，可得，即实数的取值范围为.故选：A.《6.2.2平面向量的数量积（精练）》同步练习【题组一向量的数量积】1．已知等边的边长为2，若，，则等于（）A． B． C．2 D．2．在中，为线段的中点，，，则（）A． B． C．3 D．43．在中，，，为的重心，则________．4．如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，则的值是________.5．在等腰中，斜边，，，，那么_____.6．如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F在边上，若，则的值是______.7．已知两个单位向量，的夹角为，.若，则实数______.8.已知非零向量，满足=，，.若⊥，则实数的值为_____________.【题组二向量的夹角】1．已知非零向量，，若，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．2．已知为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数_______________.3．已知平面向，满足，且，与夹角余弦值的最小值等于_________.4．已知向量满足.（1）求在上的投影；（2）求与夹角的余弦值.5．已知平面向量，，，，且与的夹角为．（1）求；（2）求；（3）若与垂直，求的值．6．已知向量满足，（1）若，求实数的值；（2）求向量与夹角的最大值.7．已知向量，且，与的夹角为.，.（1）求证：；（2）若，求的值；（3）若，求的值；（4）若与的夹角为，求的值.【题组三向量的投影】1．若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为（）A． B． C．-1 D．2．已知向量，，其中，，，则在方向上的投影为()A． B．1 C． D．23．已知向量，满足，，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（）A． B． C． D．4．已知，，，则在上的投影是（）A．1 B． C．2 D．5.已知，，，则向量在向量方向的投影（）A．1 B． C．3 D．6．在△ABC中，0，点P为BC的中点，且||＝||，则向量在向量上的投影为（）A． B．- C．﹣ D．7．已知向量满足，则向量在向量上的投影为________.8．设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为_______.9．已知平面向量满足，则在方向上的投影等于______．10．已知边长为2的等边中，则向量在向量方向上的投影为_____．11．已知为一个单位向量，与的夹角是.若在上的投影向量为，则_____________.12．已知非零向量、满足，，在方向上的投影为，则_______.【题组四向量的模长】1．已知平面向量，满足，，若，的夹角为120°，则（）A． B． C． D．32．若向量与的夹角为60°，且则等于（）A．37 B．13 C． D．3．已知向量，满足，，，则（）A．0 B．2 C． D．4．已知向量、满足：，，，则_________.5．若平面向量，满足，，则__________，__________．6．已知，，则的最大值为______；若，，且，则______.7．已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为9．设非零向量与的夹角是，且，则的最小值为（）A． B． C． D．110．已知平面向量、满足，则的最大值为________．11．已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求；（2）若，求.12．已知平面向量满足:，|.（1）若，求的值；（2）设向量的夹角为，若存在，使得，求的取值范围.13．已知向量，，，且．（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角．【题组五平面向量的综合运用】1．，是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（）A． B． C． D．2．若是非零向量，是单位向量，①，②，③，④，⑤，其中正确的有（）A．①②③ B．①②⑤ C．①②④ D．①②3．设为向量，则“”是“”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．若，，均为单位向量，且，，则的最大值是（）A．2 B． C． D．15．已知向量、、满足，且，则、、中最小的值是（）A． B． C． D．不能确定6．已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（）A．若，则或 B．若，则或C．若，则或 D．若，则7．（多选）若、、是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（）A．B．若，则C．若，则D．若，则8．（多选）已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）A．B．若且，则C．两个非零向量，，若，则与共线且反向D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是9．已知，，则的最小值为__________.10．在中，已知，，，则在方向上的投影为__________.11．已知平面向量，其中，的夹角是，则____________；若为任意实数，则的最小值为____________．12．在中，，，，是中点，在边上，，，则________，的值为________.13．已知向量与向量的夹角为，且，，.（1）求的值（2）记向量与向量的夹角为，求.14．已知，，向量与向量夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角时，的取值范围.15．在中，，记，且为正实数），（1）求证：；（2）将与的数量积表示为关于的函数；（3）求函数的最小值及此时角的大小．16．在如图所示的平面图形中，已知，，点A，B分别是线段CE，ED的中点．（1）试用，表示；（2）若，，且，的夹角，试求的取值范围．《6.2.2平面向量的数量积（精练）》同步练习答案解析【题组一向量的数量积】1．已知等边的边长为2，若，，则等于（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】等边△ABC的边长为2，，，∴，，∴，，．故选：D．2．在中，为线段的中点，，，则（）A． B． C．3 D．4【答案】B【解析】在中，为线段的中点，可得，,.故选：B.3．在中，，，为的重心，则________．【答案】6【解析】如图，点是的中点，为的重心，，，所以故答案为：64．如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，则的值是________.【答案】【解析】因为，，因此，故答案为：.5．在等腰中，斜边，，，，那么_____.【答案】【解析】由题可知在等腰中，斜边，，，即，，.故答案为：.6．如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F在边上，若，则的值是______.【答案】【解析】∵，，∴，，∴，故答案为：.7．已知两个单位向量，的夹角为，.若，则实数______.【答案】1【解析】两个单位向量，的夹角为，，又，，，解得．故答案为：1．8．已知非零向量，满足=，，.若⊥，则实数的值为_____________.【答案】【解析】非零向量，满足=，，,⊥,,解得，故答案为：【题组二向量的夹角】1．已知非零向量，，若，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，.故选:B.2．已知为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数_______________.【答案】或【解析】由，可得，则.由为单位向量，得，则，即，解得或.3．已知平面向，满足，且，与夹角余弦值的最小值等于_________.【答案】【解析】平面向,满足,则因为展开化简可得,因为,代入化简可得设与的夹角为则由上式可得而代入上式化简可得令,设与的夹角为,则由平面向量数量积定义可得,而所以由余弦函数的值域可得,即将不等式化简可得,解不等式可得综上可得,即而由平面向量数量积的运算可知,设与夹角为,则当分母越大时,的值越小;当的值越小时,分母的值越大所以当时,的值最小代入可得所以与夹角余弦值的最小值等于故答案为:4．已知向量满足.（1）求在上的投影；（2）求与夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），设和的夹角为，在上的投影为：；（2）设与夹角为，.5．已知平面向量，，，，且与的夹角为．（1）求；（2）求；（3）若与垂直，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）；（2），；（3），，即，解得：.6．已知向量满足，（1）若，求实数的值；（2）求向量与夹角的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，，所以，则与同向.因为，所以，即，整理得，解得，所以当时，.（2）设的夹角为，则，当，即时，取最小值，又，所以，即向量与夹角的最大值为.7．已知向量，且，与的夹角为.，.（1）求证：；（2）若，求的值；（3）若，求的值；（4）若与的夹角为，求的值.【答案】（1）见解析（2）或.（3）（4）【解析】（1）证明：因为，与的夹角为，所以，所以.（2）由得，即.因为，，所以，，所以，即.所以或.（3）由知，即，即.因为，，所以，，所以.所以.（4）由前面解答知，，.而，所以.因为，由得，化简得，所以或.经检验知不成立，故.【题组三向量的投影】1．若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为（）A． B． C．-1 D．【答案】B【解析】利用向量垂直的充要条件有：，∴，则向量在方向上的投影为,故选B.2．已知向量，，其中，，，则在方向上的投影为()A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由题意，向量，，其中，，，可得……(1)……(2)联立(1)(2)解得，，所以在方向上的投影为.故选：C.3．已知向量，满足，，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设两个向量的夹角为，则，从而，因为，故，所以．故选：A．4．已知，，，则在上的投影是（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】因为，，，所以所以在上的投影故选：C5.已知，，，则向量在向量方向的投影（）A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】由题意，向量，，，可得，解得，所以向量在向量方向的投影.故选：A.6．在△ABC中，0，点P为BC的中点，且||＝||，则向量在向量上的投影为（）A． B．- C．﹣ D．【答案】D【解析】根据题意，，又点为中点，故可得，如下所示：故三角形为等边三角形，故可得，不妨设，故可得，则向量在向量上的投影为.故选：.7．已知向量满足，则向量在向量上的投影为________.【答案】【解析】向量满足，可得，，即为，，两式相减可得，则向量在向量上的投影为．故答案为：．8．设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为_______.【答案】【解析】，，，，，向量在向量上的投影的数量为.故答案为：.9．已知平面向量满足，则在方向上的投影等于______．【答案】【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：，据此可得，在方向上的投影等于.10．已知边长为2的等边中，则向量在向量方向上的投影为_____．【答案】【解析】因为是等边三角形，所以向量与向量的夹角为，因为边长为2，所以向量在向量方向上的投影为，故答案为：.11．已知为一个单位向量，与的夹角是.若在上的投影向量为，则_____________.【答案】4【解析】为一个单位向量,与的夹角是由平面向量数量积定义可得,根据平面向量投影定义可得,∴.故答案为:412．已知非零向量、满足，，在方向上的投影为，则_______.【答案】【解析】，在方向上的投影为，，，，可得，因此，.故答案为：.【题组四向量的模长】1．已知平面向量，满足，，若，的夹角为120°，则（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】由题意得，，故选：A.2．若向量与的夹角为60°，且则等于（）A．37 B．13 C． D．【答案】C【解析】因为向量与的夹角为60°，且所以所以，故选：C．3．已知向量，满足，，，则（）A．0 B．2 C． D．【答案】D【解析】因为向量,满足,,则故选:D4．已知向量、满足：，，，则_________.【答案】.【解析】，，，因此，，故答案为.5．若平面向量，满足，，则__________，__________．【答案】-14【解析】由，得，①由，得，②①-②得：，∴．故．故答案为：①-1；②4.6．已知，，则的最大值为______；若，，且，则______.【答案】1410【解析】，当且仅当同向时等号成立，所以，即的最大值为14，由两边平方可得：，所以，所以，即.故答案为：14；107．已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为【答案】8【解析】因为在上的投影（正射影的数量）为，所以，即，而，所以，因为所以，即，故选D.9．设非零向量与的夹角是，且，则的最小值为（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】对于，和的关系，根据平行四边形法则，如图，，,，，，，，，，，化简得当且仅当时，的最小值为.故选：B.10．已知平面向量、满足，则的最大值为________．【答案】【解析】，则，设与的夹角为，则，，，，可得，，则，所以，，，则，所以，当时，取最大值.故答案为：.11．已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，整理得：，解得：或.12．已知平面向量满足:，|.（1）若，求的值；（2）设向量的夹角为，若存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）若，则，又因为，|，所以，所以；（2）若，则，又因为，，所以即，所以，解得或，所以.13．已知向量，，，且．（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角．【答案】（1），；（2），．【解析】（1）因为向量，，，且，所以，所以，又，所以；（2）记与的夹角为，与的夹角为，则，所以．，所以．【题组五平面向量的综合运用】1．，是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】A．可能方向不同，故错误；B．，两向量夹角未知，故错误；C．，所以，故错误；D．由C知，故正确，故选：D.2．若是非零向量，是单位向量，①，②，③，④，⑤，其中正确的有（）A．①②③ B．①②⑤ C．①②④ D．①②【答案】D【解析】∵，∴，①正确；为单位向量，故，②正确；表示与方向相同的单位向量，不一定与方向相同，故③错误；与不一定共线，故不成立，故④错误，若与垂直，则有，故⑤错误．故选：D.3．设为向量，则“”是“”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积运算，若，即=所以=1，即所以若，则的夹角为0°或180°，所以“或即所以“”是“”的充分必要条件所以选C4．若，，均为单位向量，且，，则的最大值是（）A．2 B． C． D．1【答案】A【解析】，，均为单位向量，且，，，设，，得：，，方程有解，，，的最大值为2．故选：A．5．已知向量、、满足，且，则、、中最小的值是（）A． B． C． D．不能确定【答案】C【解析】由，可得，平方可得．同理可得、，，则、、中最小的值是．故选：．6．已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（）A．若，则或 B．若，则或C．若，则或 D．若，则【答案】B【解析】对于选项，若，则或或，故错误；对于选项，由，得，即可得其模相等，但方向不确定，故错误；对于选项，由，得，则或或，故错误；对于选项，由，可得或，故正确，故选：.7．（多选）若、、是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（）A．B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【解析】是与共线的向量，是与共线的向量，与不一定共线，A错，若，则与方向相反，∴，B对，若，则，即，不能推出，C错，若，则，与方向不一定相同，不能推出，D错，故选：AC