备战2024年高考数学一轮复习高中数学二轮复习完美题型精讲精练（上册）

目录TOC\o"1-3"\h\u4715第1讲函数图象与性质 225711题型一函数及其表示 215476题型二函数的性质及应用 232039题型三函数的图象及应用 42045第2讲基本初等函数、函数的应用 1019228题型一基本初等函数的图象和性质 1014221题型二函数模型的实际应用 1128350题型三函数的零点及应用 1214799第3讲利用导数研究函数的性质 165151题型一导数的几何意义 1627225题型二利用导数研究函数的单调性 1712575题型三利用导数研究函数的极值、最值 2021922第4讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题 2315881题型一利用导数研究函数的单调性 23436题型二利用导数研究函数的极值、最值 251025第5讲利用导数研究不等式问题 302397题型一构造法证明不等式 3014322题型二等价转化法解决不等式恒成立问题 311511题型三等价转化法解决不等式能成立问题 323550第6讲利导数研究函数零点问题 3625509题型一证明或判断函数零点个数问题 364029题型二已知函数零点个数求参数范围 3724535第7讲解决极值点偏移问题的四大技巧 427252题型一构造对称和（或差） 428879题型二比值代换法 4321918题型三消参减元 4415997第8讲三角函数的图象与性质 4717355题型一三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系 4825938题型二三角函数的图象与解析式 4822746题型三三角函数的性质及应用 4928822第9讲三角函数中参数专题 528792题型一的取值范围与单调性相结合 5229281题型二的取值范围与对称性相结合 528654题型三的取值范围与三角函数的最值相结合 521692题型四的取值范围与三角函数的零点相结合 5318913题型五的取值范围与三角函数的极值相结合 532615第10讲三角恒等变换、解三角形 5619763题型一三角恒等变换 5620724题型二利用正余弦定理解三角形 565506题型三正余弦定理的实际应用 5730355第11讲平面向量 6111424题型一平面向量的线性运算 623689题型二平面向量的数量积 6228208题型三平面向量的综合应用 6319623第12讲解三角形大题的考法研究 6620560题型一利用正余弦定理求边或角 6624281题型二与面积有关的解三角形问题 6717052题型三解三角形中的最值与范围问题 67第1讲函数图象与性质【题型精讲】题型一：函数及其表示1．（2021·江西·模拟预测（文））已知函数的定义域与值域均为，则（）A． B． C． D．12．（2021·河南省信阳市第二高级中学高三月考（理））若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．3．（2021·重庆市实验中学高三开学考试）若函数的定义域为，则实数取值范围是（）A． B．C． D．4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数，则函数的零点个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2021·四川绵阳·高三月考（理））设函数则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2021·四川绵阳·高三月考（文））设若，则（）A． B．或 C．或 D．题型二：函数的性质及应用1、函数的奇偶性与周期性1．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）“”是“函数为偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2021·河南·高三月考（理））“”是“函数为奇函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2021·湖北·高三期中）已知偶函数在上单调递增，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．4．（2021·江西赣州·高三期中（文））已如的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（）A． B．2 C．0 D．5．（2021·重庆市涪陵实验中学校高三期中）已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（）A． B． C．0 D．26．（2021·重庆市秀山高级中学校高三月考）定义在R上的图象不间断的奇函数，满足以下条件：①当时，，当时，；②，则当时，的解集为（）A． B． C． D．2、函数的单调性及应用1．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数（其中是自然对数的底数），若，，，则的大小关系为（）A． B．C． D．2．（2021·四川资阳·高三月考（理））已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2021·全国·高三月考）已知函数，实数满足：则的取值范围是（）A． B． C． D．4．（2021·广东·高三月考）已知函数，则满足的实数的取值范围是（）A． B．C． D．5．（2021·江苏省响水中学高三月考）已知函数，若，则（）A． B．C． D．6．（2021·北京十五中高三月考）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．题型三：函数的图象及应用1．（2021·山西·太原五中高三月考（文））函数的图象大致为（）A． B．C． D．2．（2021·江西·奉新县第一中学高三月考（理））函数的图象大致为（）A． B．C． D．3．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知函数，则函数的大致图象为（）A． B．C． D．4．（2021·福建·福清西山学校高三期中）函数的图象大致为（）.A． B． C． D．5．（2021·天津市西青区张家窝中学高三月考）函数的图象大致为（）A． B．C． D．6．（2021·浙江·模拟预测）函数的图象可能是（）A． B．C． D．【课后精练】1．（2021·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测（理））已知函数在上单调递增，当取得最大值时，若存在使得成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2021·江苏·沭阳如东中学高三月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2021·山东省淄博实验中学高三月考）已知函数则（）A．3 B． C． D．24．（2021·上海市嘉定区第二中学高三期中）定义在上的偶函数满足，当时，，，，，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．5．（2021·全国·高三月考（理））已知函数若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）“”是“函数为偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2021·河南·高三月考（文））函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．8．（2021·黑龙江·哈九中高三月考（理））函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．二、多选题9．（2021·重庆一中高三月考）已知函数，则下列有关结论正确的是（）A．在其定义域内是单调递增的 B．有且仅有两个零点C．的解集是 D．的值域是10．（2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试）设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的值可以是（）A．-1 B． C． D．11．（2021·辽宁丹东·高三期中）函数的定义域为，当时，若与都为奇函数，则（）A． B．的最大值为C． D．的图象关于点对称12．（2021·江苏省如皋中学高三月考）设函数，其中表示中的最小者，说法正确的有（）A．函数为偶函数 B．当时，有C．当时， D．当时，三、填空题13．（2021·上海市嘉定区第二中学高三期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________.14．（2021·上海市第三女子中学高三期中）函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是____________．15．（2021·上海市上南中学高三月考）设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是___________.16．（2021·江苏苏州·高三期中）已知是定义在上的奇函数，且，则的最小正周期为___________；若对任意的，当时，都有，则关于x的不等式在区间上的解集为___________.第2讲基本初等函数、函数的应用【题型精讲】题型一：基本初等函数的图象和性质1．（2021·重庆八中高三月考）已知关于x的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2．（2021·辽宁实验中学高三月考）函数的图象是（）A． B． C．D．3．（2021·海南·北京师范大学万宁附属中学高三月考）函数的图象大致为（）A． B． C． D．4．（2021·吉林长春·高三月考（理））已知函数在单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．（2021·河南·高三月考（理））设，，，则（）A． B． C． D．6．（2021·江西赣州·高三期中（理））函数的值域为（）A． B． C． D．7．（2021·全国·高三月考）已知函数，实数满足：则的取值范围是（）A． B． C． D．8．（2021·福建晋江·高三月考）函数的单调递增区间为（）A． B． C．（1，3） D．（-1，1）题型二：函数模型的实际应用1．（2021·四川资阳·高三月考（理））三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，其出土文物是宝贵的人类文化遗产，在人类文明发展史上占有重要地位．2021年，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址的重大考古发现再一次惊艳世界．为推测文物年代，考古学者通常用碳测年法推算（碳测年法是根据碳的衰变程度计算出样品的大概年代的一种测量方法）．2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳年代测定，检测出碳的残留量约为初始量的，已知碳的半衰期是5730年（即每经过5730年，遗存材料的碳含量衰减为原来的一半）．以此推算出该文物大致年代是（）（参考数据：，）A．公元前1600年到公元前1500年 B．公元前1500年到公元前1400年C．公元前1400年到公元前1300年 D．公元前1300年到公元前1200年2．（2021·山东师范大学附中高三月考）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于，小于的驾驶行为为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过（）小时才能驾驶.（参考数据，）A．3 B．5 C．7 D．93．（2021·云南大理·模拟预测（理））牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（t为时间，单位为分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过多少分钟水温降为？（参考数据：）（）A．8 B．7 C．6 D．74．（2021·广东肇庆·模拟预测）北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中，（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，（单位：吨）表示它装载的燃料质量，（单位：吨）表示它自身（除燃料外）质量．若某型号的火箭发动机的喷射速度为千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度达到第一宇宙速度（千米/秒），则火箭的燃料质量与火箭自身质量之比约为（）A． B． C． D．5．（2021·湖南·衡阳市八中模拟预测）数字通信的研究中，需要解决在恶劣环境（噪声和干扰导致极低的信噪比）下的网络信息正常传输问题.根据香农公式，式中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是数据传送速率的极限值，单位是为信号与噪声的功率之比，为无量纲单位（如：，即信号功率是噪声功率的1000倍），讨论信噪比时，常以分贝为单位即（信噪比，单位为）.在信息最大速率不变的情况下，要克服恶劣环境影响，可采用提高信号带宽的方法来维持或提高通信的性能.现在从信噪比的环境转到的环境，则信号带宽大约要提高（）（附：）A．10倍 B．9倍 C．2倍 D．1倍6．（2021·全国·高三专题练习）“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6的保鲜时间为216小时，在24的保鲜时间为8小时，那么在12时，该果蔬的保鲜时间为（）小时．A．72 B．36 C．24 D．16题型三：函数的零点及应用1、确定函数零点的个数或者存在区间1．（2021·北京十五中高三期中）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间内有零点的函数是（）A． B． C． D．2．（2021·天津二中高三期中）已知函数，则的零点所在的区间是（）A． B．C． D．3．（2021·天津·大钟庄高中高三月考）函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．4．（2021·河南·高三月考（文））已知函数，若方程有两个不同的实数根，则的取值范围为（）A． B． C． D．5．（2021·四川成都·高三月考（文））关于的方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知函数若关于的方程有三个实数解，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．2、根据函数的零点求参数的取值范围1．（2021·全国·高三月考）若函数存在零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．2．（2021·北京市第十二中学高三月考）已知，函数，函数恰有2个零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．3．（2021·江苏省上冈高级中学高三月考）若曲线与轴有且只有2个交点，则实数的取值范围是（）A． B．C．或 D．或4．（2021·湖北·黄冈中学模拟预测）若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.若关于的方程恰有两个不同的实根，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2021·全国·高三专题练习）若函数存在2个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【课后精练】一、单选题1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数，则函数的零点个数为（）A．个 B．个 C．个 D．个2．（2021·北京十五中高三期中）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间内有零点的函数是（）A． B． C． D．3．（2021·广东龙岗·高三期中）已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4．（2021·天津二中高三期中）已知函数，则的零点所在的区间是（）A． B．C． D．5．（2021·天津·大钟庄高中高三月考）函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．6．（2021·湖北·襄阳五中高三月考）下列函数在上单调递增且存在零点的是（）A． B． C． D．7．（2021·北京育才学校高三月考）函数的零点所在区间是（）A． B． C． D．8．（2021·山东师范大学附中高三月考）已知函数，，若方程有4个实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题9．（2021·全国·高三月考）是定义在上的偶函数，对，均有，当时，，则下列结论正确的是（）A．函数的一个周期为 B．C．当时， D．函数在内有个零点10．（2021·福建省长汀县第一中学高三月考）已知函数满足：当时，，当时；当时，（，且）.若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，则（）A．为周期函数B．的值域为C．实数的取值范围为D．实数的取值范围为11．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并构成一般不动点的基石，它得名与荷兰教学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A． B．C． D．12．（2021·辽宁·大连市第四十八中学高三期中）是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中正确的是（）A．的值域为B．当时，C．图象的对称轴为直线D．方程恰有5个实数解三、填空题13．（2021·山东烟台·高三期中）已知，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________.14．（2021·福建·三明一中高三学业考试）已知函数的零点，则__________．15．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））已知函数，若关于的方程有且只有3个实数根，则实数的取值范围是___________.16．（2021·浙江金华·高三月考）设函数已知不等式的解集为，则______，若方程有3个不同的解，则m的取值范围是________．第3讲利用导数研究函数的性质【题型精讲】题型一：导数的几何意义1．（2021·陕西·西安中学高三期中）若函数存在平行于轴的切线，则实数取值范围是（）A． B． C． D．2．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．3．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A． B．C． D．4．（2021·全国·高三专题练习）点P在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A． B．C． D．5．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三月考（理））函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2021·全国·高三专题练习）若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（）A． B． C． D．题型二：利用导数研究函数的单调性1、与函数的单调区间有关的问题1．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三月考（理））函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．2．（2021·河南·高三月考（文））若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．3．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数在单调递增的一个必要不充分条件是（）A． B． C． D．4．（2021·西藏·拉萨中学高三月考（文））函数是上的单调函数，则的范围是（）A． B． C． D．5．（2021·全国·高三月考（理））若的单调减区间是，则的值是（）A． B． C． D．6．（2021·全国·高三月考（文））函数在上单调递减则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．7．（2021·宁夏·中宁一中高三月考（理））若在上是减函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．（2021·江西宜春·模拟预测（文））“”是“函数在上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（2021·浙江·高三专题练习）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．（2021·重庆市清华中学校高三月考）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2、构造函数比较大小或解不等式1．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．2．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在上的函数满足且有，则的解集为（）A． B． C． D．3．（2021·陕西渭南·高三月考（理））已知定义在上的奇函数的导函数为，且，则（）A． B．C． D．4．（2021·内蒙古宁城·高三月考（文））已知函数对任意的满足（其中为函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．5．（2021·云南·昆明一中高三月考（理））已知定义在上的函数的导函数为，，则下列不等关系成立的是（）A． B．C． D．6．（2021·四川·成都外国语学校高三月考（文））设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（）A． B． C． D．7．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（文））定义在上的函数，其导函数为，若恒有，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．8．（2021·江苏·苏州中学高三月考）已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（）A． B．C． D．9．（2021·河南省信阳市第二高级中学高三月考（理））已知定义在上的函数满足：对任意恒成立，其中为的导函数，则不等式的解集为（）A． B．C． D．10．（2021·新疆喀什·模拟预测）定义在上的偶函数存在导数，且当时，有恒成立，若，则实数的取值范围是（）A．， B．C． D．，，题型三：利用导数研究函数的极值、最值1．（2021·河南·高三月考（理））函数的极大值为（）A． B． C．0 D．2．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数在处取得极小值，若，，使得，且，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．63．（2021·山西太原·高三期中）若是函数的极值点，则函数（）A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值C．有最小值，最大值 D．无最大值，无最小值4．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三月考（文））如图是函数的大致图象，则（）A． B． C． D．5．（2021·全国·高三月考（理））已知函数若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2021·湖北·高三月考）已知函数，若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．7．（2021·江苏·泰州中学高三月考）已知函数，若存在实数，满足，且，则的最大值为（）A． B．C． D．18．（2021·浙江·高三月考）已知，函数的最小值为，则的最小值为（）A． B． C． D．9．（2021·重庆市第七中学校高三月考）“当时，不等式恒成立”的一个必要不充分条件为（）A． B．C． D．10．（2021·北京·潞河中学高三月考）若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【课后精练】一、单选题1．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．2．（2021·河南·高三月考（文））函数的极大值为（）A． B．C． D．3．（2021·全国·高三月考（文））函数在上单调递减则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数在单调递增的一个必要不充分条件是（）A． B． C． D．5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（文））已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数（其中是自然对数的底数），若，，，则的大小关系为（）A． B．C． D．7．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（）A． B．C． D．8．（2021·广东深圳·高三月考）已知函数若函数有三个零点，则（）A． B． C． D．二、多选题9．（2021·湖北·高三月考）已知函数．则下列说法正确的是（）A．当时，B．当时，直线与函数的图象相切C．若函数在区间上单调递增，则D．若在区间上恒成立，则10．（2021·辽宁沈阳·高三月考）已知函数(其中是自然对数的底数)，函数有三个零点，则（）A．实数的取值范围为B．实数的取值范围为C．的取值范围为D．的取值范围为11．（2021·重庆·高三月考）定义域在R上函数的导函数为，满足，，则下列正确的是（）A． B．C． D．12．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，，是其导函数，恒有，则（）A． B．C． D．三、填空题13．（2021·江西赣州·高三期中（理））已如函数，若.则的取值范围为___________.14．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数，若对于任意的且，都有成立，则的取值范围是________.15．（2021·宁夏·固原一中高三期中（文））已知函数是定义在上的偶函数，，，则不等式的解集为______．16．（2021·陕西·千阳县中学二模（理））已知函数，则的值域是___________.设函数，若对于任意实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________第4讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题【题型精讲】题型一：利用导数研究函数的单调性1、讨论函数的单调性（或区间）1．（2021·广东·深圳市福田区福田中学高三月考）已知函数．（1）讨论函数的单调性；2．（2021·安徽·芜湖一中高三月考（理））已知函数.（1）若函数在处取到极值，求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性.3．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高三月考（文））已知函数（为常数）1）讨论函数的单调性；2、根据函数的单调性求参数的取值范围1．（2021·重庆市清华中学校高三月考）已知函数，其中.（1）若函数恰好有三个单调区间，求实数的取值范围；2．（2021·山西省新绛中学校高三月考（文））已知函数，.（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数在区间内是减函数，求的取值范围；（3）若函数的单调减区间是，求的值.3．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数，（1）若在上为单调减函数，求实数取值范围；题型二：利用导数研究函数的极值、最值1．（2021·天津·大钟庄高中高三月考）设函数的导数满足，.（1）求的单调区间；（2）在区间上的最大值为，求的值.（3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.2．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值.3．（2021·四川资阳·高三月考（理））已知函数．（1）当时，求函数在时的最大值和最小值；（2）若函数在区间存在极小值，求的取值范围．4．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数不存在极值点，求证：.5．（2021·广东顺德·高三月考）已知函数的两个极值点为，2，且在处的切线方程为．（1）求函数的表达式；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．6．（2021·福建·福清西山学校高三期中）已知函数.（1）求函数的极值；（2）是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【课后精练】1．（2021·天津·大钟庄高中高三月考）设函数的导数满足，.（1）求的单调区间；（2）在区间上的最大值为，求的值.（3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.2．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值.3．（2021·四川资阳·高三月考（理））已知函数．（1）当时，求函数在时的最大值和最小值；（2）若函数在区间存在极小值，求的取值范围．4．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数不存在极值点，求证：.5．（2021·广东顺德·高三月考）已知函数的两个极值点为，2，且在处的切线方程为．（1）求函数的表达式；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．6．（2021·福建·福清西山学校高三期中）已知函数.（1）求函数的极值；（2）是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.7．（2021·天津市第二十一中学高三期中）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）讨论函数单调性．8．（2021·全国·高三月考（文））已知函数.（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若恒成立，求的取值范围.9．（2021·山西太原·高三期中）已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.10．（2021·陕西·西安中学高三期中（文））己知函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，若恒成立，求的取值范围．第5讲利用导数研究不等式问题【题型精讲】题型一：构造法证明不等式1．（2021·山东德州·高三期中）已知函数(其中常数是自然对数的底数).（1）当时，讨论函数的单调性；（2）证明：对任意，当时，.2．（2021·河南驻马店·高三月考（文））已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，证明：.3．（2021·湖北武汉·高三月考）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）证明：对任意的，当时，.题型二：等价转化法解决不等式恒成立问题1．（2021·山东济宁·高三期中）已知函数，，其中.（1）若，在平面直角坐标系中，过坐标原点分别作函数与函数图象的切线和，求，的斜率之积；（2）若对上，总有成立，试求实数的最小值.2．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知函数，其中．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上，恒成立，求的取值范围．3．（2021·云南大理·模拟预测（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，函数的图象均在轴下方，求实数的取值范围．题型三：等价转化法解决不等式能成立问题1．（2021·海南·高三月考）已知，在上是单调递增函数.(1)求的最小值；(2)当实数取最小值时，若存在实数x使不等式成立，求实数的取值范围.2．（2021·北京市海淀外国语实验学校高三月考）已知函数，其中.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若存在实数，使得不等式的解集为，求的取值范围.3．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.【课后精练】1．（2021·吉林·高三开学考试（理））已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明：当时，.2．（2021·黑龙江·佳木斯一中高三月考（文））已知函数.（1）讨论函数极值点的个数；（2）若有两个零点，证明：.3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（文））已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）当时，求证：.4．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意都有，求实数的取值范围.5．（2021·安徽·高三月考（文））已知函数.（1）若函数为增函数，求的取值范围；（2）当，若在定义域内恒成立，求的值.6．（2021·全国·高三专题练习）设函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；（2）若对任何恒成立，求的取值范围．7．（2021·山东·滕州市第一中学新校高三月考）设函数，.（1）讨论函数零点的个数；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.8．（2021·吉林吉林·高三月考（理））已知函数，.（1）求函数的极值；（2），，使成立，求的取值范围.9．（2021·天津市静海区第六中学高三开学考试）已知函数，.（1）在点处的切线方程；（2）求函数在上的最小值；（3）若存在使得成立，求实数的取值范围.10．（2021·江西南昌·三模（理））已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3，且当时，，其中e是自然对数的底数．（1）求函数的解析式；（2）求最大的整数，使得存在，只要，就有．第6讲利用导数研究函数零点问题【题型精讲】题型一：证明或判断函数零点个数问题1．（2021·全国·高三月考（理））已知，函数.（1）证明：在上有唯一的极值点；（2）当时，求在上的零点个数.2．（2021·河南·高三月考（理））已知函数，曲线在处的切线为.（1）解不等式；（2）求证：直线与在内有且只有一个交点.3．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，当时，讨论函数的零点个数.4．（2021·广东·高三月考）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程．（2）证明：在上有且仅有2个零点．5．（2021·四川·石室中学高三月考（文））已知，.（1）判断的奇偶性，并加以证明；（2）当时，判断的零点的个数，并证明你的结论.题型二：已知函数零点个数求参数范围1．（2021·吉林吉林·高三月考（文））已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.2．（2021·河南·高三月考（文））已知函数．（1）若，证明：当时，．（2）若有个不同的零点，求的取值范围．3．（2021·天津市第一百中学高三月考）已知函数，.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，求函数在区间的最值；（3）若恰有三个零点，求的取值范围.4．（2021·河南·高三月考（文））已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设，若在定义域上单调且有唯一零点，求实数的取值范围.5．（2021·黑龙江·大庆市东风中学高三月考（文））已知函数（,为自然对数的底数）在处的切线与轴平行.（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【课后精练】1．（2021·广东·福田外国语高中高三月考）已知函数在处的切线与直线平行.（1）求实数的值；（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.2．（2021·贵州遵义·高三月考（文））设函数，且函数的单调递减区间为．（1）求函数的表达式，并求出函数的单调递增区间；（2）若函数有个不相等的实数根，求实数的取值范围．3．（2021·湖北·武汉市第一中学高三月考）设函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若方程在区间上有两个解，求实数的取值范围.4．（2021·湖南·宁乡一中高三月考）已知函数.（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）若曲线与直线有三个不同的交点，求实数的取值范围.5．（2021·四川泸州·三模（文））已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若是函数的极值点，且关于的方程有两个实根，求实数的取值范围．6．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围.7．（2021·江西·模拟预测（文））函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．8．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））已知函数，其中是常数.(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围.9．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数.（1）若，求函数的在处的切线方程;（2）若，证明:方程无解.10．（2021·宁夏银川二十四中高三月考（理））已知函数在处取得极值．(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．第7讲解决极值点偏移问题的四大技巧【题型精讲】题型一：构造对称和（或差）1．（2021·山西·太原五中高三月考（理））设函数．（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．2．（2021·北京·临川学校高三期末）已知函数．（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，求证：．3．（2021·全国全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）设方程的两个根分别为，，求证：.题型二：比值代换法1．（2021·全国·高三月考）已知函数（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；（2）若函数有两个极值点，求证：2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，.（1）求的取值范围；（2）求证：.3．（2021·安徽·毛坦厂中学高三月考（理））已知函数（）.（1）若，求函数在处的切线；（2）若有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：.题型三：消参减元1．（2021·湖南师大附中高三月考）已知函数．（1）若恒成立，求实数的取值范围．（2）若函数的两个零点为，，证明：．2．（2021·浙江·模拟预测）已知函数.（1）设函数，且恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：；（3）设函数的两个零点、，求证：.3．（2021·全国·高二单元测试）已知函数，.（1）求函数的增区间；（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：.【课后精练】1．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））已知函数（其中为自然对数的底数，为常数）．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当函数有极大值，且极大值为时，若方程（m为常数）有两个不等实根则.2．（2021·重庆市开州中学高三月考）设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若在定义域内存在两实数，满足且，证明：.3．（2021·江苏·周市高级中学高三开学考试）已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若，且，证明：．4．（2021·全国·高二课时练习）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.5．（2021·新疆·克拉玛依市第一中学高二月考）已知定义在上的函数．（1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；（2）若，，，为的极小值，求证：．6．（2021·全国·高三专题练习）已知函数．（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数在最大值；（2）当时，设函数的两个零点为，试证明：．7．（2021·四川·川大附中高二期中）已知函数.（1）若在定义域上不单调，求的取值范围；（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.8．（2021·江苏·吴江中学高二月考）已知函数.（1）求函数的极值；（2）若函数有两个零点，且，证明：.第8讲三角函数的图象与性质【题型精讲】题型（一）三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系1．（2021·湖北·高三月考）已知点为角终边上一点，，且，则（）A．2 B． C．1 D．2．（2021·全国·模拟预测（文））已知点是角终边上一点，且，则等于（）A． B． C． D．3．（2021·河南·高三月考（理））已知，则（）A． B． C． D．4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设，，则的值为（）A． B． C． D．5．（2021·江苏省镇江中学高三月考）若，则（）A． B． C． D．6．（2021·全国·高三月考）已知，则__________．题型（二）三角函数的图象与解析式1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知的一段图象如图所示，则（）A．B．的图象的一个对称中心为C．的单调递增区间是D．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象2．（2021·安徽·高三开学考试（理））如图是函数在一个周期内的图象，将的图象上所有的点向右平行移动个单位长度可得的图象，则=（）A． B． C． D．3．（2021·全国全国·模拟预测（理））已知函数经过变换可得，则下列变换正确的是（）A．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍B．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍C．先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍D．先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍题型（三）三角函数的性质及应用1．（2021·北京十五中高三期中）设函数，则下列结论错误的是（）A．的一个周期为B．的图象关于直线对称C．将函数的图象向左平移个单位可以得到函数的图象D．在上单调递减2．（2021·天津·静海一中高三月考）已知函数，下列结论中正确的有_______（1）的图象关于中心对称（2）在上单调递减（3）的图象关于对称（4）的最大值为33．（2021·宁夏·平罗中学高三月考（理））已知函数的部分图象如图所示，，给出以下说法：①将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象；②的图象关于直线x=1对称；③的图象关于点成中心对称；④在上单调递减.其中所有正确说法的编号是___________【课后精练】一、单选题1．（2021·全国·高三月考（理））玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸（单位：）如图所示，则该壁画的扇面面积约为（）A． B． C． D．2．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为（）A． B． C． D．3．（2021·全国·高三专题练习）我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（）A． B． C． D．4．（2021·江西柴桑·高三月考（理））函数的图象大致形状为（）．A． B．C． D．5．（2021·全国·高三月考）已知函数图象相邻两条对称轴间的距离为，且对任意实数，都有．将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则关于函数描述不正确的是（）A．最小正周期是 B．最大值是C．函数在上单调递增 D．图象关于直线对称6．（2021·全国·高三月考（理））已知，且，则（）A． B． C． D．7．（2021·河南·高三月考（文））将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在上的最小值为（）A． B． C． D．第9讲三角函数中参数专题【题型精讲】题型(一）的取值范围与单调性相结合1．（2021·甘肃·西北师大附中高三期中）已知，函数在内单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2021·全国·高三专题练习）函数在区间内单调递减，则的最大值为（）A． B． C． D．题型(二）的取值范围与对称性相结合1．（2021·安徽·定远县育才学校高三开学考试（理））已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．12．（2021·全国·模拟预测（文））已知函数()的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4题型(三）的取值范围与三角函数的最值相结合1．（2019·湖南师大附中（理））将函数图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则的取值范围是（）A． B．C． D．2．（2019·湖南怀化·（理））将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为A． B． C．1 D．2题型(四）的取值范围与三角函数的零点相结合1．（2021·广西桂林·（文））函数的图象向左平移个单位长度得到函数，在上有且只有5个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2020·陕西省宝鸡市长岭中学（理））已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是A． B．C． D．题型(五）的取值范围与三角函数的极值相结合1．（2021·四川·石室中学（文））函数在内有且仅有一个极大值点，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．（2019·云南曲靖·（文））已知函数（）在区间内无极值点，则的取值范围为A． B． C． D．【课后精练】一、单选题1．（2021·全国·模拟预测（理））已知函数()在上是单调函数，则的最大值是（）A．2 B．4 C．8 D．102．（2021·四川·泸州老窖天府中学高三月考（文））已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为，则有（）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值3．（2021·陕西·高三月考（理））已知函数的图象关于对称，则的最小值为（）A． B． C． D．4．（2021·全国·）将函数的图像先向右平移个单位，再把所得函数图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．（2020·安徽·马鞍山二中（理））已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2020·全国·）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，若函数在上单调递减，则正数的最大值为A． B．1 C． D．7．（2020·宁夏长庆高级中学（理））若将函数()的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．38．（2020·全国·）已知函数，把函数的图象向右平移得到函数的图象，函数在区间上单调递减，在上单调递增，则（）A． B． C． D．9．（2021·天津滨海新·一模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．10．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数在上不单调，在上单调，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．11．（2021·全国·）已知函数在区间上恰有2个最大值点，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．（2021·全国·（文））已知函数在内有且仅有1个最大值点和3个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．13．（2020·四川省泸县第二中学（文））已知，函数在区间内没有最值，则的取值范围（）A． B． C． D．第10讲三角恒等变换、解三角形【题型精讲】题型一:三角恒等变换1．（2021·福建宁德·高三期中）已知，则（）A． B． C． D．2．（2021·全国·高三月考（文））已知，则（）A． B．C． D．3．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知，且，则（）A． B． C． D．题型二：利用正余弦定理解三角形1．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知中，角所对的边分别为，若，则的面积为（）A． B． C．1 D．2．（2021·河南·高三月考（文））在锐角中，角的对边分别为，若则的取值范围为（）A． B．C． D．3．（2021·江苏省苏州第十中学校高三月考）中，为边的中点，，，，则的面积为___________.4．（2021·全国·高三专题练习）在平面四边形中，角，，则的取值范围是__________．题型三：正余弦定理的实际应用1．（2021·湖北·高三月考）如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为________．2．（2021·河南·高三月考（文））如图所示，公园直立的路灯杆BC正前方有棵挺拔的小树NH，在路灯杆前的点A（BC，NH，点A在同一平面内）处测得路灯顶点B处和小树顶点N处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M，此时M，N，B三点在同一条直线上.在点M处测得MH=1m，小树顶点N处的仰角为60°，则路灯杆BC的长为___________m.3．（2021·全国·高三月考（文））如图，设的内角，，所对的边分别为，，，若，，是外一点，，，则四边形面积的最大值是___________.4．（2021·安徽省舒城中学三模（理））如图，某湖有一半径为的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．【课后精练】一、单选题1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则图2中菱形的一个锐角的余弦值为（）A． B． C． D．2．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．3．（2021·全国·高三专题练习）1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高，山高，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（）A． B．C． D．4．（2021·辽宁·高三月考）人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得=（）A． B． C． D．5．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知，则（）A． B． C． D．6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知，则（）A． B． C． D．7．（2021·北京市第十三中学高三期中）从长度分别为的根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（）A．可能是锐角 B．一定是直角 C．可能大于 D．一定小于8．（2021·陕西渭南·高三月考（理））在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则最小内角的正弦值为（）A． B． C． D．9．（2021·河南·高三月考（理））已知锐角三角形的三边长分别为2，5，，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．10．（2021·福建·莆田第二十五中学高三月考）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是（）A． B．C． D．11．（2021·全国·高三专题练习）旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的山峰和山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则两座山峰之间的距离（）A． B． C． D．12．（2021·辽宁·模拟预测）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）A． B． C． D．二、填空题13．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）若，则__________．14．（2021·广西桂林·高三月考（文））下面有四个命题：①函数的最小正周期是.②函数的图象关于直线对称；③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点.④把函数的图象向右平移得到的图象.其中真命题的序号是___________（写出所有真命题的编号）15．（2021·广东茂名·高三月考）某学生在劳动技术课活动中设计了如图所示的几何图形，其中为半圆的圆心，则该图形的面积为_________.16．（2021·全国·高三专题练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点之一.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为米，在它们之间的地面上的点（、、三点共线）处测得楼顶．教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米．第11讲平面向量【题型精讲】题型一：平面向量的线性运算1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））四边形中，，，，则（）A．－4 B．－2 C．2 D．42．（2021·山西吕梁·高三月考（理））如图，中，点是的中点，点满足，与交于点，，则（）A． B． C． D．3．（2021·贵州遵义·高三月考（文））如图，在中，为上一点，且，设，则用和表示为（）A． B． C． D．4．（2021·安徽·芜湖一中高三月考（理））如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（）A． B．C． D．题型二：平面向量的数量积1．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））设向量，，若，则（）A． B．1 C． D．2．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知，若点是所在平面内的一点，且，则的最大值等于（）A．8 B．10 C．12 D．133．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（理））已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））中，，，，，且，