全等模型-角平分线模型（学生版）-2024年中考数学常见几何模型

全等模型-角平分线模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点,需要掌握其各类

模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模

型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）

【模型解读与图示】

条件:如图1,OC为AAOB的角平分线、CA±OA于点月时，过点。作CA±OB.

结论：CA=CB、AOA。空AOBC.

图1图2

常见模型1（直角三角形型）

条件:如图2,在bABC中，/C=90°,AD为NCAB的角平分线,过点。作DE_LAB.

结论：DC=DE、kDAC法ADAE.（当ZVLBC是等腰直角三角形时，还有AB=AC+CD.＞）

图3

常见模型2（邻等对补型）

条件:如图3,OC是/COB的角平分线，AC=BC,过点。作

结论t①ZBOA+ZACB=180°；②力。=BE；③。4=QB+2AD.

网］1（2022•北京・中考真题）如图，在AABC中，AD平分若47=2,DE=1,则S&ACD=

A

血12（2022.山东泰安.中考真题）如图，△ABC的外角/ACD的平分线CP与内角/4BC的平分线BP交于

点P,若/BPC=40°,则/CAP=（）

的3（2023•广东中山•八年级校联考期中）如图，△ABC中，/ABC、乙爪4。的角平分线BP、AP交于点P,延

长BA、BC,PM工BE,PN_LBF,则①CP平分ZACF；®ZABC+2NAPC=180°；③/AC®=

2ZAFB；@S^AC^S^+S^p.上述结论中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③④D.①②③④

题4（2023秋・浙江•八年级专题练习）如图，四边形ABDC中，/。=AABD=90°,点。为的中点，且0A

平分/BAC.（1）求证：OC平分乙4CD；（2）求证：OA_LOC；（3）求证：AB+CD^AC.

的5（2022・河北•九年级专题练习）已知OP平分AAOB,ADCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线

OA于点F,射线CE交射线OB于点G.

（1）如图1,若CD_LCE，OB,请直接写出线段CF与CG的数量关系；

（2）如图2,若AAOB=120°,NDCE=AAOC,试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由.

•M

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

【模型解读与图示】

条件:如图1,0。为的角平分线，48,OC,

结论：4Aoe法曲OC,AOAB是等腰三角形、OC是三线合一等。

图1图2图3

条件:如图2,8E为AABC的角平分线，8E，EC,延长B4,CE交于点F.

结论：ABECg△BEF,ABA7是等腰三角形、BE是三线合一等。

吼色（2023•山东淄博•校考二模）如图，点。在△ABC内部，B。平分/ABC,且连接CD.若

△BCD的面积为2,则△ABC的面积为.

血］7（2022秋.湖北黄冈.八年级校考期中）如图，△48。中，4DABAC的角平分线，CD，AD,AC—

48=5；若S谢。的最大值为30,则BC长为.

•M

A

D

网］8（2022•绵阳市•九年级期中）在AABO中，AB=AC,乙氏4。=90,RD平分/ABC交AC于点。.

⑴如图1,点F为8。上一点，连接AF交BD于点E.若4B=BF,求证：BD垂直平分AF.

（2）如图2,CE，BD,垂足E在BD的延长线上.试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由.

（3）如图3,点F为上一点，NEFC=：NABC,CELEF,垂足为E,西与人。交于点直接写出

线段CE与线段版的数量关系.

的9（2022・安徽黄山•九年级期中）如图，在^ABC中，乙民4。=90°,AB=AC,。是47边上一动点，CE±

BD于E.⑴如图⑴，若平分乙4BC时，①求/ECD的度数；

②延长CE交BA的延长线于点F,补全图形，探究3。与EC的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图（2）,过点A作AF，BE于点F,猜想线段BE,CE,AF之间的数量关系，并证明你的猜想.

模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）

【模型解读与图示】

A

A

C

°B

°B

条件;如图，OC为AAOB的角平分线，A为任意一点,在OB上截取08=OA,连结CB.

结论：AOA。第AO8。，CB=CA。

条件:如图，BE,CE分别为AABC和ABCE的角平分线，A8〃CO,在GC上截取,连结EF.

结论：ABAE空ABFE,\CDE空ACFE,AB+CD=BC.

网］10（2022秋・江苏•八年级专题练习）在4ABC中，AD为△48。的角平分线,点E是直线BC上的动点.

⑴如图1,当点E在您的延长线上时，连接AB,若/E=48°,AE=AD=DC,则/AB。的度数为

（2）如图2,AOAB,点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明.

（3）连接AE,若NDAE=90°,ABAC=24°,且满足AB+AC^EC,请求出NACB的度数（要求:画图，

写思路，求出度数）.

题11（2023•浙江•九年级专题练习）如图，在△48。中，AB=力。，=100°,BD是/ABC的平分线，延长

BD至点,E,DE=AD,试求4ECA的度数.

幽丝（2022.北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，。是BD边的中点.•M

（1）如图（1）,若AC平分/BAE,90°,则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为

（直接写出答案）；⑵如图⑵，47平分/BAE,EC平分NAED,若乙4CE=120°,则线段AB、BD、

的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.

题13（2022.湖北十堰.九年级期末）在△48。中，/ACB=2/B,如图①,当ZC=90°,人。为/BAC的角平

分线时，在4B上截取AE=AC,连结。E,易证4B=AC+CD.

⑴如图②，当2c手90°,AD为/A4C的角平分线时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系？不需要

证明,请直接写出你的猜想；⑵如图③，当人。为△ABC的外角平分线时，线段AB,AC,CD又有怎样

的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.

课后专项训练

题O（2022秋・福建厦门•九年级校考期中）如图，AAOB=a（a是常量）.点P在AAOB的平分线上,且

0P=2,以点P为顶点的/皿PN绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与OB,OA相

交于河，N两点，若2MPN始终与AAOB互补,则以下四个结论:①PM=PN；②OM+ON的值不变；③

四边形PMON的面积不变;④点”与点N的距离保持不变.其中正确的为（）

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

题目②（2022.江苏常州.一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且ABAC=ADAC,AB=15,AD=

12.过顶点。作CEL4B于E,则普的值为（）

•M

B.9C.6D.7.2

^■^（2023•成都・中考模拟）已知,如图，BC=DC,乙8+乙0=180°.连接AC,在AB,AC,AD上分

别取点及。，厂,连接。£；,巴＜若AE=4,AF=6,ZVLPE的面积为4,则△APF的面积是（）

A.2B.4D.8

题目回（2023・福建厦门•九年级校考期中）如图，乙4OB=a（a是常量）.点P在乙4OB的平分线上，且0P

=2,以点P为顶点的/MW绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，/MPN的两边分别与OB,OA相交于

M,N两点，若NMPN始终与AAOB互补，则以下四个结论:①PM=PN；②OM+ON的值不变；③四边

形PMON的面积不变;④点朋■与点N的距离保持不变.其中正确的为（）

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

题目回（2022•安徽合肥・一模）如图，ZVIB。中，AD平分ABAC,E是中点，AD，BD,4。=7,AB=

4,则DE的值为（）

A.1B.2C.yD.-|-

题目包（2022・福建・福州一模）如图，ZVIB。中，乙4BC=45°,CD，AB于点。，跳;平分乙4反7,且BE，

A。于点B,交。。于点F,H是BC边的中点,连接DH交BE于点、G,现给出以下结论：①&ACD笃

△FBD；②AE=CE；③ADGF为等腰三角形;④S四边形ADGE=S四边形GHCE.其中正确的有（写

出所有正确结论序号）.

题目⑶（2023•黑龙江哈尔滨•统考模拟预测）如图，四边形AB。。中2乙8=120°,AB=AD,E为BC

上一点，连接AE,BE=2,CD=7,若4NBAE+ZBCD=120°,则线段CE的长为.

题目回（2023・达州•校考一模）如图，已知四边形4BCD中，C4平分/BCD,BC>CD,4B=AD求证:

"+/。=180°.

题目回（2022.安徽芜湖.九年级期中）如图，已知，力。=90°,人3=人。,3。是/48。的平分线,且6®，

BD交的延长线于点求证：BD=2CE.

题目①（2022.江苏扬州.中考真题）如图，在DABCD中，BE、DG分别平分/ABC、/ADC,交AC于点

E、G.

AD

（1）求证：BEHDG,BE=DG；

⑵过点E作EF，AB，垂足为F.若HABCD的周长为56,EF=6,求AABC的面积.

意目'ID（2022秋・湖北武汉•九年级校联考阶段练习）如图，在△ABE中，D、。分别在AE,BE上且CD=

CB,AC平分/EAB,CH_LAB于点、H.

(1)求证：ZADC+ZB=180°；(2)若AD=3,AB=8,求4H的长.

题目叵（2023•宁夏银川•校考二模）问题提出

（1）如图①，已知AAOB，以点。为圆心，适当长为半径画弧，交。4于点同，交OB于点N,分别以点M,

N为圆心，大于qMN的长为半径画弧,两弧在AAOB的内部交于点。，画射线。。,连接CM,CN,MN,

则图①中与△OMC全等的是;

问题探究⑵如图②，在4ABC中，AD平分/A4C,过点。作。AB于点M,连接CD,BD,^AB+

AC=2AM'，求证：/ACO+/ABD=180°；

问题解决⑶如图③,工人刘师傅有块三角形铁板ABC,/B=60°,他需要利用铁板的边角裁出一个四边

形并要求2EFD=120°,EF=DF.刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图,再用尺规作出

ABAC的平分线AD交于点。，作ABCA的平分线CE交AB于点、E,AD,CE交于点F,得到四边形

BEFD.请问,若按上述作法，裁得的四边形瓦阳。是否符合要求？请证明你的结论.

题目〔13］（2022.江苏.一模）如图，已知ZC=60°,AE,BD是△ABC的角平分线，且交于点P.

c

⑴求乙4PB的度数.（2）求证:点P在/。的平分线上.（3）求证:①PO=PH；②=+

题目H（2022.北京西城.二模）在△48。中，AB=AC,过点。作射线CB',使AACB'=乙4cB（点9与点

B在直线AC的异侧）点。是射线CB，上一动点（不与点。重合），点E在线段BC上，且ADAE+AACD

=90°.

（1）如图1,当点E与点。重合时，AD与CP的位置关系是，若BC=a，则CD的长为；（用

含a的式子表示）（2）如图2,当点E与点。不重合时，连接DE.①用等式表示/BA。与/D4E之间的数

量关系，并证明;②用等式表示线段BE,CD,DE之间的数量关系，并证明.

题目,（2022•重庆・二模）已知:如图1,四边形ABCD中，/ABC=135°,连接AC、BD,交于点

BC,AD^AC.

（1）求证：ADAC=90°；（2）如图2,过点B作BF，AB,交。。于点F,交AC于点G,若S^BF^2sAeBF，求

证：AG=CG；（3）如图3,在（2）的条件下，若AB=3,求线段GF的长.

题目正（2022.陕西西安.一模）如图，ZVIBD和△BCE都是等边三角形，105°,AE与。。交于点

F.

（1）求证：AE=DC-,（2）求/BEE的度数；（3）若AF=9.17cm,BF=L53cm,CF=7.53cm,求CD.

版目回（2022.自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题.

（1）如图①，40平分/BAG,ZB+ZC=180°,=90°,易知：_DBDC.

（2）如图②，AD平分ABAC,/ABD+NACD=180°,ZABD<90°,求证：DB=DC.

题目®（2023•山东•九年级专题练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容.

已知:如图13.5.4,OC是的平分线，P是。。上任意一点，？。，04,也，03,垂足分别为点。

和点E.

图1354

求证：PD=PE.

分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO,只要证明这两个三角形全等便可证得PD=PE

【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明PD=PE的过程.

【类比探究】⑴如图②，OC是/水汨的平分线，P是。。上任意一点，点分别在08和上，连接

尸四和PN,若4PMO+ZPNO=180°,求证：PM=PN；（2）如图③，△ABC的周长是12,BO、CO分别

平分乙4BC和乙4cB,于点。，若QD=3，则△AB。的面积为.

B