北师大版七年级数学上册从重点到压轴专题2.6有理数的规律问题(重点题专项讲练)(原卷版+解析)

专题2.6有理数的规律问题【典例1】观察下列各式：13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；猜想并填空：（1）13+23+33+43+53＝2＝2；根据以上规律填空：（2）13+23+33+…+n3＝2＝2；（3）求解：163+173+183+193+203．（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；（3）利用（2）中的结论进行计算．解：（1）由题意可得：13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，故答案为：（1+2+3+4+5）；15；（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[n(n+1)2]2故答案为：（1+2+3+...+n）；[n(n+1)2（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2＝[20×(1+20)2]2﹣[15×(1+15)2＝2102﹣1202＝44100﹣14400＝29700．1．（2022•从化区一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；（2）f（12）＝2，f（13）＝3，f（利用以上规律计算：f（2022）﹣f（12022A．2021 B．2022 C．12021 D．2．（2020秋•历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2020次落下时，落点表示的数是（）A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．10103．（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（）A．253 B．255 C．257 D．2594．（2020秋•红谷滩区校级期中）已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律，1+3+5+…+19＝．5．（2020秋•许昌期中）观察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通过观察，用你发现的规律确定22021的个位数是．6．（2022•澧县模拟）观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32022的结果的个位数字是．7．（2021•江华县一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+8．（2021秋•吉安期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是；数﹣201是第行从左边数第个数．9．（2021春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝．10．找规律，完成下列各题：（1）如图①，把正方形看作1，12+（2）如图②，把正方形看作1，12+（3）如图③，把正方形看作1，12+14（4）计算：12+（5）计算：12+11．（2020•砚山县三模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+（1）利用以上运算的规律写出f（n）＝；（n为正整数）（2）计算：f（1）•f（2）•f（3）…f（100）的值．12．（2021秋•长兴县月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；①|7﹣21|＝；②|−12+③|717−7（2）用合理的方法计算：|15−150557|+|（3）用简单的方法计算：|13−12|+|1413．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1即S＝2101﹣1即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1【理解运用】计算（1）1+3+32+33+…+399+3100（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．14．计算：19=，199=，1999你发现什么规律了吗？把下列的小数化为分数：0.111...＝，0.222...＝0.1111...×＝×＝，0.262626...＝0.010101...×＝×＝．你会将任意一个无限循环小数化为分数了吗？请自己总结规律，并计算：0.125912591529...＝，0.326457326457...＝．不要忘记，能约分的要约分哟！15．（2020秋•渝北区校级期中）阅读材料，根据材料回答：例如1：（﹣2）3×33＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3＝[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]＝[（﹣2）×3]3＝（﹣6）3＝﹣216．例如2：86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）＝（8×0.125）6＝1．（1）仿照上面材料的计算方法计算：(5（2）由上面的计算可总结出一个规律：an•bn＝（用字母表示）；（3）用（2）的规律计算：−0.416．（2020秋•南岗区校级月考）阅读材料，回答下列问题．通过计算容易发现：①12−13（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式：；（2）通过观察，计算11×2（3）探究上述的运算规律，试计算11×317．（2021秋•松江区期中）阅读理解题12+13=（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式：1556=+；21110=（2）利用以上所得的规律进行计算：32（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算：41518．（2021秋•通川区校级月考）探索发现：11×2=1−12根据你发现的规律，回答下列问题：（1）14×5=，1（2）利用你发现的规律计算：11×2（3）计算：11专题2.6有理数的规律问题【典例1】观察下列各式：13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；猜想并填空：（1）13+23+33+43+53＝2＝2；根据以上规律填空：（2）13+23+33+…+n3＝2＝2；（3）求解：163+173+183+193+203．（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；（3）利用（2）中的结论进行计算．解：（1）由题意可得：13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，故答案为：（1+2+3+4+5）；15；（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[n(n+1)2]2故答案为：（1+2+3+...+n）；[n(n+1)2（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2＝[20×(1+20)2]2﹣[15×(1+15)2＝2102﹣1202＝44100﹣14400＝29700．1．（2022•从化区一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；（2）f（12）＝2，f（13）＝3，f（利用以上规律计算：f（2022）﹣f（12022A．2021 B．2022 C．12021 D．【思路点拨】从已知可得，n为正整数时，f（n）＝2n，f（1n）＝n【解题过程】解：由（1）知f（2022）＝2022×2＝4044，由（2）知f（12022∴f（2022）﹣f（12022＝4044﹣2022＝2022，故选：B．2．（2020秋•历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2020次落下时，落点表示的数是（）A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．1010【思路点拨】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．【解题过程】解：设向右跳动为正，向左跳动为负，由题意可得（+2）+（﹣4）+（+6）+（﹣8）+…+[4034+（﹣4036）]+[4038+（﹣4040）]＝（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（4034﹣4036）+（4038﹣4040）＝﹣2020，故选：C．3．（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（）A．253 B．255 C．257 D．259【思路点拨】根据题意，n个小时后细胞存活的个数是2n+1，求出n＝8时的值即可．【解题过程】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；……n个小时后细胞存活的个数是2n+1，当n＝8时，存活个数是28+1＝257．故选：C．4．（2020秋•红谷滩区校级期中）已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律，1+3+5+…+19＝100．【思路点拨】由该一连串的等式可以看出从1开始n个连续的奇数的和等于n2，所以可以得出1+3+5+7+…+19＝102，即从1开始10个连续的奇数相加．【解题过程】解：由1+3＝22，从1开始连续2个奇数相加；1+3+5＝32，从1开始连续3个奇数相加；1+3+5+7＝42，从1开始连续4个奇数相加；…所以可以推出：从1开始连续10个奇数相加的和等于102，即：1+3+5+7+…+19＝102＝100．故答案为：100．5．（2020秋•许昌期中）观察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通过观察，用你发现的规律确定22021的个位数是2．【思路点拨】由题意可得2n的个位数字按2，4，8，6四次一循环的规律出现可确定此题结果．【解题过程】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴2n的个位数字按2，4，8，6四次一循环的规律出现，且2021÷4＝505…1，∴22021的个位数是2，故答案为：2．6．（2022•澧县模拟）观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32022的结果的个位数字是．【思路点拨】根据3n的尾数特征判断．【解题过程】解：通过已知等式得：30，31，32，33个位数字之和为0；34，35，36，37个位数字之和为0，∴30+31+32+…+32022＝（30+31+32+33）+（34+35+36+37）+...+（32016+32017+2018+32019）+32020+32021+32022，其中每个括号里四个数的个位数字之和是0，且3n的个位数按1，3，9，7循环出现．∴的个位数即是30+31+32的个位数，∵1+3+9＝13，故答案为：3．7．（2021•江华县一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+【思路点拨】根据题目中的新运算，可以得到f（n）＝1+2n，然后即可计算出2021f【解题过程】解：∵f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23∴f（n）＝1+2∴2021f（2021）＝2021×（1+2＝2021+2＝2023，故答案为：2023．8．（2021秋•吉安期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是90；数﹣201是第15行从左边数第5个数．【思路点拨】先从排列中总结规律，再利用规律代入求解．【解题过程】解：根据题意，每一行最末的数字的绝对值是行数的平方，且奇数前带有负号，偶数前是正号；如第四行最末的数字是42＝16，第9行最后的数字是﹣81，∴第10行从左边数第9个数是81+9＝90，∵﹣201＝﹣（142+5），∴是第15行从左边数第5个数．故应填：90；15；5．9．（2021春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝12（3101﹣1）【思路点拨】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，原式计算即可求出值．【解题过程】解：根据题意得：31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……3101﹣3100＝（3﹣1）×3100＝2×3100，相加得：31﹣30+32﹣31+33﹣32+34﹣33+…+3101﹣3100＝2×（30+31+32+…+3100），整理得：30+31+32+…+3100=12（3101﹣30）=1故答案为：12（310110．找规律，完成下列各题：（1）如图①，把正方形看作1，12+14（2）如图②，把正方形看作1，12+14（3）如图③，把正方形看作1，12+14+18+（4）计算：12+14（5）计算：12+14【思路点拨】根据题意结合图形即可得出结果．【解题过程】解：（1）如图①，把正方形看作1，12（2）如图②，把正方形看作1，12（3）如图③，把正方形看作1，12（4）计算：12（5）计算：12故答案为：34；78；116，1516；11．（2020•砚山县三模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+（1）利用以上运算的规律写出f（n）＝1+2n；（（2）计算：f（1）•f（2）•f（3）…f（100）的值．【思路点拨】（1）根据f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的运算方法，写出f（n）的表达式即可．（2）根据（1）中求出的f（n）的表达式，求出f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）的值是多少即可．【解题过程】解：（1）∵f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+∴f（n）＝1+2（2）f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）＝（1+21）（1+22）（1+2=3=101×102＝5151故答案为：5151．12．（2021秋•长兴县月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；①|7﹣21|＝21﹣7；②|−12+0.8|＝0.8③|717−718|＝（2）用合理的方法计算：|15−150557|+|（3）用简单的方法计算：|13−12|+|14【思路点拨】（1）①②③根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；（2）先判断正负，再化简，最后计算即可；（3）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案．【解题过程】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；②|−12+0.8|＝0.8−12故答案为：①21﹣7；②0.8−12；③（2）∵15＜150557，原式==−1（3）原式==1=201913．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1即S＝2101﹣1即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1【理解运用】计算（1）1+3+32+33+…+399+3100（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．【思路点拨】（1）利用题中的方法求出原式的值即可；（2）根据题中的方法利用加法即可．【解题过程】解：（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，①①式两边都乘以3，得3S＝3+32+33+…+3101，②②﹣①得：2S＝3101﹣1，即S=3则原式=3（2）设S＝1﹣3+32﹣33+…+3100，①①式两边都乘以3，得3S＝3﹣32+33﹣…+3101，②②+①得：4S＝3101+1，即S=3则原式=314．计算：19=0.1．，199=0.0．1．，你发现什么规律了吗？199⋯9把下列的小数化为分数：0.111...＝190.222...＝0.1111...×2＝19×2＝290.262626...＝0.010101...×26＝199×26＝2699你会将任意一个无限循环小数化为分数了吗？请自己总结规律，并计算：0.125912591529...＝12599999，0.326457326457...＝1209137137不要忘记，能约分的要约分哟！【思路点拨】先根据简单的式子找出一般规律，分母每增加一个9，循环节就增加一个0，从而列出一般规律的式子．再根据这个规律完成纯循环小数化分数．【解题过程】解：19=0.1．，199∴我们发现199⋯90.111⋯=10.222⋯＝0.111⋯×2=19×0.262626⋯＝0.010101⋯×26=199×0.125912591259⋯＝0.000100010001⋯×1259=19999×0.326457326457⋯＝0.000001000001⋯×326457=1999999×故答案为：0.1．，0.0．1．，19，2，19，2，26，199，26，2612599999，1209115．（2020秋•渝北区校级期中）阅读材料，根据材料回答：例如1：（﹣2）3×33＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3＝[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]＝[（﹣2）×3]3＝（﹣6）3＝﹣216．例如2：86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）＝（8×0.125）6＝1．（1）仿照上面材料的计算方法计算：(5（2）由上面的计算可总结出一个规律：an•bn＝（ab）n（用字母表示）；（3）用（2）的规律计算：−0.4【思路点拨】（1）利用有理数的乘方，结合乘法交换律和结合律进行计算，使得计算简便；（2）利用有理数的乘方，结合乘法交换律和结合律进行计算写出结果；（3）利用（2）中的公式进行计算，使得计算简便．【解题过程】解：（1