2024届吉林省五地六市联盟数学高三年级上册期末考试试题含解析

2024届吉林省五地六市联盟数学高三上期末考试试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍篇，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，

无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高

2丈，问：它的体积是多少?”已知1丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1,则该楔

体的体积为（）

A.10000立方尺B.11000立方尺

C.12000立方尺D.13000立方尺

2tanY

2.关于函数/（x）=------j+cos2x,下列说法正确的是（）

1+tanx

A.函数/（尤）的定义域为R

B.函数/（尤）一个递增区间为一丁，豆

OO_

7T

C.函数/（X）的图像关于直线x=£对称

O

D.将函数y=J^sin2x图像向左平移三个单位可得函数y=/（%）的图像

8

4（1

3.己知a=痣，b=\og,—,c=l-I，则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

4.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一

样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十

位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（）

123456789

IIIIIIIlliHillTUH而纵式

___==三=姿j_=L=三横式

中国古代的算筹数码

A-lllll±¥IIIITB-lllll±¥^Tc^Tlllll±

D-lllll±¥llll±

5.已知椭圆C的中心为原点。，为-2J?,0）为C的左焦点，P为C上一点，满足10Pl=|。尸|且|PE|=4,则椭圆

。的方程为（）

22222222

「工+匕xy

A.土+乙=1-X------1-------—-11C.=1D.--------1------=--1

255361630104525

6.函数=—1卜。s%图象的大致形状是（）

TTJTTT

7.已知函数〃%）=5皿8+。）3>0,0<。<§）满足/（九+%）=/（乃"（第）=1,则〃-骨）等于（）

A.B.V2D.

2V22

8.如图所示程序框图，若判断框内为“<4"，则输出S=（）

A.2B.10C.34D.98

HQQ%IX>0

9.已知函数/'（x）=12"，方程/（x）-a=。有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合。，贝!1"函

x2+2x+2,x<0

数/（%）=/（%）-有两个零点”是“左〉L，的（）.

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.已知z=43—2。，则zA=（）

A.5B.石C.13D.V13

11.阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数左优>0,左W1）的点的

轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,5间的距离为2,动点P与A,3的距离之比为注，当P,

2

A,3不共线时，AB钻的面积的最大值是（）

A.272B.72C.D.昱

33

12.已知函数/（x）=g依2_（x—i）/（aeR）若对区间[0,1]内的任意实数石、声、&，都有/（占）+/（々）之/（七）,

则实数。的取值范围是（）

A.[1,2]B.[e,4]C.[14]D.[l,2）u[e,4]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料ABC,。为半圆的圆心，OC=g残缺部分位于过点C的竖直

线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为

c

14.已知无盖的圆柱形桶的容积是12万立方米，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格分别为30元和20元，那么

圆桶造价最低为_______元.

15.已知两动点人,3在椭圆（7已？+丁=1（0〉1）上，动点P在直线3x+4y-10=。上，若/4P5恒为锐角，则椭圆

C的离心率的取值范围为.

16.（5分）国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年

全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成20道题.已知某校高

二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是17,20,16,18,19,则这五位同学答对题数的方差

是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）椭圆W：^+4=1（。〉。〉0）的左、右焦点分别是耳，K，离心率为且，左、右顶点分别为A,

a2b22

3.过&且垂直于x轴的直线被椭圆W截得的线段长为1.

（1）求椭圆W的标准方程；

（2）经过点P（LO）的直线与椭圆W相交于不同的两点C、D（不与点4、3重合），直线CB与直线x=4相交于

点求证：4、。、〃三点共线.

18.（12分）如图，在四棱锥A—3CDE中，平面5cDEL平面ABC,BE1EC,BC=1,AB=2,ZABC=60°.

（I）求证：Ml平面ACE；

（ID若锐二面角E-AB-C的余弦值为《①，求直线CE与平面ABC所成的角.

7

19.（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，

有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该

村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，

质量把关程序如下：(i)若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；(ii)若仅有1位行家

认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工

艺品质量为8级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；(iii)

若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为O级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认

为质量不过关的概率为g,且各手工艺品质量是否过关相互独立.

(1)求一件手工艺品质量为3级的概率；

(2)若一件手工艺品质量为级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为O级不能外销，利润

记为100元.

①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；

②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.

20.(12分)如图，在直三棱柱A3C—4与£中，CA=CB,点P,0分别为Ag,Cq的中点.求证：

(1)PQ//平面ABC；

(2)平面A331A.

21.(12分)已知椭圆C的焦点在x轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长也为且面积为2&的菱形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M(-3,0)，过椭圆C右焦点F的直线/交于A、3两点，若对满足条件的任意直线I,不等式MA-MB<A(AeR)

恒成立，求2的最小值.

22.(10分)某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有4,

5两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02,0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本

为15万元；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若8工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A,5两

道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a,%两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概

率依次是0.04,0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元;

若6工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a,方两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.

(1)若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；

(2)为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解题分析】

由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：

沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，

则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，

则三棱柱的然则=(X3X2X2=6,

四棱锥的体积匕=}X；X3X2=2,

由三视图可知两个四棱锥大小相等，--V=V1+2V2=I。立方丈=10000立方尺.

故选A.

【题目点拨】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键.

2、B

【解题分析】

化简到/(x)=J^sin，x+7j,根据定义域排除AC。，计算单调性知3正确，得到答案.

【题目详解】

c/、2tanxc.cc后.(c

f(x)=-------——Fcos2x=sin2x+cos2x-sin2XH——,

l+tan2xI4)

71

故函数的定义域为+左匹左eZ,故4错误；

、2J

当一~~时，2x+—e,函数单调递增，故8正确；

88422

当工=-g,关于的对称的直线为无=£不在定义域内，故c错误.

482

平移得到的函数定义域为R,故不可能为y=/(%),。错误.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.

3、B

【解题分析】

先将三个数通过指数，对数运算变形。=柘=63〉6°=1，匕=bg二2<log*=°，°<c=|j]<|j]=1再判

断hfer.

【题目详解】

因为。=遥=6，]>60=1，5=1吗不4<1嗯1=°，°<。=(、1]\0=1'

所以a>c>Z>,

故选:B.

【题目点拨】

本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.

4、B

【解题分析】

根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案.

【题目详解】

解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示,

.•.56846用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6,从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为3中的.

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题.

5、B

【解题分析】

由题意可得c=2j?,设右焦点为F，，由|OP|=|OF|=|OP|知，

NPFF'=NFPO,ZOFrP=ZOPFr,

所以NPFF，+NOF，P=NFPO+NOPF。

由NPFF，+NOFT+NFPO+NOPF，=18（F^,

NFPO+NOPF'=90°,即PF_LPF'.

在RtAPFF，中，由勾股定理，＜|PFq=7FF,2-PF2=^（4A/5）2-42=8-

由椭圆定义，得|PF|+|PF[=2a=4+8=12,从而a=6,得a?=36,

于是b2=a2-c2=36-（2^5）2=16,

22

所以椭圆的方程为L+2L=I.

3616

故选B.

点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定

点间的距离时，轨迹是线段(两定点间的连线段)，当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在.

6、B

【解题分析】

判断函数/(%)的奇偶性，可排除A、C,再判断函数/(%)在区间上函数值与0的大小，即可得出答案.

【题目详解】

(2、

解：因为/>0)=1；~--1cosx=-——-COSX,

(1+/)11+门

xx

/]_0-工)e-11-

所以/"(-x)=-~~—cos(-x)=--cosx=-~e-cos%=-/(%),

、1I匕)CI1J-I&

所以函数/(九)是奇函数，可排除A、C；

又当y(x)<o,可排除D；

故选：B.

【题目点拨】

本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.

7、C

【解题分析】

设/(%)的最小正周期为T,可得〃T=〃,"N*,则0=2",〃eN*,再根据《专)=1得

</)=-+2k7r-n--,k^Z,n^N*,又0<。〈工，则可求出〃一12左=2,进而可得了(—工).

26312

【题目详解】

解：设/(X)的最小正周期为T,因为/(%+%)=/(%),

所以〃T=〃,〃eN*,所以丁=工=区,〃eN*,

nco

所以①=2〃,〃£N,

又土］=1,所以当%=2时，CDx+（p=n—+（/）=—+Ikn,

U2j1262

/.0=—+2k7i—n-.k£Z,〃£N*,因为0<（））<—

263

„7T_7CTC

0<—2k7?i—〃,—<—9

263

整理得1<〃一12左<3,因为〃一12左eZ,

:.n—\2k=2,

.7C_7/_,-7\7C7C_.7C7C7C-7

/.0二——F2左万一（2+12左）•一二——,贝！|〃---1——二——卜2k?i

266662

所以/（-77）=sin2n-\+—

12I12J6

.（乃fl兀

=sin------2k兀、——

（36

故选：C.

【题目点拨】

本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.

8、C

【解题分析】

由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解.

【题目详解】

由题意运行程序可得：

z<4,/=lx2=2,s=0+lx2=2,z=l+l=2；

z<4,j=2x2=4,5=2+2x4=10,z=2+l=3

z<4,J=4x2=8,5=10+3x8=34,z=3+l=4；

i<4不成立，此时输出s=34.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.

9、A

【解题分析】

作出函数f(x)的图象，得到D=(2,4],把函数F(x)=f(x)—kx(xeD)有零点转化为y=kx与y=f(x)在(2,

4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断.

【题目详解】

作出函数f(x)=]iiog2xi,A>0的图象如图，

[x+2x+2,x<0

由图可知，D=(2,4],

函数F(x)=f(x)-kx(xeD)有2个零点，即f(x)=kx有两个不同的根，

也就是y=kx与y=f(x)在(2,4]上有2个交点,则k的最小值为|；

设过原点的直线与y=log2X的切点为(Xo，log2Xo),斜率为一j~w，

则切线方程为yTog?x=-X。)，

x0ln2

把(0,0)代入，可得—108必0=-工，即x0=e,.•.切线斜率为工，

m2eln2

；.k的取值范围是

eln2)

...函数F(x)=f(x)-kx(XGD)有两个零点”是“k>!”的充分不必要条件，

故选A.

【题目点拨】

本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上

某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题.

10、C

【解题分析】

先化简复数z=*3—2。，再求I，最后求即可.

【题目详解】

解：z=z（3-2z）=2+3z,Z=2-3Z

Z-Z=22+32=13，

故选:C

【题目点拨】

考查复数的运算，是基础题.

11、A

【解题分析】

根据平面内两定点4,3间的距离为2,动点尸与A,3的距离之比为正，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结

2

合求解.

【题目详解】

如图所示：

化简得(％+3,+丁=8,

当点P到AB(x轴)距离最大时，AR4B的面积最大，

AH4B面积的最大值是一x2x2j^=2A/2.

2

故选：A.

【题目点拨】

本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

12、C

【解题分析】

分析：先求导，再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间［0,1］内的任意实数玉、々、%，都有

/(%)+/(9)»/(马)，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.

详解：由题得%一［/+(九-1)/］=以一九e'=x{a-ex).

当aVl时，f'(x)<0,所以函数f(x)在［0,1］单调递减，

因为对区间［0,1］内的任意实数为、々、工3，都有/(石)+/(%)»/(七)，

所以/⑴+/⑴2/(0)，

所以一dH—

22

故叱1,与aVl矛盾，故aVl矛盾.

当Gave时，函数f(x)在［OJna］单调递增，在(Ina,1］单调递减.

12

所以/(%)111ax=/(lna)=5〃lna-a\na+a,

因为对区间［0,1］内的任意实数和乙、工3,都有/&)+/(/)2/(%)，

所以/(。)+〃1)2/(1!14),

112

所以l+一〃2—alna-a\na+a,

22

121

即一aInQ—aInciH—a—1<0

121

令g(Q)=5〃lna-a\na+—a-1,(l<a<e)9

所以g'(a)=g(ln2a—l)<0,

所以函数g(a)在(1,e)上单调递减，

所以g(a：U=g6=-；<0，

所以当lSa<e时，满足题意.

当a»e时，函数f(x)在(0,1)单调递增，

因为对区间［0,1］内的任意实数与马、%，都有/(%)+/(%2”/(%3)，

所以/(0)+/(。)2/⑴，

.1

故l+12-a,

2

所以aW4.

故eWaW4.

综上所述，ae［1,4］.

故选C.

点睛：本题的难点在于“对区间［0,1］内的任意实数占、9、%，都有/(%)+/(%的转化•由于是函

数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等)来分析解

答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破

口.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3百

■LJ、----

2

【解题分析】

分两种情况讨论：(1)斜边在5c上，设/P6C=e,则(2)若在若一条直角边在上，设NPOH=6,

则。e]o,g｝进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值.

【题目详解】

(1)斜边在8C上，设NPBC=e,贝!0,3,

则PB=—cos0,PC——sin0,

55

„116八16.八64.cc/64

从而S-........cos(7—sin(7——sin2〃<—.

2552525

当8=5时，52=||此时叩=|，符合•

(2)若一条直角边在6C上，设NPOH=。,则de］。,/

n2OHC

则尸H=2sin9,OH=2cos0f

Aq

由O"〈OC=二知cos9<《.

/.S(9)=；(2+2cos9>2sin9=2sin9(1+cos6),

S'(e)=2(cos^+l)(2cos^—1)

当ei配时，s")>o,s⑻单调递增,

当时，S'(6)<0,5(。)单调递减，

jr1

当6=W，即cos9=e时，S(。)最大.

故答案为：史

2

【题目点拨】

此题考查实际问题中导数，三角函数和函数单调性的综合应用，注意分类讨论把所有情况考虑完全，属于一般性题目.

14、360万

【解题分析】

设桶的底面半径为厂，用厂表示出桶的总造价，利用基本不等式得出最小值.

【题目详解】

设桶的底面半径为小高为〃，则不产〃=12万，

故丸=匕,

r~

：.圆通的造价为y=30•乃/+20.2%r.g=30/z-r2+国工

浙*2”c122480»2240〃240〃240万240〃

解法一：y=30-7rr+20•27rr•­=307rrH---------=307rrH-----------1--------->3^307rr2-----------------=360%

2404

当且仅当30万户=-----,即厂=2时取等号.

r

左力华一”2480乃r小480〃

解法二：y=30»r+------,贝!|y=60»r-----「，

rr

令y'＞0,即60〃一生翌＞0,解得r＞2,此函数在（2,单调递增；

r

令y'＜0,即60一厂一号工＜0,解得0＜厂＜2,此函数在（0,2）上单调递减;

令y'=0,即60一「一生$=0,解得厂=2,

r

即当厂=2时，圆桶的造价最低.

所以Xnin=30»X22+丹巴=360乃

故答案为：360万

【题目点拨】

本题考查了基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

⑸陞

IJJ

【解题分析】

根据题意可知圆/+；/=/+i上任意一点向椭圆。所引的两条切线互相垂直，NAPB恒为锐角，只需直线

3x+4y-10=0与圆f+y2=a2+i相离，从而可得后十］〈屋=4,解不等式，再利用离心率e=—即可求解.

a

【题目详解】

根据题意可得，圆/+/=6+1上任意一点向椭圆。所引的两条切线互相垂直，

因此当直线3x+4y—10=0与圆一+)；2=/+i相离时，/加力恒为锐角，

【题目点拨】

本题主要考查了椭圆的几何性质，考查了逻辑分析能力，属于中档题.

16、2

【解题分析】

17+20+16+18+19

由这五位同学答对的题数分别是17,20,16,18,19,得该组数据的平均数尤==18,则方差

5

222222

5=1x[(17-18)+(20-18)+(16-18)+(18-18)+(19-18)]=—=2.

55

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)—+/=1；(2)见解析

4

【解题分析】

2

(1)根据已知可得22b=1,结合离心率和“,仇c关系，即可求出椭圆W的标准方程;

a

(2)CD斜率不为零，设CD的方程为％=阳+1,与椭圆方程联立，消去x,得到C,。纵坐标关系，求出方

程，令％=4求出口坐标，要证4、D、M三点共线，只需证晨0-%AM=0,将左AD-心〃分子用纵坐标表示,

即可证明结论.

【题目详解】

r2y2

(1)由于c2=〃—>2,将X=-C代入椭圆方程二+=1,

a

b22b2

得丁=±幺，由题意知工=1,即Q=2〃.

aa

又e=£=且，所以a=2,b=\.

a2

r2

所以椭圆W的方程为'+y2=1.

4-

（2）解法一:

依题意直线CD斜率不为0,设CD的方程为％=阳+1,

x=my+1

联立方程X221消去X得（加2+4）/+2冲—3=0,

—+V=1

14-

由题意，得/>0恒成立，设。（七，％）,。（％，为），

b-2m3

所以X+%=--=7，％为=一一

m+4m+4

直线CB的方程为y='7（x—2）.令％=4,得

Xj-2玉-2

又因为A（—2,0）,。（%2，乂），

则直线A"加的斜率分别为％=言‘喘=册'

所以篇，一心言一/可3y2。-2）-％（>2+2）

3（玉一2）（X2+2）

上式中的分子3y2（3-2）-%（々+2）=3%（也%-1）-%（^为+3）

—6m+6m

=2myy-3（y+y）==0,

l212m2+4

••・七。一右加=。.所以A，D,河三点共线.

解法二：

当直线CD的斜率左不存在时，由题意，得8的方程为x=l,

代入椭圆卬的方程，得C（l,岑），。（1,-日），

直线CB的方程为y=_[（尤_2）.

则M（4,-百），AM=（6,-6），AD=（3「%,

所以AM=2AD，即A，D,M三点共线.

当直线CD的斜率k存在时，

设CD的方程为y=©x—D"wO）,。（和%）,

y=k（x-V）,

联立方程1X2,消去y,得（4/+1）/一8%%+4/-4=0.

7+Iy一=L1

由题意，得/>0恒成立，故X]+X?=

4k2+1'12-4k2+1

直线8的方程为安力（x—2）.令片4,得”（4,瓷）.

又因为A（—2,0）,。（々,%），

则直线A"■的斜率分别为心^二5'

上式中的分子3%(%-2)—%(%+2)=3左(々一1)(玉-2)-k5-l)(x2+2)

4〃2_4xk2

=2kxx一5人(再+%)+8Z=2女x-----5kx--——+8左=0

x24k2+1止+1

所以储-输=0.

所以A,D,以三点共线.

【题目点拨】

本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查

计算求解能力，属于中档题.

18、（I）详见解析；（II）45°.

【解题分析】

(I)由余弦定理解得AC,即可得到ACL8C,由面面垂直的性质可得AC,平面即可得到AC,BE,

从而得证；

(II)在平面BCDE中，过点E作石6c于点。，则。石，平面ABC,如图所示建立空间直角坐标系，设

A(-a,g,O),E(O,O,b),其中0＜。＜1]＞0,利用空间向量法得到二面角的余弦，即可得到的关系，从而得

解；

【题目详解】

解：(I)证明：在AABC中，AC2=BC-+AB2-2BC-cosZABC，解得AC=G，

则AC?+=.2,从而ACLBC

因为平面3a见_1_平面ABC,平面BCDEc平面ABC=5C

所以AC,平面3CDE,

又因为BEu平面BCDE,

所以

因为BELEC,ACCE=C,ACu平面ACE,CEu平面ACE,所以Ml平面ACE；

(II)解：在平面BCDE中，过点E作石O,6c于点。，则平面ABC,如图所示建立空间直角坐标系，设

A(-a,V3,O),E(O,O,Z7),其中0＜。＜1力＞0,则

B(l-a,0,0),BA=(-1,73,0),BE=(o-l,0,Z?)

设平面/WE的法向量为7〃=(%,y,z),贝!J

BA-m=0-x+gy=0

＜，即〈/\，

BE-m=0\ya-\)x+bz=0

(rh\

令y=i,则m=V3,i,--

Il-aJ

又平面ABC的一个法向量0£=(0,0*)，贝！J

6b2

/m-OE1-aV2T

''H-Ho.晨工7

V(J。)

从而b=l—a,故NEBO=45°=NECB

则直线CE与平面ABC所成的角为/ECB,大小为45°.

【题目点拨】

本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.

19、(1)—(2)①2②期望值为qS

X900600300100

816207

P

27818127

【解题分析】

(1)一件手工艺品质量为B级的概率为C；x|x(l-1)2x(l-1)2=察

33381

1117

(2)①由题意可得一件手工艺品质量为O级的概率为C；x(?2x(l-?+C；x(?3=云,

设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是4件，则人3(10,，7)，

7

则p^=k)=C^—)k^)l0-k/(3=k+1)70-7人

P(一)20k+20

70—7^SO

由劣々>1得左<弓，所以当左=1时，发;>1,即PC=2)>PC=l),

20k+2027

,70-7^,50一

由77T；——<I得k>—,所以当上之2时,P(J=k+l)<P(&=k),

20k+2027

所以当k=2时，P(J=左)最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.

②由上可得一件手工艺品质量为A级的概率为(1-2)3=&,一件手工艺品质量为3级的概率为4,

32781

一件手工艺品质量为C级的概率为C；x|x(l-l)2x[C^x|x(l-1)+(1)2]=当，

3333381

7

一件手工艺品质量为。级的概率为一，

27

所以X的分布列为

X900600300100

816207

P

27818127

o1«of)7[3]no

则期望为E(X)=900x—+600x—+300x—+100x—=-----.

......2781812727

20、(1)见解析(2)见解析

【解题分析】

(1)取AB的中点。，连结PD,CD.根据线面平行的判定定理即得；(2)先证3耳LCD,CDLAB,AB和8四

都是平面内的直线且交于点3,由(1)得CD〃PQ,再结合线面垂直的判定定理即得.

【题目详解】

(1)取AB的中点O,连结P£>,CD.

在AA3修中，p,。分别为AB],AB中点，

PD〃B5],且.在直三棱柱ABC—AB。1中，CC】BB},CC]=BB「。为棱CG的中点，

CQ//BB},且CQ=gB4.

PD//CQ,PD=CQ.

二四边形PDCQ为平行四边形，从而PQ〃C£>.

又COu平面ABC,PQ<Z平面ABC,二PQ〃平面ABC.

(2)在直三棱柱A3C-A3IG中，5与，平面ABC.又C0u平面ABC,C4=B