2024年高考数学一轮复习（新高考版）函数的概念及其表示

函数

§2.1函数的概念及其表示

【考试要求】1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象

法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并会简单的应用.

主干知识

【知识梳理】

1.函数的概念

一般地，设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对

应关系人在集合2中都有唯一确定的数v和它对应,那么就称/：A-B为从集合A到集合B

的一个函数，记作y=/(x),x^A.

2.函数的三要素

(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函

数称为分段函数.

I常用结论】

1.直线尤与函数＞=/(无)的图象至多有1个交点.

2.在函数的定义中，非空数集A,B,A即为函数的定义域，值域为B的子集.

3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的

定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.

I思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一■个函数.(X)

（2）函数y=/（无）的图象可以是一条封闭曲线.（X）

（3）y=x°与y=l是同一个函数.（X）

（X—1,x20,

（4）函数加）=,的定义域为R.（V）

[x-,x<0

【教材改编题】

1.（多选）下列所给图象是函数图象的是（）

答案CD

解析A中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；B中，当

x=xo时，y的值有两个，因此不是函数图象；CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此

是函数图象.

2.下列各组函数表示同一个函数的是（）

,%2—1

A.尸尤一1与尸中

B.y=”与尸一:

C.与）=2%

答案D

解析y=x—1的定义域为R,尸叶]的定义域为{小W—1},定义域不同，不是同一个函

数，故选项A不正确；

1=:与）=—：的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B不正确；

y=2、*=2|x|与y=2x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C不正确；

y=言与。=旨的定义域都是（一8,1）U（1,+8）,对应关系也相同，所以是同一个函数,

故选项D正确.

3.已知函数©=]|ln-x,在x>。0，,则函数4（<创i\等\于（）

A.3B.-3C.gD.一

答案c

解析由题意可知，/自=lng=—ln3,所以3)=e-1n3=；.

■探究核心题型

题型一函数的定义域

例1(1)函数y=苫答』的定义域为(

)

q一片一3尤十4

A.(-4,-1)B.(-4,1)

C.(-1,1)D.(-1,1]

答案C

[x+l>0,

解析由题意得2c一c解得一故定义域为(一1,1).

[—x2—3x+4>0,

(2)已知函数1x)的定义域为(一4,-2),则函数g(x)=/(x—1)+4节的定义域为

答案[-2,-1)

解析：大犬)的定义域为(一4,-2),

要使g(x)=汽尤-1)+[不有意义,

[―4<x—1<—2,

则,解得一2Wx<—1,

[尤+2'0,

，函数g(x)的定义域为[—2,—1).

思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值

集合；(2)若已知函数人x)的定义域为[a,b],则复合函数负g(x))的定义域由不等式aWg(x)(b

求出；(3)若复合函数4g(x))的定义域为[a,b],则函数危)的定义域为g(尤)在[a,切上的值域.

跟踪训练1(1)函数段)=]]](1_])+产&的定义域为()

A.(1,3]B.(1,2)U(2,引

C.(1,3)U(3,+°°)D.(—8,3)

答案B

x—1>0,

解析由题意知"一1W1,

、3—

所以l<x<2或2VxW3,

所以函数的定义域为(1,2)U(2,3].

(2)(2023・南阳检测)已知函数人无)=坨4，则函数g(x)=/(x—1)+42无一1的定义域是()

B%吴工<2

A.{x|x>2或％<0}

D.x卜丹

C.[x\x>2]

答案B

1—Y

解析要使/(x)=lg不有意义,

1---Y

则K。，

即(1—x)(l+x)>0,解得一1<X<1,

所以函数/(X)的定义域为(一1,1).

要使g(%)=/(x—D+、2x—1有意义,

则j_2x—120,

解得3忘％<2,

所以函数g(x)的定义域为]

题型二函数的解析式

例2⑴已知小一sin尤)=cos2%,求八尤)的解析式；

(2)已知求犬x)的解析式；

(3)已知於)是一次函数且3/(x+1)-次cT)=2x+17,求_/(x)的解析式.

(4)已知於)满足">)+人一无)=3无，求人x)的解析式.

解⑴(换元法)设1—sinx=t,曰[0,2],

则sinx=l—?,1—sinx)=cos2x=1—sin2x,

危)=1一(1一疔=2/一产,/£[0,2].

即%)=2XT,XG[0,2].

(2)(配凑法)-：f(x+£|=f+5=(X+£|2—2,

.\Xx)=/—2,xd(-8,-2]U[2,+°°).

(3)(待定系数法)：危)是一次函数，可设兀0="+优。中0),

3[a(x+1)+/?]—2[a(x—1)+/?]=2x+17.

即ax+(5a+b)=2x+17,

。=2,

解得

5a+b=17,b=7.

・・・加)的解析式是/(x)=2x+7.

(4)(解方程组法)尤)=3x,①

将尤用一x替换，得软一无)+Ax)=—3无，②

由①②解得八尤)=3尤.

思维升华函数解析式的求法

(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法.

跟踪训练2(1)已知/(x—l)=/+4x—5,则八尤)的解析式是()

A.A^)=^+6XB.於)=d+8x+7

C.fix')=x2+2x—3D.fix)—x^+Gx—lO

答案A

解析设x—l=r,x=r+l,

则/W=(r+l)2+4(r+1)-5=尸+63

故

(2)若/g=]_£则八*)=--------

答案±Y(xWO且X#1)

1

X1

解析fiX)=_](%W0且xW1).

1—_

x

⑶已知函数八尤)满足yu)+4(—9=3无，则人2)等于()

A.-3B.3C.-1D.1

答案A

解析4x)+2/(—0=3尤，①

则/(—5)+2区》=—(，②

22

联立①②解得y(x)=一最一x,则｛2)=—5—2=—3.

题型三分段函数

|Xx—1),x>0,

例3(1)已知函数/(x)=一।…则火2024)的值为()

L—ln(x+e)+2,%W0,

A.-1B.0C.1D.2

答案C

加-1),x>0,

解析因为…

〔一ln(x+e)十2,xW<nO,

所以犬2024)=式2023)=fi2022)=…=加)，

又7U)=/U—l)=A0)=—ln(0+e)+2=—l+2=l,所以黄2024)=1.

C——3x~\~2,—],

⑵已知函数式x)=、:'若八a)=4,则实数。的值是_______；若式/22,

(2,尤三一1,

则实数a的取值范围是.

答案一2或5[-3,-1)U[4,+8)

解析若Kz)=4,

[a<—1,—1,

则《71或彳-3

[一〃2—3〃+2=4〔2"3=4,

解得a=~2或a=5.

若仙)22,

则]一片一3°+222或匕“、/2,

解得一3Wa<—l或〃24,

・•・〃的取值范围是[-3,-1)U[4,+00).

思维升华分段函数求值问题的解题思路

(1)求函数值：当出现/(/(〃))的形式时，应从内到外依次求值.

(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值,

切记要代入检验.

x+2,

跟踪训练3(1)已知函数危)=<1若欢。))=2,则a等于()

x十一,x>0,

A.0或1B.—1或1

C.0或一2D.一2或一1

答案D

解析令人〃)=£,则#。=2,可得,=0或£=1,

当。=0时，即/(〃)=0,显然

因此〃+2=0今〃=—2,

当。=1时，即式〃)=1,显然〃W0,

因此〃+2=1今〃=—1,

综上所述，a=-2或一1.

[10g2X,x>\,

(2)(2023・重庆质检)已知函数危)=?一贝I外)勺U+1)的解集为

〔片一1,

答案(T+°°)

解析当％W0时，x+lWl,

/(x)勺(x+1)等价于X2—l<(x+l)2—1,

解得一

当0<xWl时，x+l>l,

此时式尤)=/—IWO,/U+l)=log2(x+l)>0,

当0aW1时，恒有Hx)勺(x+1)；

当X>1时，x+l>2,

八犬)勺(x+1)等价于10g2%<10g2(x+l),此时也恒成立.

综上，不等式八x)</(x+l)的解集为(一g+8)

课时精练

立基础保分练

1.函数4r)=lg(x—2)+^与的定义域是()

A.(2,+8)B.(2,3)

C.(3,+8)D.(2,3)U(3,+°°)

答案D

解析..•/(尤)=lg(无一2)+金

\x—2>0,

・•・解得心>2,且％W3,

[x—3W0,

・•・函数危)的定义域为(2,3)U(3,+8).

2.(2023・三明模拟)已知集合4=凶一2<xWl},B={x\0<x^4],则下列对应关系中是从集合

A到集合8的函数是()

A.f：%fy=x+lB.f：x^y=ex

C.f：x—丁=/D.f：x~^y=\x\

答案B

解析对于A,当x=-1时，由/：x-y=x+l得y=0,但0切，故A错误；

对于B,因为从A={%|—2<xWl}中任取一个元素，通过/：x-y=e*在5={x|0〈xW4}中都有

唯一的元素与之对应，故B正确；

对于C,当x=0时，由/：得y=0,但故C错误；

对于D,当x=0时，由/：%一>=国得y=0,但0切，故D错误.

3.已知加卷:坨羽则式10)的值为()

A.1B.-\/TOC.TD.-

3赤

答案c

解析令r=10,则x=10,

-1

.7/(10)=lgIO3=g.

4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、

纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其

内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为/?,注水时间为3则下面选

项中最符合〃关于r的函数图象的是()

答案A

解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，

所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快,

由图可知选项A符合.

5.函数y=1+x—71—2x的值域为()

//]-1

解析设\1_2X=K则所以y=l+—^——/=](—Z2—2H_3)=-1(/+l)2+

2,因为fNO,所以yw|.所以函数y=l+x—#1—2x的值域为（一8,|.

f一炉+2X+3,XW2,

6.已知函数加）={（。>0且aWl）,若函数«r）的值域是（一8,4],则

[6十log。％,x>2

实数。的取值范围是（）

C.（1）的D.（1,小）

答案B

解析当尤W2时，fix'）——/+2彳+3

=—（X—1）2+4,

当x=l时，40=—f+2x+3取得最大值4,

所以当xW2时，函数加0的值域是（一8,4],

所以当x>2时，函数/（x）=6+log“x的值域为（一8,4]的子集,

当a>\时，/（x）=6+logax在（2,+8）上单调递增，

此时/U）42）=6+log°2>6,不符合题意，

当0<°<1时，人元）=6+logd在（2,+8）上单调递减，

此时加）<A2）=6+log“2W4,即loga2W—2,

所以/丛可得坐

所以实数a的取值范围是半，1）.

7.（多选）下列四个函数，定义域和值域相同的是（）

’1

,x<0,

A.y=~x+lB.y=<1

>°

lx

2x—1

C.y=ln|x|D.

答案ABD

解析对A,函数的定义域和值域都是R；

对B,根据分段函数和嘉函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；

对C,函数的定义域为（一8,0）U（0,+8）,值域为R;

2x—13

对D,因为函数二5=2+言，所以函数的定义域为（-8,2）U（2,+8）,值域为

（—8,2）U（2,+8）.

所以ABD是定义域和值域相同的函数.

8.（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧

拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当

一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他

的变数叫做函数.德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上

构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A,8是两个非空的数集，如果按某种对应法

则力对于集合A中的每一个元素x,在集合8中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对

应叫做从A到8的一个函数”，则下列对应法则/满足函数定义的有（）

A.八/）=仅|B.八P）=尤

C.j（cosx）=xD.f（ex）=x

答案AD

解析令/=启后0）,八。=|母|=3，故A符合函数定义；

令八。=±\〃，设f=4,五。=±2,一个自变量对应两个函数值，故B不符合函数

定义；

1JT

设/=COSX,当/=1时，X可以取±9等无数多个值，故C不符合函数定义；

令片式》0）,々）=lnt,故D符合函数定义.

[cosx,x<0,

9.已知函数八尤）=则4亍）=________-

用一兀），x>0,\"

答案I

解析由已知得了"）=/（等=/（罢）=/（芝）=/（一*=cos]—9=T.

10.已知人正）=尤一1,则4龙）=.

答案%2—1（x^0）

解析令r=出，则后0,x=P,

所以黄Oup-IQNO）,即兀0=/—1（x20）.

11.已知函数五x）的定义域为[—2,2],则函数g（尤）=幻2乃+寸1-2*的定义域为.

答案[T,0]

f-2^2r<2,

解析由条件可知，函数的定义域需满足w

解得一IWXWO,

所以函数g（x）的定义域是[—1,0].

2+3,1>0,

12.已知/U）=2J''若八。）=5,则实数。的值是___________；若欢a））W5,则实

[x4,x0,

数a的取值范围是

答案1或一3[―^/5,—1]

解析①当心0时，2。+3=5,解得a=l；

当aWO时，a2—4—5,解得a=—3或a=3（舍）.

综上，a—1或一3.

②设r=K。），由川）W5得一3W/W1.

由一3W/（a）Wl,解得一小WaW—l.

合提升练

13.（2022・广州模拟）已知定义在R上的函数段）满足,加一尤）+软x）=f+l,则41）等于（）

A.-1B.1C.—gD,2

答案B

解析：定义在R上的函数yu）满足，

.•.当x=0时，x1）+力（0）=1,①

当x=l时，汽0）+纨1）=2,②

②X2一①，得浜1）=3,解得式1）=1.

jx+3,

14.（2023・南昌模拟）已知函数段）=jr若加一3）=%+2）,则加）等于（）

[yjx,x>0,

A.2B，V2C.1D.0

答案B

解析作出函数ZU）的图象，如图所示.

[a—3W0,

所以「八即一2V〃W3,

〔〃+2>0,

此时-3)=〃-3+3=〃，f(a+2)=yja~\~2,

所以a="a+2,即/=a+2,

解得a=2或a=-1(不满足a=、a+2,舍去),

则小尸也.

展冲刺练

15.VxGR,用M(x)表示八x),g(;c)中最大者，M(x)={|x|—1,1—%2},若则实数w

的取值范围是()

A.(-2,2)