高中数学讲义（人教A版必修二）：第29讲 直线与平面平行的判定定理（学生版）

第29课直线与平面平行

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课程标准课标解读

1.线面平行的判定定理中，包含要素:两线一面.两线一面

1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初的关系是:一线在面外一线在面内.结论是:线面平行.

步利用定理解决问题2掌握直线与平面平线面平行的性质定理中，包含要素:两线两面.两线两面

行的性质定理，明确由线面平行可推出线

的关系是:一线在一面内平行于另一面，一线是两面的交

线平行..

线，结论是:两线平行.

2.熟记和理解直线和平面平行的判定定理和性质定理，

就能灵活运用实现“线线”“线面”平行的转化

现知识精讲

知识点01直线与平面平行的判定定理

文字语言如果平面外一条直线与____________那么该直线与此平面平行

符号语言a(taybua,a//b=^a//a

图形语言匚

【即学即练1】如图，四边形/BCD是平行四边形，尸是平面外一点，M,N分别是48,尸C的中

点.求证：MV〃平面尸ZD

知识点02知识点二直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面壬衽,如果过该直线的平面与此平面相交，

文字语言

那么该直线与交线平行

符号语言a//a,auB,aC6=b=a//b

图形语言

/b/

【即学即练2】如图所示，在四棱锥尸-/8CZ）中，底面是平行四边形，/c与8。交于点QM

是尸C的中点，在上取一点G,过G和/P作平面交平面8DW于GH,求证：AP//GH.

反思感悟线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线

面平行得到线线平行.

B能力拓展

考法01直线与平面平行的判定定理的应用

【典例1】如图，在正方体中，E,F,G分别是5C,CCy,8囱的中点，求证：EF"平

面AD\G.

反思感悟利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，

常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.

考法02直线与平面平行的性质定理的应用

【典例2］如图所示，在四面体N8CO中，用平行于棱N8,8的平面截此四面体，求证：截面MNP。是

平行四边形.

A

【变式训练】如图，在五面体FE-N8co中，四边形CZ)E尸为矩形，M,N分别是8尸，8c的中点，则"N

与平面ADE的位置关系是.

考法03线面平行有关的计算

【典例3】如图，直线a〃平面a,点4在a另一侧，点8,C,线段AC,力。分别交a于点£,F,

G.若BD=4,CF=4,AF=5,贝ijEG=.

BCD

反思感悟（1）利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即可求线段长度.

（2）通过定理的运用和平行的性质，提升直观想象和逻辑推理素养.

M分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.如图，一块矩形木板/8CA的一边Z8在平面a内，把这块矩形木板绕Z8转动，在转动的过程中，AB

的对边CO与平面a的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.在平面a内D,平行或在平面a内

2.在空间四边形48co中，E,尸分别在4。8上，且满足力=；/，则直线EF与平面/8C的位置关系

EAFC

是（）

A.EFII平面Z8CB.EFu平面

C.EF与平面N8C相交D,以上都有可能

3.如图，正方体/8CD-的棱长为0,动点反尸在棱/£上，且E尸=6,动点P、。分别在棱/凤

CD±.现有两个命题：①尸。的面积为定值；②点P到平面EF。的距离为定值.则有（）.

A.①②都真；B.①真、②假;

C.①假、②真;D.①②都假.

4.下列四个正方体图形中，48为正方体的两个顶点，M、MP分别为其所在棱的中点，能得出力8〃平

面A/NP的图形的序号是（）

A.①③B.①④C.①③④D.②④

5.下列命题中正确的个数是（）

①若直线a上有无数个点不在平面a内，则aIIa；

②若直线aII平面a,则直线a与平面a内的任意一条直线都平行；

③若直线。力直线瓦直线b〃平面a,则直线a4平面a；

④若直线aII平面a,则直线a与平面a内的任意一条直线都没有公共点.

A.0B.1C.2D.3

6.已知。，£是空间两个不同的平面，ni,〃是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（）

A.aII（3,m//a,则/«//产

B.mHn,n//a,则加〃a

C,平面。内的不共线三点4B、C到平面夕的距离相等，则。与万平行

D.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行

二、多选题

7.。为平面，有下列命题，其中假命题的是（）

A.若直线/平行于平面。内的无数条直线，贝IJ/〃a

B,若直线a在平面。外，则。尸。

C.若直线。〃6,直线6尸a,则“尸a

D.若直线。〃瓦则。平行于平面。内的无数条直线

8.如图，在透明塑料制成的长方体力8CQ-44G。容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边8C固定

在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（）

A.水的部分始终呈棱柱状

B.水面四边形EFG”的面积为定值

C.棱4。始终与水面EFG”平行

D.若FwBBI,则4E+BF是定值

三、填空题

9.三棱锥A-BCD中，AB=CD=\,过线段BC中点E作平面EFGH与直线AB、CD都平行，且分别交BD、

AD、/C于fG、H,则四边形EFGH的周长为.

10.正方体中，E,G分别是BC,GA的中点，如图，则：EG与平面BDD国的位置关

系是________

11.如图所示，过三棱台上底面的一边4G,作一个平行于棱的截面，与下底面的交线为若。、

E分别是力从8C的中点，则，自/--£.=_______

〃ARiG-ABC

四、解答题

12.如图，在长方体力8CD-44GA中，E为48的中点，尸为CG的中点.证明:EF〃平面/CQ.

13.如图，长方体Z8CD-48CQ中，M@=MD|=1,|阴|=2,点尸为的中点.

⑴求证：直线84〃平面P/C；

⑵求异面直线BD］与AP所成角的大小.

题组B能力提升练

一、单选题

1.。、6、/是直线，。是平面，则下列说法正确的是（）

A.I平行于a内的无数条直线，则〃/a

B.。不在面。，则a//a

C,若a//b,bua,则a〃a

D,若a//6,bua,则。平行于。内的无数条直线

2.过平面。外的直线1作一组平面与a相交，若所得交线分别为a,b,c...,则这些交线的位置关系为（）

A,相交于同一点B.相交但交于不同的点

C.平行D,平行或相交于同一点

3.如图，已知正方体/5CD-44G。的棱长为2,则下列四个结论错误的是（）

B.4c]〃平面ACD]

C.三棱锥/OC的表面积为6+2百

Q

D.三棱锥R-/QC的体积为]

4.如图，正方体/58-44£乌的棱长为1,线段上有两个动点£、尸，且即=；，则下列结论中正

确的是（）

A.线段8a上存在点E、F使得AE//BF

B.EF〃平面4BCD

C.△AEF的面积与△BEF的面积相等

D.三棱锥N-8EF的体积不为定值

5.正方体4BCD-4BCR中,用平行于4片的截面将正方体截成两部分，则所截得的两个几何体不可能

是（）

A,两个三棱柱B.两个四棱台

C,两个四棱柱D,一个三棱柱和一个五棱柱

6.“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的（）

A.充要条件B,充分非必要条件

C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件

二、多选题

7.如图，在正三棱柱/8C-/向G中，AB="h=1,尸为线段8/G上的动点，则下列结论中正确的是（）

A.点/到平面48c的距离为变

B.平面4PC与底面Z8C的交线平行于4P

2

C.三棱锥P-小8C的体积为定值D.二面角4-8C-/的大小为三

8.棱长为1的正方体中，尸、0分别在棱8C、CG上，CP=X,CQ=y,xe[O,l],ye[O,l]

且/+/工0,过人p、0三点的平面截正方体N8CD-44aA得到截面多边形，则（）

A.x=y时，截面一定为等腰梯形B.x=l时，截面一定为矩形且面积最大值为亚

C.存在x,y使截面为六边形D.存在x,y使与截面平行

三、填空题

9.若直线/上有三点A、B、C到平面。的距离均为1,则直线/与平面。的位置关系为.

10.“直线/与平面a内无数条直线平行”是“直线/与平面。平行”的条件.

11.下列各图是正方体或正四面体，P、。、R、S分别是所在棱的中点，这四个点外画的图是

12.如图，四边形EFG”为四面体N8C。的一个截面，若四边形EFG”为平行四边形，48=4,CD=6,

则四边形的周长的取值范围是.

四、解答题

13.已知正方体N8CD-44GA，求证：8