甘肃肃兰州市第五十一中学2023-2024学年数学高一下期末学业水平测试试题含解析

甘肃肃兰州市第五十一中学2023-2024学年数学高一下期末学业水平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．两个正实数满足，则满足，恒成立的取值范围（）A． B． C． D．2．设向量，，则向量与的夹角为()A． B． C． D．3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()A． B．C． D．4．直线的倾斜角为()A． B． C． D．5．化简（）A． B． C． D．6．已知，，，则的最小值为（）A． B． C．7 D．97．化简：（）A． B． C． D．8．已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．9．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用如图所示的茎叶图表示，s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是()．A．s1＞s2 B．s1＝s2 C．s1＜s2 D．不确定10．已知向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，点M为△ABC内切圆的圆心，过点M作动直线l与线段AB，AC都相交，将△ABC沿动直线l翻折，使翻折后的点A在平面BCM上的射影P落在直线BC上，点A在直线l上的射影为Q，则的最小值为_____．12．若是等比数列，，，则________13．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的周长的取值范围是________.14．已知关于实数x，y的不等式组构成的平面区域为，若，使得恒成立，则实数m的最小值是______．15．各项均为实数的等比数列的前项和为,已知成等差数列,则数列的公比为________.16．如果奇函数f（x）在[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f（x）在[-7,-3]上是_________.①减函数且最小值是-5；②减函数且最大值是-5；③增函数且最小值是-5；④增函数且最大值是-5三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．近年来,郑州经济快速发展,跻身新一线城市行列,备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网,还是辐射全国的米字形高铁路网,郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中．（I）求的值；（Ⅱ）求被调查的市民的满意程度的平均数,众数,中位数；（Ⅲ）若按照分层抽样从,中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人的分数在的概率．18．若数列满足：存在正整数，对任意的，使得成立，则称为阶稳增数列.（1）若由正整数构成的数列为阶稳增数列，且对任意，数列中恰有个，求的值；（2）设等比数列为阶稳增数列且首项大于，试求该数列公比的取值范围；（3）在（1）的条件下，令数列（其中，常数为正实数），设为数列的前项和.若已知数列极限存在，试求实数的取值范围，并求出该极限值.19．向量函数．（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值及取最值时的值．20．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．（1）求圆的方程；（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．21．如图，四面体中，分别是的中点，，.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

由基本不等式和“1”的代换，可得的最小值，再由不等式恒成立思想可得小于等于的最小值，解不等式即得m的范围。【详解】由，，可得，当且仅当上式取得等号，若恒成立，则有，解得.故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求恒成立问题中的参数取值范围，是常考题型。2、C【解析】

由条件有，利用公式可求夹角.【详解】,.又又向量与的夹角的范围是向量与的夹角为.故选：C3、D【解析】试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D.考点：函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．4、C【解析】

先根据直线方程得斜率，再求倾斜角.【详解】因为直线，所以直线斜率为，所以倾斜角为，选C.【点睛】本题考查直线斜率以及倾斜角，考查基本分析求解能力，属基本题.5、A【解析】

减法先变为加法，利用向量的三角形法则得到答案.【详解】故答案选A【点睛】本题考查了向量的加减法，属于简单题.6、B【解析】

根据条件可知，，，从而得出，这样便可得出的最小值．【详解】；，且，；；，当且仅当时等号成立；；的最小值为．故选：．【点睛】考查基本不等式在求最值中的应用，注意应用基本不等式所满足的条件及等号成立的条件．7、A【解析】

.故选A．【点睛】考查向量数乘和加法的几何意义，向量加法的运算．8、A【解析】

先求出外接球的半径，再求球的表面积得解.【详解】由题得正方体的对角线长为，所以.故选A【点睛】本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、C【解析】

先求均值，再根据标准差公式求标准差，最后比较大小.【详解】乙选手分数的平均数分别为所以标准差分别为因此s1＜s2，选C.【点睛】本题考查标准差，考查基本求解能力.10、C【解析】

根据条件即可求出，从而可求出，，，然后可设与的夹角为，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【详解】，；，，；设与的夹角为，则；又，，故选．【点睛】本题主要考查向量数量积的定义运用，向量的模的求法，以及利用数量积求向量夹角．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、825【解析】

以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设直线l的斜率为k，用k表示出|PQ|，|AQ|，利用基本不等式得出答案．【详解】过点M作△ABC的三边的垂线，设⊙M的半径为r，则r2，以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则M（2，2），A（0，8），因为A在平面BCM的射影在直线BC上，所以直线l必存在斜率，过A作AQ⊥l，垂足为Q，交直线BC于P，设直线l的方程为：y＝k（x﹣2）+2，则|AQ|，又直线AQ的方程为：yx+8，则P（8k，0），所以|AP|8，所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8，所以，①当k＞﹣3时，4（k+3）25≥825，当且仅当4（k+3），即k3时取等号；②当k＜﹣3时，则4（k+3）23≥823，当且仅当﹣4（k+3），即k3时取等号.故答案为：825【点睛】本题考查了考查空间距离的计算，考查基本不等式的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12、【解析】

根据等比数列的通项公式求解公比再求和即可.【详解】设公比为,则.故故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解,属于基础题型.13、【解析】

通过观察的面积的式子很容易和余弦定理联系起来，所以，求出，所以.再由正弦定理即可将的范围通过辅助角公式化简利用三角函数求出范围即可．【详解】因为的面积为，所以，所以.由余弦定理可得，则，即，所以.由正弦定理可得，所以.因为为锐角三角形，所以，所以，则，即.故的周长的取值范围是.【点睛】此题考察解三角形，熟悉正余弦定理，然后一般求范围的题目转化为求解三角函数值域即可，易错点注意转化后角的范围区间，属于中档题目．14、【解析】

由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可，再由表示平面区域内的点与定点距离的平方，因此结合平面区域即可求出结果.【详解】作出约束条件所表示的可行域如下：由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可；令目标函数，则目标函数表示平面区域内的点与定点距离的平方，由图像易知，点到的距离最大.由得，所以.因此，即的最小值为37.故答案为37【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需分析清楚目标函数的几何意义，即可结合可行域来求解，属于常考题型.15、【解析】

根据成等差数列得到，计算得到答案.【详解】成等差数列，则故答案为：【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.16、④【解析】

由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果．【详解】奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，则若奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为1，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是增函数且最大值为﹣1．故答案为：④．【点睛】本题考查了奇函数的性质，函数的对称性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)(Ⅱ)平均数74.9,众数75.14,中位数75；(Ш)【解析】

（I）根据频率之和为列方程，结合求出的值.（II）利用各组中点值乘以频率然后相加，求得平均数.利用中位数是面积之和为的地方，列式求得中位数.以频率分布直方图最高一组的中点作为中位数.（III）先计算出从,中分别抽取人和人，再利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】解：(I)依题意得,所以,又,所以．(Ⅱ)平均数为中位数为众数为(Ш)依题意,知分数在的市民抽取了2人,记为,分数在的市民抽取了6人,记为1,2,3,4,5,6,所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：,共28种,其中满足条件的为,共13种,设“至少有1人的分数在”的事件为,则【点睛】本小题主要考查求解频率分布直方图上的未知数，考查利用频率分布直方图估计平均数、中位数和众数的方法，考查利用古典概型求概率.属于中档题.18、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）设，由题意得出，求出正整数的值即可；（2）根据定义可知等比数列中的奇数项构成的等比数列为阶稳增数列，偶数项构成的等比数列也为阶稳增数列，分和两种情况讨论，列出关于的不等式，解出即可；（3）求出，然后分、和三种情况讨论，求出，结合数列的极限存在，求出实数的取值范围.【详解】（1）设，由于数列为阶稳增数列，则，对任意，数列中恰有个，则数列中的项依次为：、、、、、、、、、、、、、、、、，设数列中值为的最大项数为，则，由题意可得，即，，解得，因此，；（2）由于等比数列为阶稳增数列，即对任意的，，且.所以，等比数列中的奇数项构成的等比数列为阶稳增数列，偶数项构成的等比数列也为阶稳增数列.①当时，则等比数列中每项都为正数，由可得，整理得，解得；②当时，（i）若为正奇数，可设，则，由，得，即，整理得，解得；（ii）若为正偶数时，可设，则，由，得，即，整理得，解得.所以，当时，等比数列为阶稳增数列.综上所述，实数的取值范围是；（3），由（1）知，则.①当时，，，则，此时，数列的极限不存在；②当时，，，上式下式得，所以，，则.（i）若时，则，此时数列的极限不存在；（ii）当时，，此时，数列的极限存在.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查数列新定义“阶稳增数列”的应用，涉及等比数列的单调性问题、数列极限的存在性问题，同时也考查了错位相减法求和，解题的关键就是理解新定义“阶稳增数列”，考查分析问题和解决问题能力，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.19、（1），（2），最大值为；，最小值为0【解析】

（1）用已知的向量表示出，再进行化简整理，可得；（2）由正弦函数的值域可得。【详解】（1）由题得，，化简整理得，因此的最小正周期为，由得，则单调增区间为.（2）若，则，当，即时，取最大值，当，即时，取最小值0.综上，当时，取最大值，当时，取最小值0.【点睛】本题考查向量的运算和函数的周期，单调区间以及最值，知识点考查全面，难度不大。20、（1）；（2）.【解析】分析：（1）因为曲线与坐标轴的交点都在圆上，所以要求圆的方程应求曲线与坐标轴的三个交点．曲线与轴的交点为，与轴的交点为．由与轴的交点为关于点(3,0)对称，故可设圆的圆心为，由两点间距离公式可得，解得．进而可求得圆的半径为，然后可求圆的方程为．（2）设，，由可得，进而可得，减少变量个数．因为，，所以．要求值，故将直线与圆的方程联立可得，消去，得方程．因为直线与圆有两个交点，故判别式，由根与系数的