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微专题4最值问题[2023·河南驻马店三模]已知椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：y＝k1x(k1≠0)与E交于A，B两点，当l为双曲线－y2＝1的一条渐近线时，A到y轴的距离为.(1)求E的方程；(2)若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N(O为坐标原点)，连接AN并延长交E于点P，直线PB的斜率为k2，求|k1－k2|的最小值．[巩固训练4][2023·全国甲卷]已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点且|AB|＝4.(1)求p；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值．微专题4最值问题提分题[例4](1)解析：设E的半焦距为c，则＝，所以＝，所以a＝b①，不妨设l：y＝x，与＝1联立得|x|＝.由题意得|x|＝＝②，①②联立并解得b2＝2，a2＝4，故E的方程为＝1.(2)解析：设A(x1，y1)，P(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，H(－x1，0)，N(－，0)，所以直线AP的斜率k＝＝＝k1，直线AP的方程为y＝k(x＋)，代入＝1，得－4＝0，所以x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋)＋k(x2＋)＝k(x1＋x2＋x1)＝，所以k2＝＝＝－＝－＝－，所以|k1－k2|＝|k1＋|＝|k1|＋≥2＝，当且仅当|k1|＝，即k1＝±时等号成立，所以当k1＝±时，|k1－k2|取得最小值，且最小值为.[巩固训练4](1)解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，由Δ1＝16p2－8p>0，得p>.由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，所以|AB|＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－(舍去)，故p＝2.(2)解析：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0)．因为·＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝|MF||NF|＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)(*)．当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，因为∠MFN＝90°，所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1.不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，由得x2－6x＋1＝0，得或代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2)．当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m.由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，则y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝.又·＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，所以＋1＋＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4.所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)＝＝＝＋2＋1.令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1，因为m2＋k2＋6km＝4，所以＋6＋1＝>0，即t2＋6t＋1

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