2025届新高考数学冲刺精准复习 单调性问题

2025届新高考数学冲刺精准复习单调性问题

导师：稻壳儿一、函数的单调性定义．课本77页两个思考中间

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于上的两个自变量值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________增函数减函数知识点定义域I内某个区间D任意>0>0<0<0(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的________．[提醒]①单调区间必须写成区间形式；

②有多个单调区间时应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接．(3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，增函数减函数单调区间(1)增+增=增，减+减=减，(2)正增x正增=增，正减x正减=减(3)复合函数的单调性．先分出内、外层函数，若内、外层函数单调性相同，则复合函数为增函数，若内、外层函数单调性不同，则复合函数为减函数．简称“同增异减”．二、如何判断函数的单调性1.定义法2.导数法3.图像法4.性质法证明函数单调性(1)确定函数f(x)的定义域。(2)求导函数f′(x)。(3)判断f′(x)正负是否已经确定，若确定，直接写出单调区间。若f′(x)在定义域内有正有负，则令f′(x)=0，求其根，然后根分定义域，列表分区间，由表写结论。[例1]

已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.1.定义法的应用题型：抽象函数单调性问题，解抽象不等式方法：定义法(1)令x＝y＝0，得f(0+0)＝f(0)+f(0)+1.得f(0)=-1在R上任取x1>x2，＝f[(x1－x2)+1(2)由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，即f(x2＋x＋1)>5，由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.所以f(x2＋x＋1)>f(3)因为函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．[例1]

已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.题型：解抽象不等式，或超越不等式，方法：应先将不等式转化为f(m)<f(n)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，应注意m，n应在定义域内取值.题型：解超越不等式，方法：应先将不等式转化为f(m)<f(n)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，应注意m，n应在定义域内取值.

2.导数法的应用

例42.导数法的应用2.导数法的应用2.导数法的应用看资料46页例2C3.图像法解决分段函数单调性问题1.先画分界线x=1x=0a-202.再画各段曲线，标出分界点纵坐标，3.根据高低列不等式例7(－2，1)解析：根据函数f(x)的图象可知，f(x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2<x<1.例83.图像法解决分段函数单调性问题1.先画分界线2.再画各段曲线，标出分界点纵坐标，3.由图判断分段函数单调性x=004.性质法[例9]函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是________．

已知函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)